現(xiàn)代控制理論試題詳細(xì)答案

1、實(shí)用文檔 現(xiàn)代控制理論試題B卷及答案 210?系統(tǒng)1 ，一、能控的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是?x?u,yx01xcvcvx?210? ? 能觀(guān)測(cè)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是。 cvcvx 2試從高階微分方程求得系統(tǒng)的狀態(tài)方程和輸出方u?5y?8y?y3 程（4分/個(gè)） 解 1 能控的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是2，能觀(guān)測(cè)的狀態(tài)變量個(gè)數(shù)是1。狀 態(tài)變量個(gè)數(shù)是2。.（4分） 2選取狀態(tài)變量，可得 .yx?yx?y?x231 （1分） x?x21 x?x32 .（1分） u?5?8x?3xx313 x?y1寫(xiě)成 0100? 1分）.（. 001x?x0?u? ?50?3?8? ? .（1分） x010?y二、1給出線(xiàn)性定常系統(tǒng)能控的定義

2、。)kCx(?y()?Bu(k),k)(?x(k1)?Axk 分）（3021?，判定該系統(tǒng)是否完2已知系統(tǒng)x011y00x,2?x ? ?3?00?全能觀(guān)？(5分) 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 解 1答：若存在控制向量序列，時(shí)系統(tǒng)從第1)?N1),u(k(u(k),uk?步的狀態(tài)開(kāi)始，在第步達(dá)到零狀態(tài)，即，其中是大于 )x(k0)?x(NNNk0的有限數(shù)，那么就稱(chēng)此系統(tǒng)在第步上是能控的。若對(duì)每一個(gè)，系kk統(tǒng)的所有狀態(tài)都是能控的，就稱(chēng)系統(tǒng)是狀態(tài)完全能控的，簡(jiǎn)稱(chēng)能控。.（3分） 2. 210? . ?10020?102?3CA?30?0?（1分） 210? （1分）.20049230? 02?CA?3?00

3、?C011? 分）.（1.CA02?3? ?U?O2?94CA0?，所以該系統(tǒng)不完全能觀(guān).（2n?2rankUO分） 三、已知系統(tǒng)1、2的傳遞函數(shù)分別為 2?1ss?1 ?)g(s?g(s), 2122s?3s?2s?3s?2求兩系統(tǒng)串聯(lián)后系統(tǒng)的最小實(shí)現(xiàn)。（8分） 解 (s?1)(s?1)s?1s?1 .?(gs)?)(g)(gs?s 112(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)s?4（5分） 最小實(shí)現(xiàn)為 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 010? .xy?01x?x?u,?140 ?（3分） 1?21?四、將下列狀態(tài)方程化為能控標(biāo)準(zhǔn)形。(8分) u?xx? ?314?1?1?（1分） 解 .?bAbU?C

4、17?17? 88?1?.（1分） ?U?11C? 88?11?.（1分） ?P? 188?13?.（1分） ?P? 244?11?P? 88 1?P?31P?2 44?31? 84.（1分） 1?8P?11? 84?01?.（1分） ?1?PAPA?C?105?11?10? 88.（1分） ? ?bPb?31C11? 44?010?.x?u x? ?1105?.（1分） ?12?五、利用李亞普諾夫第一方法判定系統(tǒng)（8分） 的穩(wěn)定性。x?x?1?1 ?解 標(biāo)準(zhǔn)文案 實(shí)用文檔 ?2?1?.2? 3?I?A?2?11? .（3分）. 分）.（3特征根. ?i?2?12（.均具有負(fù)實(shí)部，系統(tǒng)在原點(diǎn)附

5、近一致漸近穩(wěn)定. 分）11?是否為大范圍六、利用李雅普諾夫第二方法判斷系統(tǒng)x?x?3?2 ? 8分）漸近穩(wěn)定： （ 解pp? 1211?P?pp?2212 .1分）.（TI?A?P?PA1?4p?2p?1211? 1分）.（.0p?pp?4?2?221211?1?6p?2p?12227?p411?3 分）.（1.?p?822?5?p?8?1257?pp?84?1.（ .1211?P?pp35?221288? 分）57?pp?17784? 1分）.（12110?det?0 det?P? 11?pp35644?221288?分）（正定，因此系統(tǒng)在原點(diǎn)處是大范圍漸近穩(wěn)定的 .1P 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔

6、2s?11? s?1)(s?2)(s 七、已知系統(tǒng)傳遞函數(shù)陣為試?)G(s3?12s? 21s?s1)(s?2)s(?判斷該系統(tǒng)能否用狀態(tài)反饋和輸入變換實(shí)現(xiàn)解耦控制。（6分） 解： - （2分） 0?d0?d21 ?， - （2 分）0E?011E11 10? 非奇異，可實(shí)現(xiàn)解耦控制。- （2E?01?分） pp? 1211?P?pp?2212八、給定系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為?1?2?31?，設(shè)計(jì)一個(gè)具有特征值為-1， x00yu,x?0?11x?10? ?1?101?-1，-1的全維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器。（8分） 解：方法1 ?12?E3 1 - 1分 ?1?1I?A?EC?0E 2?E?1?13232

