玻爾茲曼分布

1、玻爾茲曼分布麥克斯韋-玻爾茲曼分布是描述一定溫度下，理想氣體分子運(yùn)動(dòng)速度的概率分布。 宏觀物理系統(tǒng)的溫度，微觀上來講就是大量分子熱運(yùn)動(dòng)的劇烈程度。單個(gè)氣體分 子的熱運(yùn)動(dòng)有一個(gè)速度范圍，通過與其它分子的碰撞而不斷變化。然而對(duì)于大量 氣體分子來說,處于特定的速度范圍的分子所占的比例基本不變。麥克斯韋-玻爾茲曼分布就是理想氣體分子的速度關(guān)于系統(tǒng)溫度的函數(shù):m 1 巫在這之前,首先了解什么是理想氣體，以及系統(tǒng)的玻爾茲曼分布。氣體三定律：1、一定質(zhì)量的氣體,在等溫過程中，壓強(qiáng)跟體積成反比。即P1V1二P2V2二C1。2、一定質(zhì)量的氣體，在壓強(qiáng)不變時(shí)，體積與溫度成正比。即V1/T1二V2/T2二C2。3、

2、一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)體積一定時(shí)，壓強(qiáng)與溫度成正比。即P1/T1二P2/T2二C3。 綜合氣體三定律可得PV/T二C , C表示常量。理想氣體：在但可情況下都遵守氣體三定律,服從方程PV/T二C的氣體稱為理想氣體。其有三大tt:1、理想氣體分子之間沒有相互作用力，即沒有分子勢(shì)能。2、理想氣體分子的碰撞不造成動(dòng)能損失。3、理想氣體的內(nèi)能是氣體分子動(dòng)能之和。玻爾茲曼分布玻爾茲曼分布是系統(tǒng)中的粒子在各種可能的能量狀態(tài)下的概率分布:FoceA(-e/kT)表示某個(gè)能量態(tài)的能量。其概率密度分布為：Pi=(eA-8/kT)/I(eA-ei/kT)其中Pi是能量態(tài)i的概率，ei是量子態(tài)i的能量,k是玻爾茲曼常數(shù)

3、，T是熱力 學(xué)溫度,是對(duì)系統(tǒng)各個(gè)能量態(tài)概率的求和。Pi 二 Ni/N其中Ni為處于i能量態(tài)的粒子數(shù),N為系統(tǒng)中的粒子總數(shù)。Maxwell-Boltzmann Molecular Speed Distribution for Noble(lu/巴 A 二 suajp三麥克斯韋玻爾茲曼分布麥克斯韋-玻爾茲曼分布也是一種玻爾茲曼分布，對(duì)于理想氣體，能量是分子動(dòng) 能之和。氣體分子的動(dòng)能表示為：E=mV2/2 m是單個(gè)分子的質(zhì)量f V是分子速度矢量(Vx,Vy,Vz)。將其代入玻爾茲曼分布:Ni/N 二(e 八-e/kT)/I(eA-ei/kT) 二(e 人-mV2/2 kT)/J (eA - mVi2

4、/2 kT)根據(jù)Ni/N的分布與具有這些速度的氣體分子的概率密度函數(shù)f(V)成正比可知: f(V)=C*(eA -mV2/2 kT)/(e F Vi 2/2kT)C是歸一化常數(shù)，因?yàn)榉肿泳哂懈鞣N速度的概率必須為1 ,即上式在速度矢量V上的積分等于1,于是：C=l(eA-mVi2/2 kT)/(m/2n kT)A (3/2)代入f(V)可得：f(V)二(m/2n kT)A(3/2)*eA (-mV2/2 kT)速度的麥克斯韋-玻爾茲曼分布可以立即從速度矢量的分布得到,考慮到速度矢 量是三維的，可得:v=V(Vx2+Vy2+Vz2)積分元是：dVxdVydVz球坐標(biāo)下的體積單位是:dVxdVydVz=v2sinedrd6d(p=v2dvdQ因?yàn)槿臻g立體角的積分值為4ti ,可知:v2dv JdQ=4Tiv2dv最后通過對(duì)概率密度函數(shù)f(v)積分可得到速度的麥克斯韋-玻爾茲曼概率分布:f(v)二(m/2nkT)A (3/2)*4nv2*eA (-mv2/2 kT)麥克斯韋-玻爾茲曼分布是分子運(yùn)動(dòng)論的基礎(chǔ)，詮釋了壓強(qiáng)和擴(kuò)散等許多基本的 氣體性質(zhì)。對(duì)于理想氣體分子而言，粒子之間沒有相互作用，量子效應(yīng)可以忽略, 因此麥克斯韋-玻爾茲曼分布提供了非常好的近似。但是當(dāng)粒子的