【2019年整理】第三章一階微分方程的解的存在定理

1、第三章一階微分方程的解的存在定理 教學(xué)目的：使學(xué)生掌握解的存在唯一性定理的內(nèi)容及證明思想、延拓定理、 解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理的內(nèi)容；掌握逐次逼近法；會判斷解的存在 區(qū)間；了解奇解的概念和解法. 教學(xué)內(nèi)容： 1解的存在唯一性定理與逐次逼近法 解的存在唯一性定理及其證明、Lipschitz條件、Picard逼近序列、逐次逼近 法. 2、解的延拓定理與延拓條件. 3、解對初值的連續(xù)依賴性和可微性定理 4、奇解、包絡(luò)、奇解、Clairaut方程. 教學(xué)重點：解的存在唯一性定理及其證明 教學(xué)難點：解的延拓定理、解對初值的連續(xù)依賴性、可微性定理的證明 教學(xué)過程： 3.1 解的存在唯一性定理與逐步

2、逼近法 3.1.1 存在唯一性定理 定理1 如果f (x, y)在R上連續(xù)且關(guān)于y滿足李普希茲條件，則方程 = f(x, y)(3.1) dx 存在唯一解y =(x)定義于區(qū)間x -Xo|蘭h上，連續(xù)且滿足初始條件 (X0)=yo(3.3) 其中 h = min( a, ), M max f (x, y) M(x,y)B 可用皮卡(Picard)逐步逼近法證明這個定理，此外，用歐拉折線法(差分法)、紹德 爾(Schouder)不動點方法等亦可證明. 逐步逼近法的基本思想 分五個命題來證明定理. 命題1 設(shè)y = ：(x)是方程(3.1)的定義于區(qū)間x0乞x乞x0 h上，滿足初始條件 (X。)

3、= y。 的解，則y hf:(x)是積分方程 x y=yf(x,y)dx, x。乞x EX。 h(3.5) 的定義于區(qū)間X。空x乞x0 h上的連續(xù)解，反之亦然. 現(xiàn)取(X。)= yo，構(gòu)造皮卡逐步逼近函數(shù)序列如下： (x) =y Jx(37) n(X)=yo + J f(Jnji(C)dx XoExExo+h, (n = 1, 2,，n) 命題2對于所有的n , (3.7)中函數(shù)n(x)在X。乞x x0 h上有定義、連續(xù)且滿足 不等式 n(x)y|Eb(3.8) 命題3 函數(shù)序列Ln(x)1在XXX)巾上是一致收斂的. 設(shè)lim :n(x (x):(x)也在x)-X_x)h上連續(xù)，且由(3.8

4、 )又可知， n(x)-y m時，(x, (x)趨于區(qū)域G的邊界. 推論 如果G是無界區(qū)域，在上面解的延拓定理的條件下，方程(3.1)的通過(x0, y0)的 解y二- (x)可以延拓，以向x增大的一方的延拓來說，有下面兩種情況： (1) 解y = ：(x)可以延拓到區(qū)間x0,； (2) 解y =(x)只可以延拓到區(qū)間x0, m)，其中m為有限數(shù)，則當(dāng) x m時，或者 y = ：(x)無界，或者點(x,(X)趨于區(qū)域G的邊界. 2 例1討論方程 業(yè)二 1的分別通過點(0, 0), (ln 2, -3)的解的存在區(qū)間. dx 2 dy 例2 討論方程1 ln x滿足條件y(1) =1的解的存在區(qū)

5、間. dx 3. 3解對初值的連續(xù)性和可微性定理 3.3.1 解關(guān)于初值的對稱性 解關(guān)于初值的對稱性定理設(shè)方程(3.1)的滿足初始條件 y(x0) =y0的解是唯一的，記 為y = (x, x0, y0)，則在表達式中，(x,y)和(x0 ,y0)可以調(diào)換其相對位置，即在解的存 在范圍內(nèi)成立著關(guān)系式 丫0 二(xo, x , y) 3.3.2 解對初值的連續(xù)依賴性 引理 如果函數(shù)f (x,y)在某區(qū)域D內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y滿足利普希茲條件，則對方程 (3.1)的任意兩個解(x)和匸(x)，在它們的公共存在區(qū)間成立著不等式 |(X)(x)|_| (x。)(xo)|eLx旳(3.20) 其中X。為所

6、考慮區(qū)間內(nèi)的某一值. 解對初值的連續(xù)依賴性定理設(shè)f(x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于y滿足局部利普希茲 條件，(Xo，y。)，G, yh卩(x,xo，y。)是(3.1)的滿足初始條件y(X0)= y。的解，它在區(qū) 間a乞x乞b上有定義(a乞X。遼b)，則對于任意給定的； 0，存在正數(shù)=( ；，a,b)使 得當(dāng) (X。- Xo)2(% -y。)2 乞 2 時，方程(3.1)的滿足條件y(xo)=：y。 的解y =(x, x。，y。)在區(qū)間a蘭x b上也有定乂， 并且 | (x, X。，y。)一 (x, x。，y。)匸；，axb 證明(略，見P96) 解對初值的連續(xù)性定理若f (x,y)在區(qū)域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y滿足局部利普希茲條 件，則方程(3.1)的解y二：:(x, x。，y。)作為x,x。，y。的函數(shù)在它的存在范圍內(nèi)是連續(xù)的. 3.3.3 解對初