7、?EE?E?3?3E?(?2?1)E?32?31?3 3213223?E?E4E6?E?3)?(?E(2?E6)?132223- 2分 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 又因?yàn)?- 1分 23*?1)?(3?3f?列方程 6?E?4E?E?1123 - 2分 3E?6?2E?32E?3?32 - 1分 30,E?E?2,k?321觀(guān)測(cè)器為 ?10?31?2? - 1分 ?01100yux?x? ?3?1110?2 方法? 312? 23? 6?1?3?I?A06?1?1?10? - 1分 2*3?1?3f?()?3? 分-2 0?3,EE?5,E312 分-11aa?12? T2TTTT?0ACA(a)?QC

8、C1?1?010? 分-2 1分3?2,?E?k?E?0,312 觀(guān)測(cè)器為 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 ?10?31?2? - 1分 ?01100xu?x?y? ?3110?1?100?AO10? ，.九 解 1?0?01A?AA?1,?21AO12?2210?（1分） At?0e1 .（1AttAt?ee?e?1Ate02?分） 1?01?1s?0 ?1?s.（1分） 1?A)(sI?21112?1s? s?s?2s12?t?0e?1?.（1分）tA1?ALsIe?2?2t2t2teee?t?0e0?1?.（2分） 1t?At0?e0sI?L?eA?t22ttee?0e?At(0)xe(xt)? tt

9、?00e1e?.t000?e?0?tttt222e0?ee1e?（2分） 現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題1 一、（10分，每小題2分）試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號(hào)里打，反之打。 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 （ ）1. 由一個(gè)狀態(tài)空間模型可以確定惟一一個(gè)傳遞函數(shù)。 （ ）2. 若一個(gè)對(duì)象的連續(xù)時(shí)間狀態(tài)空間模型是能控的，則其離散化狀態(tài)空間模型也一定是能控的。 （ ）3. 對(duì)一個(gè)給定的狀態(tài)空間模型，若它是狀態(tài)能控的，則也一定是輸出能控的。 A（ ），其Lyapunov意義下的漸近穩(wěn)定性和矩陣4. 對(duì)系統(tǒng)?x?Ax的特征值都具有負(fù)實(shí)部是一致的。 （ ）5. 根據(jù)線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題設(shè)計(jì)的最優(yōu)控

10、制系統(tǒng)一定是漸近穩(wěn)定的。 s?3 試求（二、15分）考慮由下式確定的系統(tǒng)： ?)G(s 2s?3s?2其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的能控標(biāo)準(zhǔn)型、能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型和對(duì)角線(xiàn)標(biāo)準(zhǔn)型，并畫(huà)出能控標(biāo)準(zhǔn)型的狀態(tài)變量圖。 解： 能控標(biāo)準(zhǔn)形為 xx010?11?u?xx13?2?22 x?11?3y?x?2能觀(guān)測(cè)標(biāo)準(zhǔn)形為 xx320?11?u?xx1?31?22 x?11y?0?x?2對(duì)角標(biāo)準(zhǔn)形為 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 xx1?10?11?u?xx120?22 x?11y?2?x?2分）在線(xiàn)性控制系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)中，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣10三、（ 起著很重要的作用。對(duì)系統(tǒng)01? x?x?3?2? 求其狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 1。解：解法A它們

11、是不相的兩個(gè)特征值是容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣，?2?,?121AA對(duì)應(yīng)于特征值同的，故系統(tǒng)的矩陣矩陣可以對(duì)角化。?2?1,?21 的特征向量是11? ?,?2121?1112?1? ， 則取變換矩陣 1?TT?211?1?2?1?01? 因此， 1?D?TAT?20? 從而，tt?1121?00ee?1At?Te?T?t?2t2?111?2?e00e? t?t2?t?2?t?eee?e2?t?2?t?tt2ee?2?e?2e2? 2。拉普拉斯方法解法 由于 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 ?1s?1s?31?11?1?adj(sI?sI?A)A)?(? 3?2s?2s2?3)sI?A)s(sdet(?13s?

