《排列與組合》教學(xué)設(shè)計(jì)1

1、排列與組合教學(xué)設(shè)計(jì) 1排列與組合的概念教案 1教學(xué)目標(biāo)1正確理解排列、組合的意義2掌握寫出所有排列、所有組合的方法，加深對(duì)分類討論方法的理解3發(fā)展學(xué)生的抽象能力和邏輯思維能力教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)重點(diǎn)：正確理解兩個(gè)原理 (分類計(jì)數(shù)原理、分步計(jì)數(shù)原理)以及排列、組合的概念難點(diǎn)：區(qū)別排列與組合教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)師：上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理，請(qǐng)大家完成以下兩題的練習(xí)：1 書架上層放著 50 本不同的社會(huì)科學(xué)書，下層放著 40 本不同的自然科學(xué)的書(1) 從中任取 1 本，有多少種取法？(2) 從中任取社會(huì)科學(xué)書與自然科學(xué)書各1 本，有多少種不同的取法？2?某農(nóng)場(chǎng)為了考察三個(gè)外地優(yōu)良品種A, B , C, 計(jì)劃

2、在甲、乙、丙、丁、戊共五種類型的土地上分別進(jìn)行引種試驗(yàn)，問(wèn)共需安排多少個(gè)試驗(yàn)小區(qū)？(全體同學(xué)參加筆試練習(xí) . )4 分鐘后 , 找一同學(xué)談解答和怎樣思考的？生：第 1(1) 小題從書架上任取 1 本書, 有兩類辦法 , 第一類辦法是從上層取社會(huì)科學(xué)書 ,可以從50本中任取 1 本,有 50 種方法；第二類辦法是從下層取自然科學(xué)書,可以從 40 本中任取 1 本,有 40 種方 法?根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理，得到不同的取法種數(shù)是50 + 40=90 ?第 (2) 小題從書架上取社會(huì)科學(xué)、自然科學(xué)書各 1 本 ( 共取出 2 本 ), 可以分兩個(gè)步驟完成：第一步取一本社會(huì)科學(xué)書 , 第二步取一本自然科學(xué)書

3、 , 根據(jù) 分步計(jì)數(shù)原 理，得到不同的取法種數(shù)是；50X40=2000 ?第2題說(shuō)，共有A, B , C三個(gè)優(yōu)良品種，而每個(gè)品種在甲類型土地上實(shí)驗(yàn)有三個(gè)小區(qū)，在乙類型的土地上有三個(gè)小區(qū)所以共需3X5=15個(gè)實(shí)驗(yàn)小區(qū).師：學(xué)習(xí)了兩個(gè)基本原理之后，繼續(xù)學(xué)習(xí)排列和組合，什么是排列？什么是組合？這兩個(gè)問(wèn)題有什么區(qū)別和聯(lián)系？這是我們討論的重點(diǎn)先從實(shí)例入手：1 北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線，需要準(zhǔn)備多少種不同飛機(jī)票？希望同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)好方案，踴躍發(fā)言生甲：首先確定起點(diǎn)站，如果北京是起點(diǎn)站，終點(diǎn)站是上?；驈V州，需要制2 種飛機(jī)票，若起點(diǎn)站是上海，終點(diǎn)站是北京或廣州，又需制 2 種飛機(jī)票；若起點(diǎn)站是廣

4、州，終點(diǎn)站是北京或上海，又需要 2 種 飛機(jī)票， 共需要 222=6 種飛機(jī)票師：生甲用分類計(jì)數(shù)原理解決了準(zhǔn)備多少種飛機(jī)票問(wèn)題能不能用分步計(jì)數(shù)原理來(lái)設(shè)計(jì)方案呢？3 種方法即北京、上海、廣泛任 意一個(gè)城生乙：首先確定起點(diǎn)站，在三個(gè)站中，任選一個(gè)站為起點(diǎn)站，有 市為起點(diǎn)站，當(dāng)選定起點(diǎn)站后，再確定終點(diǎn)站，由于已經(jīng)選了起點(diǎn)站，終點(diǎn)站只能在其余兩個(gè)站 去選那么，根據(jù)分 步計(jì)數(shù)原理，在三個(gè)民航站中，每次取兩個(gè)，按起點(diǎn)站在前、終點(diǎn)站在后的順序排列 不同方法共有 3X2=6 種.師：根據(jù)生乙的分析寫出所有種飛機(jī)票師：第二個(gè)實(shí)例，請(qǐng)全體同學(xué)都參加設(shè)計(jì)，把所有情況 （包括每個(gè)位置情況 ）寫出來(lái) .由數(shù)字 1，2，

