(完整版)專題——圓錐曲線定值問題

1、高三二輪一一圓錐曲線中的“定值”問題概念與用法圓錐曲線中的定值問題是高考命題的一個(gè)熱點(diǎn)，也是圓錐曲線問題中的一個(gè)難點(diǎn).解決這個(gè)難點(diǎn)的基本思想是函數(shù)思想，可以用變量表示問題中的直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等，這些直線方程、數(shù)量積、比例關(guān)系等不受變量所影響的一個(gè)值，就是要求的定值?具體地說，就是將要證明或要求解的量表示為某個(gè)合適變量的函數(shù)，化簡(jiǎn)消去變量即得定值.基本解題數(shù)學(xué)思想與方法在圓錐曲線中，某些幾何量在特定的關(guān)系結(jié)構(gòu)中，不受相關(guān)變?cè)闹萍s而恒定不變，則稱該變量具有定值特征.解答此類問題的基本策略有以下兩種：1、 把相關(guān)幾何量的變?cè)厥饣?，在特例中求出幾何量的定值，再證明結(jié)論與特定狀態(tài)無關(guān).2、

2、 把相關(guān)幾何量用曲線系里的參變量表示，再證明結(jié)論與求參數(shù)無關(guān).題型示例一 ?證明某一代數(shù)式為定值：1、如圖，M是拋物線上y2=x上的一點(diǎn)，動(dòng)弦 ME、MF分別交x軸于A、B兩點(diǎn)，且若M為定點(diǎn)，證明：直線EF的斜率為定值解：設(shè)M (yo ,yo),直線ME的斜率為k(l0)，直線 MF的斜率為一k,直線ME方程為y y。k(x y().MA=MB.?由yo k( xyo)，消x得ky2yo(ikyo) o解得yF迪2Xf(1 kyo)廠.同理丿J1 ky,Xf1 ky 21 kyo 1 kyo2yEFkk(定值)Xe Xf2 2(1 k)計(jì)4kyo2、已知拋物線x2= 4y的焦點(diǎn)為F , A、B

3、是拋物線上的兩動(dòng)點(diǎn)且 AF =入 FBB兩點(diǎn)分別作拋物線的切線，設(shè)其交點(diǎn)為M .證明FM -AB為定值解：由已知條件，得 F(0, 1), Z0?設(shè) A(xi, yi), B(x2,汕.由AF =入 FB ,即得(一 xi, i y)=?(X2, y2 1),所以X1 =入 21 y1 =心 2 1)所以直線EF的斜率為定值利用消元法1 1將式兩邊平方并把 yi = 4X12, y2= 1X22代入得yi= fy2i解、式得 yi= y2=,且有XiX2 =入X= 4入y= 4,拋物線方程為y=八x2,求導(dǎo)得y= *x?所以過拋物線上B兩點(diǎn)的切線方程分別是iy= 2Xi(x xi)+ yi,

4、y= 2X2( x剛iX2) + y2,即卩y = Axix 4Xi ,y = AX2x 4x2解出兩條切線的交點(diǎn) M的坐標(biāo)為（2 x +x2,警）=（廠，一i）.f fxi + X2所以 FM -AB = (2 , 2) (X2 x,所以FM -AB為定值，其值為0 ?y2 yi)=-2)= 0利用不變因素2 2x y3、已知橢圓一 牙i a b 0的離心率為e直線Ia b:y ex a與x車由、分別交于點(diǎn)A、B, M是直線I與該橢圓的一個(gè)公共點(diǎn)。求證如為定值A(chǔ)B解：設(shè)AMAB,由題意得A旦,0,B 0,ay2x2 aex2 yb2i,得cb2b2c,aAMAB,b2e，而a2 b2,i e