12、? 1112? ? )2)(s?2)(s?1)(s?1(s?21s?s?1s?2s?22?2?2s?1? ?2s2?1s?s?1)(s?2)(s1)(s?2)?s?1s?(?t?2?t?t?2t?ee?2ee? 故1?At1?)A?L(sI?(t)?e?tt2?t2?t?e?2e?2e2?e? 哈密爾頓方法解法3。凱萊- 將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫(xiě)成 AtAt)I?ae(?a(t)10 ，故-1和-2特統(tǒng)矩陣的征值是系 tt?2?)tt)?2e)(?at)?a(tea(?a1100 解以上線(xiàn)性方程組，可得t?t?t?2t2ea(t?(at)e?2?ee)?01t?t?2t2t?e?ee2e? 因此， A

13、t?At)(I()t?e?at)?a?(?10t?t2t?t?2e?ee2?2?2e?分）已知對(duì)象的狀態(tài)空間模型（四、是完全能,15?x,?AxCxy?Bu觀(guān)的，請(qǐng)畫(huà)出觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)的框圖，并據(jù)此給出觀(guān)測(cè)器方程，觀(guān)測(cè)器設(shè) 計(jì)方法。 觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)的框圖：解 觀(guān)測(cè)器方程：?)CxyLBux?Ax?(? LyxLC?A?()Bu? 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 Lnp維的待定觀(guān)測(cè)器增益矩陣。是一個(gè) 是觀(guān)測(cè)器的維狀態(tài)，其中：x觀(guān)測(cè)器設(shè)計(jì)方法： 由于 TTTT?)?C?detLI?det?(A?LC)?(I?(A?LC)AdetIL，使得因此，可以利用極點(diǎn)配置的方法來(lái)確定矩陣具有給TTTL?AC定的觀(guān)測(cè)器極點(diǎn)。具體的方法

14、有：直接法、變換法、愛(ài)克曼公式。 五、（15分）對(duì)于一個(gè)連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性定常系統(tǒng)，試敘述Lyapunov穩(wěn)定性定理，并舉一個(gè)二階系統(tǒng)例子說(shuō)明該定理的應(yīng)用。 解 連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理： 在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)?0?xx?AxeQ，李雅普諾夫矩陣方程對(duì)任意給定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣有TQ?PAA?PP。 惟一的對(duì)稱(chēng)正定解QI。在具體問(wèn)題分析中，可以選取 = xx10?考慮二階線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)： 11?xx?1?1?22原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫矩陣方程 TI?APAP?pp? 其中的未知對(duì)稱(chēng)矩陣 1211P?pp?2212AP的表示式代入李

15、雅普諾夫方程中，可得和將矩陣 pppp01?01?10? 12111112?pppp?1?1?110?1?22121222進(jìn)一步可得聯(lián)立方程組 ?2p?112 0p?pp2211122p?2p?12212 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 從上式解出、和，從而可得矩陣 ppp221112pp3/21/2? 1211?P?pp1/21?221235 根據(jù)塞爾維斯特方法，可得 ?0?detP?0? 1242P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)故矩陣定的。 六、（10分）已知被控系統(tǒng)的傳遞函數(shù)是 10 ?)G(s (s?1)(s?2)試設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制律，使得閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)為-1 j。 解 系

16、統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是 100?xx?u? 3?12?x100y? 將控制器 代入到所考慮系統(tǒng)的狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)xku?k10系統(tǒng)狀態(tài)方程 01? xx?k?3?2?k?10該閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程是 2?)?k?(?(3k)det()I?A?201c期望的閉環(huán)特征方程是 2?2?j)?2?(?1?j)(1?通過(guò) 22?2?)?(2?k)2?(3k01可得 2k?223?k?01 從上式可解出 0?k?1k?01x? 因此，要設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器是110u?x?2 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 七、（10分）證明：等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。 證明 對(duì)狀態(tài)空間模型 ?Ax?Bux y?Cx?D

17、u它的等價(jià)狀態(tài)空間模型具有形式 ? ?Ax?Bux uDx?y?C 其中： 11? D?CTDA?TAT?B?TBC T是任意的非奇異變換矩陣。利用以上的關(guān)系式，等價(jià)狀態(tài)空間模型的能控性矩陣是 n?1 BAB?BAB?A,?c?1?1n?1TB(TB?TATTAT)TB? 1?nABTBAB?B,?A?TcT是非奇異的，故矩陣，和由于矩陣具有相同的秩，從 ,B?A,B?Acc而等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。 八、（15分）在極點(diǎn)配置是控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)中的一種有效方法，請(qǐng)問(wèn)這種方法能改善控制系統(tǒng)的哪些性能？對(duì)系統(tǒng)性能是否也可能產(chǎn)生不利影響？如何解決？ 解： 極點(diǎn)配置可以改善系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)性能，如調(diào)

18、節(jié)時(shí)間、峰值時(shí)間、振蕩幅度。 極點(diǎn)配置也有一些負(fù)面的影響，特別的，可能使得一個(gè)開(kāi)環(huán)無(wú)靜差的系統(tǒng)通過(guò)極點(diǎn)配置后，其閉環(huán)系統(tǒng)產(chǎn)生穩(wěn)態(tài)誤差，從而使得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能變差。 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 改善的方法：針對(duì)階躍輸入的系統(tǒng)，通過(guò)引進(jìn)一個(gè)積分器來(lái)消除跟蹤 誤差，其結(jié)構(gòu)圖是 構(gòu)建增廣系統(tǒng)，通過(guò)極點(diǎn)配置方法來(lái)設(shè)計(jì)增廣系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器，從而使得閉環(huán)系統(tǒng)不僅保持期望的動(dòng)態(tài)性能，而且避免了穩(wěn)態(tài)誤差的出現(xiàn)。 現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題2 一、（10分，每小題2分）試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號(hào)里打，反之打。 （ ）1. 對(duì)一個(gè)系統(tǒng)，只能選取一組狀態(tài)變量； （ ）2. 由狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣可以決定系統(tǒng)狀