5、3，4 可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？寫出這些所有的三位數(shù).（ 教師在教室巡視，過(guò) 3 分鐘找一同學(xué)板演 ） 根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，從四個(gè)不同的數(shù)字中，每次取出三個(gè)排成三位數(shù)的方法共有 4X3X2=24 （ 個(gè) ）.師：請(qǐng)板演同學(xué)談?wù)勗鯓酉氲模?生：第一步，先確定百位上的數(shù)字 . 在1，2， 3，4 這四個(gè)數(shù)字中任取一個(gè)，有 4 種取法 .第二步，確定十位上的數(shù)字 . 當(dāng)百位上的數(shù)字確定以后，十位上的數(shù)字只能從余下的三個(gè)數(shù)字去取， 有 3 種方 法.第三步，確定個(gè)位上的數(shù)字 . 當(dāng)百位、十位上的數(shù)字都確定以后，個(gè)位上的數(shù)字只能從余下的兩個(gè)數(shù)字中去取，有 2 種方法 .根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，所以共

6、有 4X3X2=24 種. 師：以上我們討論了三個(gè)實(shí)例，這三個(gè)問(wèn)題有什么共同的地方？ 生：都是從一些研究的對(duì)象之中取出某些研究的對(duì)象 .師：取出的這些研究對(duì)象又做些什么生：師：請(qǐng)大家看書，第 X 頁(yè)、第 X 亍?我們把被取的對(duì)象叫做雙元素，如上面問(wèn)題中的民航站、旗子、數(shù)字都是元素.上面第一個(gè)問(wèn)題就是從 3 個(gè)不同的元素中，任取 2 個(gè)，然后按一定順序排成一列，求一共有多少種 不同的排 法，后來(lái)又寫出所有排法 . 第二個(gè)問(wèn)題，就是從 3個(gè)不同元素中，取出 3個(gè)，然后按一定順序排 成一列，求一共有多 少排法和寫出所有排法 . 第三個(gè)問(wèn)題呢？生：從 4 個(gè)不同的元素中，任取 3 個(gè)，然后按一定的順序

7、排成一列，求一共有多少種不同的排法， 并寫出所 有的排法 .師：請(qǐng)看課本，第 X頁(yè)，第x行.一般地說(shuō)，從n個(gè)不同的元素中，任取 m （rnAn）個(gè)元素（本章只研究 被 取出的元素各不相同的情況 ），按著一定的順序排成一列，叫做從 n 個(gè)不同元素中取出 m 個(gè)元素的一個(gè) 排列.按著這個(gè)定義，結(jié)合上面的問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們談?wù)勈裁词窍嗤呐帕?？什么是不同的排列？生：從排列的定義知道，如果兩個(gè)排列相同，不僅這兩個(gè)排列的元素必須完全相同，而且排列的順序（ 即元素所在的位置 ）也必須相同 .兩個(gè)條件中，只要有一個(gè)條件不符合，就是不同的排列 .如第一個(gè)問(wèn)題中，北京 廣州，上海廣州是兩個(gè)排列，第三個(gè)問(wèn)題中， 21

8、3與423也是兩個(gè)排列 . 再如第一個(gè)問(wèn)題中，北京 廣州，廣州 北京；第二個(gè)問(wèn)題中，紅黃綠與紅綠黃；第三個(gè)問(wèn)題中 231 和 213 雖然元素完全相同，但排列順序不同，也是兩個(gè)排列師：還需要搞清楚一個(gè)問(wèn)題， “一個(gè)排列 ”是不是一個(gè)數(shù)？師：那么通了多少封信？打了多少次電話？生 C : 五個(gè)人都要給其他四位同學(xué)寫信，5X4=20 封?關(guān)于打電話次數(shù)，我現(xiàn)在數(shù)一數(shù)：設(shè)五名同學(xué)的代號(hào)是 a，b，c，d， e . 貝 U a b， ac，ad， a e，b c，bd，be，c d，c e， d e . 共 十 次 .生 D : 我回答第 3 個(gè)問(wèn)題 ?減法與除法所得的差和商個(gè)數(shù)是同一個(gè)數(shù)，因?yàn)楸粶p數(shù)與

9、減數(shù)、被除數(shù)與除數(shù)交換位置所得的差與商是不同的 . 加法與乘法所得的和與積個(gè)數(shù)是同一個(gè)數(shù)，根據(jù)加法、乘法交換 律，被加數(shù)與加數(shù)，被 乘數(shù)與乘數(shù)交換位置，和與積不受影響 .師：有多少個(gè)差與商？有多少個(gè)和與積？生 E： 2， 3， 5， 7 都可以做被減數(shù)和被除數(shù)，對(duì)于每一個(gè)被減數(shù) （或被除數(shù) ） 都對(duì)應(yīng)著有 3 個(gè)數(shù)作減 數(shù)（或除數(shù)） ，共有 4X3=12 個(gè)差或商?把交換位置的情況除去，就是和或積的數(shù)字，即12一2 = 6.師：以上三個(gè)問(wèn)題六件事，有什么共同點(diǎn)？再按類分，類與類之間有什么區(qū)別？區(qū)別在哪里？ 生：都是從一些元素中，任取某些元素的問(wèn)題 .可以分兩類 ?一類屬于前邊學(xué)過(guò)的排列問(wèn)題，即