5、2 且 Ic / AM0,故AB2e為定利用輔助元解析幾何中的定值問題是數(shù)學(xué)中的重要問題，求解這類問題需要綜合應(yīng)用解析幾何和代數(shù)的相關(guān)知識(shí)與方法。以上幾種思維策率是高中數(shù)學(xué)中常用到的。要注意體會(huì)。.證明動(dòng)直線過定點(diǎn)或動(dòng)點(diǎn)在定直線上問題2 24、如圖，橢圓務(wù)占I的兩焦點(diǎn)Fi , F2與短軸兩端點(diǎn)Bi, B2構(gòu)成B2FiBi為i20o,面a b積為2J3的菱形。（I）求橢圓的方程；（2）若直線I : y kx m與橢圓相交于 M、N兩點(diǎn)（M、N不是左右頂點(diǎn)），且以MN為直徑的 圓過橢圓右頂點(diǎn) A ?求證：直線I過定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)的坐標(biāo).解：易得橢圓的方程為一乞143y kx m由x2 y2，消去

6、y得到433 4k2 x2 8kmx 4m 2120,直線I與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)2 2 28km 4 3 4k 4m 122 2 2 248k12 m 36 12 4k m 3 0設(shè) M y1 ,N X2, y2，則有為 x?8kmX1X23 4k24m2123 4k2因?yàn)橐訫N為直徑的圓過橢圓右頂點(diǎn)X12, y1 X22,y20，而 y1 k2 X1X2X1 X2 km 2A，所以AM AN 0,即kx1 m, y2 kx? m代入并整得2 m 407m216km21 22k42k4324k 0, m 2kkm22 m4，化簡(jiǎn)整理得到7m2k0, m2k或m2k, m2-k均滿足判別式大于70,

7、所以2k時(shí)時(shí)，2k時(shí)，7I : y kx 2k kl: y kx - k k x72,此2，此時(shí)，直線過定點(diǎn)7線過定點(diǎn)2,02,07三.探索曲線在某條件下某一代數(shù)式是否取定值5、已知一動(dòng)圓 M,恒過點(diǎn)F(1,0)，且總與直線l:x 1相切，(|)求動(dòng)圓圓心 M的軌跡C的 方程；(H) 探究在曲線C上，是否存在異于原點(diǎn)的A(x, y,), B(X2, y2)兩點(diǎn)，當(dāng)y,y2 16時(shí)，直線AB恒過定點(diǎn)？若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由？解: (1)因?yàn)閯?dòng)圓M,過點(diǎn)F(1,0)且與直線I : x 1相切，所以圓心M到F的距離等于到直線I的距離。所以，點(diǎn)M的軌跡是以F為焦點(diǎn)，I為準(zhǔn)線的拋物線，

8、且衛(wèi)1, p 22所以所求的軌跡方程為y2 4x且滿足 1 Ph I 2|PF 2|, PFiF230 直線y=kx+m于圓x2-相切，與橢圓相交于5A、B兩點(diǎn)，(i )求橢圓的方程；(2)證明AOB為定值。易錯(cuò)點(diǎn)假設(shè)存在A,B在y24X上，所以，直線AB的方程：y yi上一(X Xi),X2 Xi2y； yi2 (x里)即AB的方程為:y yiyy2yi4(x2 2即(yi y2)y yi yiy24x y i 即：(yi 令 y 0,得 X 4 ,*)y (i6 4x)所以,無論yi, y2為何值,直線ab過定點(diǎn)(4,0)練兵場(chǎng)2 2i、點(diǎn)P是橢圓 一2 i(a b 0)上任一點(diǎn)，A、B是該橢圓上關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)，a b那么kpA kpB是否為定值?思考：把橢圓改成雙曲線，結(jié)論是否仍然成立22、過拋物線y2px的焦點(diǎn)作兩條互相垂直的弦AB、CD，判斷FABIi是否為定|CD I值，若是定值，求出該定值。3、已知橢圓C的中心在原點(diǎn)焦點(diǎn)在x軸上，它的一個(gè)頂點(diǎn)恰好是拋物線y Ax2的焦點(diǎn),4離心率等于2.55(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程過橢圓的右焦點(diǎn)作直線1交橢圓C于A、B兩點(diǎn)，交umruuur ujit