19、態(tài)方程的狀態(tài)矩陣，進(jìn)而決定系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)特性； （ ）3. 若傳遞函數(shù)存在零極相消，則對(duì)應(yīng)的狀1?B?A)G(s?C(sI態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)是不能控不能觀(guān)的； （ ）4. 若一個(gè)系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則該系統(tǒng)在任意平衡狀態(tài)處都是穩(wěn)定的； （ ）5. 狀態(tài)反饋不改變系統(tǒng)的能控性。 二、（20分）已知系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 2s?5 ?)G(s )5?s)(3?s( 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 （1） 采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖； （2） 采用并聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖。 Gs)寫(xiě)成以下形式：1）將 (答:（12s?5 ?G(s)? s?3s?

20、512s?5和串連，它們的狀態(tài)空間模型分別為： 這相當(dāng)于兩個(gè)環(huán)節(jié) 5?3ss?5x?uxx3?x?u? 11122和 ?u?5x?yxy?1211由于，故可得給定傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)是： u?y11 將其寫(xiě)成矩陣向量的形式，可得： 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為： 串連分解所得狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖 Gs)寫(xiě)成以下形式： ）將（2 ( 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 0.52.5和它可以看成是兩個(gè)環(huán)節(jié)的并聯(lián)，每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間? 3s?5s? 模型分別為： 和 由此可得原傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)： 進(jìn)一步寫(xiě)成狀態(tài)向量的形式，可得： 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為： 并連分解所得狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)的狀態(tài)變量圖分）試介紹求解線(xiàn)性定常系統(tǒng)

21、狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法，并以一20三、（ 種方法和一個(gè)數(shù)值例子為例，求解線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣； 答：求解狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法有： 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 方法一 直接計(jì)算法： 根據(jù)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的定義 A。 來(lái)直接計(jì)算，只適合一些特殊矩陣方法二 通過(guò)線(xiàn)性變換計(jì)算狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，設(shè)法通過(guò)線(xiàn)性變換，將矩A 變換成對(duì)角矩陣或約當(dāng)矩陣，進(jìn)而利用方法得到要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移陣矩陣。 方法三 拉普拉斯變換法：。 11?At?sI?e?L)A(方法四 凱萊-哈密爾頓方法 根據(jù)凱萊-哈密爾頓定理和，可導(dǎo)出具有以下形式： Ate t An有的標(biāo)量函數(shù)。根據(jù)矩陣其中的均是時(shí)間 ?)t(),t(),(t?1?02n個(gè)不同特征值和有

22、重特征值的情況，可以分別確定這些系數(shù)。 舉例：利用拉普拉斯變換法計(jì)算由狀態(tài)矩陣 所確定的自治系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 由于 故 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 分）解釋狀態(tài)能觀(guān)性的含義，給出能觀(guān)性的判別條件，并舉（10四、 例說(shuō)明之。狀態(tài)能觀(guān)性反映了通過(guò)系統(tǒng)的輸出對(duì)系統(tǒng)狀答：狀態(tài)能觀(guān)性的含義：態(tài)的識(shí)別能力，對(duì)一個(gè)零輸入的系統(tǒng)，若它是能觀(guān)的，則可以通過(guò)一 段時(shí)間內(nèi)的測(cè)量輸出來(lái)估計(jì)之前某個(gè)時(shí)刻的系統(tǒng)狀態(tài)。 狀態(tài)能觀(guān)的判別方法：n 階系統(tǒng)對(duì)于 C?CA?若其能觀(guān)性矩陣 1. 列滿(mǎn)秩，則系統(tǒng)完全能觀(guān)?o?1n?CA? 若系統(tǒng)的能觀(guān)格拉姆矩陣2. 非奇異，則系統(tǒng)完全能觀(guān)。 舉例： 對(duì)于系統(tǒng) 其能觀(guān)性矩陣 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔

23、 ，即是列滿(mǎn)秩的，故系統(tǒng)是能觀(guān)的。的秩為2 分）對(duì)一個(gè)由狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)，試回答：五、（20 能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什么？） （1 簡(jiǎn)單敘述兩種極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法；） （2 試通過(guò)數(shù)值例子說(shuō)明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)。（3）能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件：系統(tǒng)是能控答：（1 的。）極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)方法有直接法、變換法、愛(ài)克（2 曼公式法。 直接法 驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。BKAu Kx，閉環(huán)系統(tǒng)的特=?，相應(yīng)的閉環(huán)矩陣是設(shè)狀態(tài)反饋控制器 征多項(xiàng)式為 由期望極點(diǎn) 可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式?,?n1 可以列出一組以