10、取出的元素要按照一定的順序排成一列”，只要交換位置，就是不同的排列 . 前邊三個(gè)問(wèn)題中的飛機(jī)票、通信封數(shù)、減法與除法運(yùn)算的結(jié)果都屬于這一類 . 另 一類是取出的 元素，不必管順序，只有取不同元素時(shí)，才是不同的情況，如飛機(jī)票價(jià)，打電話次數(shù)、加法 與乘法運(yùn)算的結(jié)果都屬于 這一類.師：分析得很好，我們說(shuō)后一類問(wèn)題是從n個(gè)元素中任取 m （nn）個(gè)元素，不管怎樣的順序并成一組，求一共有多少種不同的組 .如以上三個(gè)問(wèn)題中飛機(jī)票價(jià)題是 3 組，打電話次數(shù)題是 10 組，和與積的個(gè)數(shù) 題都是 6 組.（ 用 5 分鐘時(shí)間學(xué)生讀課本，教師巡視，回答學(xué)生提出的問(wèn)題）師：組合這一節(jié)講的主要內(nèi)容是什么？師：現(xiàn)在請(qǐng)同

11、學(xué)們回答這四個(gè)問(wèn)題 . 每位同學(xué)只說(shuō)一個(gè)問(wèn)題 .生F :組合定義是從n個(gè)不同的元素中，任取 m （men）個(gè)元素并成一組，叫做從 n個(gè)不同元素中取出 m個(gè) 元素的一個(gè)組合 .生 G :如果兩個(gè)組合中的元素完全相同，那么不管元素的順序如何，都是相同的組合；只有當(dāng)組合中的元素不完全相同時(shí)，才是不同的組合 .生H:排列與元素的順序有關(guān)，組合與順序無(wú)關(guān) ？如231與213是兩個(gè)排列，2 + 3 + 1的和與2 + 13 的和是一個(gè)組合 .生I：我舉個(gè)例子前邊生C同學(xué)提到的a，b，e，d，e這五個(gè)元素，寫出每次取出2個(gè)元素的所有組合 .先把a(bǔ)從左到右依次與 b，e，d，e組合，寫出ab，ae，ad，ae

12、 .再把b依次與e，d，e組合，寫 出be，bd， be . 再把 e 依次與 d， e 組合，寫出 ed， ee . 最后 d 與 e 組合，寫出 de . 前面生 C 同學(xué)已經(jīng) 寫得很好 .師：一定要認(rèn)真體會(huì)排列與組合的區(qū)別在于與順序是否有關(guān)，在以后的各種實(shí)際應(yīng)用題中要區(qū)別清楚才能尋找正確解題途徑和排列一樣，還需要區(qū)分清楚 “一個(gè)組合 ”和“組合種數(shù) ”這兩個(gè)概念一個(gè)組合不是一個(gè)數(shù)，而是具體 的一件事，剛才生I同學(xué)回答的每一種如 ab，又如ae,-都叫一個(gè)組合，共10種，而10就是組合數(shù).1，2，3，4 中取怎樣寫出所有的排列和所有的組合是本節(jié)的技能方面要求，現(xiàn)在請(qǐng)同學(xué)們寫出由 3 個(gè)數(shù)所

13、有組合板演：123 ， 124， 134 ， 234 師：最后希望大家思考，下面的問(wèn)題是排列問(wèn)題，還是組合問(wèn)題？怎樣解？ 1今欲從 1， 2， 3， 8， 9， 10， 12 諸數(shù)中選取兩數(shù)，使其和為偶數(shù)，問(wèn)共有幾種選法？ 2有四張卡片，每張分別寫著數(shù)碼1 ， 2， 3， 4有四個(gè)空箱，分別寫著號(hào)碼 1 ， 2， 3， 4 把卡片 放到空箱內(nèi)，每箱必須并且只能放一張，而且卡片數(shù)碼與箱子號(hào)碼必須不一致，問(wèn)有多少種放法？（ 兩道題用投影儀示出 ） 同學(xué)們獨(dú)立思考幾分鐘，然后全班進(jìn)行討論，請(qǐng)思考成熟的同學(xué)發(fā)言生 N : 我談第 1 題 ?要求出用兩個(gè)數(shù)碼所組成的其和為偶數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)，這時(shí)按兩奇數(shù)的和為偶數(shù)與兩偶數(shù)的和為偶數(shù)這一標(biāo)準(zhǔn)， 進(jìn)行分類選出的兩數(shù)不考慮順序， 因?yàn)榻粨Q位置其和不變， 是組合問(wèn)題 解 法是 :在 1，3，9中任選兩段： 1，3 ; 1，9 ; 3，9有 3個(gè)組合.在 2，8，10，12 中任選兩數(shù)： 2，8 ; 2，10 ; 2，12 ; 8，10 ; 8，12 ; 10，12 .有 6 個(gè)組合. 根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理， 36=9.所以共有 9 種選法 .生 P : 我談第 2 題 ?這是從四張卡片中取出4 張，分別放在四個(gè)位置上，只要交換卡片位置，就是 不同的放法，是個(gè)附有條件的排列問(wèn)題 . 解法是：第一步把數(shù)碼卡片四張中 2， 3， 4三張任選一個(gè)放在