24、控制器參數(shù)為變量通過(guò)讓以上兩個(gè)特征多項(xiàng)式相等，由這組線(xiàn)性方程可以求出極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋的增益矩的線(xiàn)性方程組，K 陣。 變換法 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 驗(yàn)證系統(tǒng)的能控性，若系統(tǒng)能控，則進(jìn)行以下設(shè)計(jì)。 將狀態(tài)空間模型轉(zhuǎn)化為能控標(biāo)準(zhǔn)型，相應(yīng)的狀態(tài)變換矩陣 設(shè)期望的特征多項(xiàng)式為 而能控標(biāo)準(zhǔn)型的特征多項(xiàng)式為 所以，狀態(tài)反饋控制器增益矩陣是 （3） 采用直接法來(lái)說(shuō)明極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì) 考慮以下系統(tǒng) 設(shè)計(jì)一個(gè)狀態(tài)反饋控制器，使閉環(huán)系統(tǒng)極點(diǎn)為2?和?3。 該狀態(tài)空間模型的能控性矩陣為 該能控性矩陣是行滿(mǎn)秩的，所以系統(tǒng)能控。 設(shè)狀態(tài)反饋控制器 將其代入系統(tǒng)狀態(tài)方程中，得到閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)方程 其特征多項(xiàng)式為 標(biāo)準(zhǔn)

25、文案實(shí)用文檔 ，可得閉環(huán)特征多項(xiàng)式? 2和3由期望的閉環(huán)極點(diǎn)? 通過(guò) 可得 由此方程組得到 因此，要設(shè)計(jì)的極點(diǎn)配置狀態(tài)反饋控制器 分）給定系統(tǒng)狀態(tài)空間模型20 六、（?xAx? 試問(wèn)如何判斷該系統(tǒng)在李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性？1（） 試通過(guò)一個(gè)例子說(shuō)明您給出的方法；（2） 給出李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理解釋。（3） 答：根據(jù)線(xiàn)給定的系統(tǒng)狀態(tài)空間模型（1）是一個(gè)線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，?x?Ax該系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的充分必要性時(shí)不變系統(tǒng)穩(wěn)定性的李雅普諾夫定理，Q有一個(gè)條件是：對(duì)任意給定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣，矩陣方程TQ?PA?APP，若能得到對(duì)稱(chēng)正定解矩陣。因此，通過(guò)求解矩陣方程TQ?P?PA?APP，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的

26、；一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定解矩陣，若得不到對(duì)稱(chēng)正定解矩陣 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 Q I。= 則系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。一般的，可以選?。?）舉例：考慮由以下?tīng)顟B(tài)方程描述的二階線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)： 原點(diǎn)是該系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解李雅普諾夫方程：，TQ?P?APA其中的未知矩陣 AP的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得 和將矩陣 Q I，則從以上矩陣方程可得：=2為了計(jì)算簡(jiǎn)單，選取 求解該線(xiàn)性方程組，可得： 即 P是正定的。因此該系統(tǒng)是漸近穩(wěn)定的。判斷可得矩陣 （3）李雅普諾夫穩(wěn)定性定理的物理意義：針對(duì)一個(gè)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)和確定的平衡狀態(tài)，通過(guò)分析該系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中能量的變化來(lái)判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。具體地說(shuō)，就是構(gòu)造一個(gè)反映系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中

27、能量變化的虛擬能量函數(shù)，沿系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)軌跡，通過(guò)該能量函數(shù)關(guān)于時(shí)間導(dǎo)數(shù)的取值 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 來(lái)判斷系統(tǒng)能量在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中是否減少，若該導(dǎo)數(shù)值都是小于零的，則表明系統(tǒng)能量隨著時(shí)間的增長(zhǎng)是減少的，直至消耗殆盡，表明在系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)上，就是系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)逐步趨向平緩，直至在平衡狀態(tài)處穩(wěn)定下來(lái)，這就是李雅普諾夫意義下的穩(wěn)定性 現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題3 一、（10分，每小題2分）試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確的，則在其左邊的括號(hào)里打，反之打。 （ ）1. 具有對(duì)角型狀態(tài)矩陣的狀態(tài)空間模型描述的系統(tǒng)可以看成是由多個(gè)一階環(huán)節(jié)串聯(lián)組成的系統(tǒng)； （ ）2. 要使得觀(guān)測(cè)器估計(jì)的狀態(tài)盡可能快地逼近系統(tǒng)的實(shí)際狀態(tài)，觀(guān)測(cè)器的極點(diǎn)

28、應(yīng)該比系統(tǒng)極點(diǎn)快10倍以上； （ ）3. 若傳遞函數(shù)存在零極相消，則對(duì)應(yīng)狀態(tài)1?B?(sIA)G(s)?C空間模型描述的系統(tǒng)是不能控的； （ ）4. 若線(xiàn)性系統(tǒng)是李雅普諾夫意義下穩(wěn)定的，則它是大范圍漸近穩(wěn)定的； （ ）5. 若線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制問(wèn)題有解，則可以得到一個(gè)穩(wěn)定化狀態(tài)反饋控制器。 二、（20分）（1）如何由一個(gè)傳遞函數(shù)來(lái)給出其對(duì)應(yīng)的狀態(tài)空間模型，試簡(jiǎn)述其解決思路？ 2s?5的兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。）給出一個(gè)二階傳遞函數(shù) 2（?Gs)( (s?3)(s?5)解：（1）單輸入單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 ，則通過(guò)長(zhǎng)除法，傳遞函數(shù)總可以轉(zhuǎn)化成若0?b)G(sn 將

29、 分解成等效的兩個(gè)特殊環(huán)節(jié)的串聯(lián)： 可得一個(gè)狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn) n階的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù)的其思想是將一個(gè)串聯(lián)法 最后利用串聯(lián)關(guān)乘積，然后寫(xiě)出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)， 系，寫(xiě)出原來(lái)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。其的思路是把一個(gè)復(fù)雜的傳遞函數(shù)分解成若干低階傳遞函數(shù) 并聯(lián)法最后根據(jù)并聯(lián)然后對(duì)每個(gè)低階傳遞函數(shù)確定其狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，的和， 關(guān)系給出原來(lái)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)。 重新寫(xiě)成下述形式：2（）方法一：將)sG( 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 又因?yàn)椋?所以 u?y11 因此，若采用串聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 方法二：將重新寫(xiě)成下述形式： )sG( 每一個(gè)環(huán)節(jié)的

30、狀態(tài)空間模型分別為： 又由于 因此，若采用并聯(lián)分解方式，則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 方法三：將重新寫(xiě)成下述形式： )(Gs 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 則系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 分，由一個(gè)傳遞函數(shù)轉(zhuǎn)換為狀態(tài)空間模型思）10評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1510分，兩種狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)方法各分；問(wèn)題（2）路清晰，方法正確10 分。 ）試問(wèn)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是什么？20分）（1三、（ ）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣是否包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息？（2 ）介紹兩種求解線(xiàn)性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法；（301? 的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。（4）計(jì)算系統(tǒng)?x?32?）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義是決定狀態(tài)沿著軌線(xiàn)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移解：（1txt的作( 0)到下一個(gè)狀態(tài)的

31、規(guī)律，即初始狀態(tài),0在狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣xtxttt ?的狀態(tài)0后轉(zhuǎn)移到了時(shí)刻用下，0時(shí)刻的初始狀態(tài)經(jīng)過(guò)時(shí)間0 t (。) ）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；對(duì)于自治系統(tǒng)（2 直接計(jì)算法。哈密爾頓法、拉普拉斯變換法、凱萊-線(xiàn)性變換法、）（3 直接計(jì)算法方法一 根據(jù)定義， 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 故可以通過(guò)計(jì)算該矩陣我們已經(jīng)知道上式中的矩陣級(jí)數(shù)總是收斂的， 級(jí)數(shù)的和來(lái)得到所要求的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。A是一個(gè)可對(duì)角化的矩陣，即存在一個(gè)如果矩陣方法二 線(xiàn)性變換法 T ，使得非奇異矩陣 則 拉普拉斯變換法方法三 哈密爾頓法凱萊- 方法四 解一個(gè)線(xiàn)性方程組 n 互2, ,其系數(shù)矩陣的行列式是著名的范德蒙行列式，

32、當(dāng)1,t0(), 從而從方程組可得惟一解不相同時(shí)，行列式的值不為零，ttn )1 (), ,?1 ( 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 可得狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣。 4）方法一：線(xiàn)性變換法，（A，它們的兩個(gè)特征值是 容易得到系統(tǒng)狀態(tài)矩陣?2?1,21AA對(duì)應(yīng)與特征值可以對(duì)角化。矩陣是不相同的，故系統(tǒng)的矩陣 的特征向量是?2?1,21 取變換矩陣 因此， 從而， 方法二：拉普拉斯變換法，由于 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 故 哈密爾頓法方法二：凱萊- 將狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣寫(xiě)成 ，故和系統(tǒng)矩陣的特征值是-1-2 解以上線(xiàn)性方程組，可得 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 因此， 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：每個(gè)問(wèn)題5分。問(wèn)題（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的意義敘述完整5分；問(wèn)題（2）判斷

33、正確5分；問(wèn)題（3）給出兩種求解線(xiàn)性定常系統(tǒng)狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的方法5分；問(wèn)題（3）方法和結(jié)果正確5分。 四、（20分）（1）解釋系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義； （2）給出能控性的判別條件，并通過(guò)一個(gè)例子來(lái)說(shuō)明該判別條件的應(yīng)用； （3）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實(shí)際中能實(shí)現(xiàn)嗎？為什么？ 解：（1）對(duì)一個(gè)能控的狀態(tài)，總存在一個(gè)控制律，使得在該控制律作用下，系統(tǒng)從此狀態(tài)出發(fā)，經(jīng)有限時(shí)間后轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)。 （2）通過(guò)檢驗(yàn)?zāi)芸匦耘袆e矩陣n?1是否行滿(mǎn)秩來(lái)判別線(xiàn)ABABB?性時(shí)不變系統(tǒng)的能控性。若能控性判別矩陣是行滿(mǎn)秩的，則系統(tǒng)是能控的。 試判別由以下?tīng)顟B(tài)方程

34、描述的系統(tǒng)的能控性： 系統(tǒng)的能控性判別矩陣 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 由于 BcA ,即矩陣不是滿(mǎn)秩的，該系統(tǒng)不是狀態(tài)完全能控的。）若一個(gè)系統(tǒng)是能控的，則可以在任意短時(shí)間內(nèi)將初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移（3T越小，則控到任意指定的狀態(tài)，這一控制效果在實(shí)際中難以實(shí)現(xiàn)，這要求執(zhí)行器的調(diào)從而導(dǎo)致控制信號(hào)的幅值很大，制律的參數(shù)越大，從而使得在有限時(shí)間內(nèi)完成這一控制作用所需要消耗節(jié)幅度要很大，（如執(zhí)行器的調(diào)節(jié)幅度總是有限的的能量也很大。由于在實(shí)際過(guò)程中， 閥門(mén)的開(kāi)度等），能量供應(yīng)也是有限制的。能(2) 分；問(wèn)題）問(wèn)題（1系統(tǒng)狀態(tài)能控性的含義敘述完整6評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：分，原因分析正33）判斷正確控性的判別條件4分，舉例3分；問(wèn)題（ 4

35、分。確）能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是什分）（1五、（20 么？ 2）已知被控對(duì)象的狀態(tài)空間模型為（010?u?xx? 413?x32y? 。和4?5?設(shè)計(jì)狀態(tài)反饋控制器，使得閉環(huán)極點(diǎn)為）極點(diǎn)配置是否會(huì)影響系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)性能？若會(huì)的話(huà)，如何克服？（3 試簡(jiǎn)單敘述之？ 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 解：（1）能夠通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件是系統(tǒng)狀態(tài)能控。 （2） 由于給出的狀態(tài)空間模型是能控標(biāo)準(zhǔn)形，因此，系統(tǒng)是能控的。根據(jù)所期望的閉環(huán)極點(diǎn)是?4和?5，可得期望的閉環(huán)特征多項(xiàng)式是 因此，所要設(shè)計(jì)的狀態(tài)反饋增益矩陣是 相應(yīng)的閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)矩陣是 閉環(huán)傳遞函數(shù)是 評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（1）給出通過(guò)狀態(tài)反饋實(shí)

36、現(xiàn)任意極點(diǎn)配置的條件6分；問(wèn)題（2）狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)方法正確7分；問(wèn)題（3）判斷正確3分，敘述克服方法4分。 六、（10分）（1） 敘述線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理； ?11?利用李雅普諾夫穩(wěn)定性定理判斷系統(tǒng) （2）的穩(wěn)定性。 xx?0?1?解：（1）連續(xù)時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線(xiàn)性在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任?0x?x?AxeQP，使得矩陣方程，存在一個(gè)對(duì)稱(chēng)正定矩陣 意給定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣 成立。 TQPAAP? 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 離散時(shí)間線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性定理；線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)對(duì)任意給在平衡點(diǎn)處漸近穩(wěn)定的充分必要條件是：0?x)k

37、?Ax(kx(?1)eQ，矩陣方程 定的對(duì)稱(chēng)正定矩陣TQ?PA?PAP。存在對(duì)稱(chēng)正定解矩陣 （2）原點(diǎn)是系統(tǒng)的惟一平衡狀態(tài)。求解以下的李雅普諾夫方程 TI?PAA?P其中的未知對(duì)稱(chēng)矩陣 AP的表示式代入李雅普諾夫方程中，可得和將矩陣 進(jìn)一步將以上矩陣方程展開(kāi)，可得聯(lián)立方程組 ppp22和、 11，從而可12應(yīng)用線(xiàn)性方程組的求解方法，可從上式解出P： 得矩陣 根據(jù)矩陣正定性判別的塞爾維斯特方法，可得 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 P是正定的。因此，系統(tǒng)在原點(diǎn)處的平衡狀態(tài)是大范圍漸近穩(wěn)故矩陣 定的。）完整敘述線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)的李雅普諾夫穩(wěn)定性1評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)：?jiǎn)栴}（ 分。）穩(wěn)定性判斷方法和結(jié)果正確5分；問(wèn)題（定理52

38、 4現(xiàn)代控制理論復(fù)習(xí)題分）試判斷以下結(jié)論的正確性，若結(jié)論是正確110分，每小題一、（ 的，則在其左邊的括號(hào)里打，反之打。 相比于經(jīng)典控制理論，現(xiàn)代控制理論的一個(gè)顯著優(yōu)點(diǎn)是）1. （ 可以用時(shí)域法直接進(jìn)行系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)。傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)不唯一的一個(gè)主要原因是狀態(tài)）2. （ 變量選取不唯一。狀態(tài)變量是用于完全描述系統(tǒng)動(dòng)態(tài)行為的一組變量，因3. ）（ 此都是具有物理意義。輸出變量是狀態(tài)變量的部分信息，因此一個(gè)系統(tǒng)狀態(tài)能） 4. （ 控意味著系統(tǒng)輸出能控。 等價(jià)的狀態(tài)空間模型具有相同的傳遞函數(shù)。 ）5. （ 6. 互為對(duì)偶的狀態(tài)空間模型具有相同的能控性。 （ ）一個(gè)系統(tǒng)的平衡狀態(tài)可能有多個(gè)，因

39、此系統(tǒng)的李雅普諾）7. （ 夫穩(wěn)定性與系統(tǒng)受擾前所處的平衡位置無(wú)關(guān)。 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 （ ）8. 若一線(xiàn)性定常系統(tǒng)的平衡狀態(tài)是漸近穩(wěn)定的，則從系統(tǒng)的任意一個(gè)狀態(tài)出發(fā)的狀態(tài)軌跡隨著時(shí)間的推移都將收斂到該平衡狀態(tài)。 （ ）9. 反饋控制可改變系統(tǒng)的穩(wěn)定性、動(dòng)態(tài)性能，但不改變系統(tǒng)的能控性和能觀(guān)性。 （ ）10. 如果一個(gè)系統(tǒng)的李雅普諾夫函數(shù)確實(shí)不存在，那么我們就可以斷定該系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。 二、（15分）建立一個(gè)合理的系統(tǒng)模型是進(jìn)行系統(tǒng)分析和設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)。已知一單輸入單輸出線(xiàn)性定常系統(tǒng)的微分方程為： ?y)u(t(t)?8u(y)?4)(t?3yt)?ut()?6t(（1）采用串聯(lián)分解方式，給出其狀態(tài)

40、空間模型，并畫(huà)出對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖；（7分3分） n階微分方程建試簡(jiǎn)述由一個(gè)系統(tǒng)的）（2歸納總結(jié)上述的實(shí)現(xiàn)過(guò)程，立系統(tǒng)狀態(tài)空間模型的思路。（5分） 解：（1）方法一： 由微分方程可得 令 每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 uy 所以，又因?yàn)?= 1 因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為： 方法二： 由微分方程可得 每一個(gè)環(huán)節(jié)的狀態(tài)空間模型分別為： uy 所以，又因?yàn)?=1 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 因此，采用串聯(lián)分解方式可得系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型為： 對(duì)應(yīng)的狀態(tài)變量圖為 （2）單輸入單輸出線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)傳遞函數(shù)的一般形式是 bn Gs)總可以轉(zhuǎn)化成( 若 0

41、，則通過(guò)長(zhǎng)除法，傳遞函數(shù) csas)分解成若干低階(1階)/()將傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)的乘積，(然后根據(jù)能控標(biāo)準(zhǔn)型或能觀(guān)標(biāo)準(zhǔn)型寫(xiě)出這些低階傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間實(shí)現(xiàn)，最后利用串聯(lián)關(guān)系，寫(xiě)出原來(lái)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型。 三、（10分）系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣不僅包含了對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息，而且在線(xiàn)性控制系統(tǒng)的分析、設(shè)計(jì)中具有重要的作用。已知系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣如下： ?t?2t?t?2t?e?e?2e2?e2 ?)(?t?tt?2t2t?ee4?e4e2?（1）試給出對(duì)應(yīng)自治系統(tǒng)的全部信息；（5分） 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 （2）試列舉狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)，并簡(jiǎn)述其意義。（5分） A描述，可由狀態(tài)轉(zhuǎn)）一個(gè)自治系統(tǒng)的全

42、部信息由其狀態(tài)矩陣解：（1tA。 移矩陣)(確定一線(xiàn)性定常系統(tǒng)的狀態(tài)矩陣t?，滿(mǎn)足對(duì)任意的，而 ?)(t?(t)?A t IA ? ，并利用，則可得狀態(tài)矩陣(0)=取 對(duì)等式=0?)(t?(t)A? （2）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的基本性質(zhì)： ? ? ，包含對(duì)應(yīng)系統(tǒng)自由運(yùn)動(dòng)的全部信息；?(0)?I,?(t)?A?t)tststs)(和(，滿(mǎn)足()+)= ，即利用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩 ?對(duì)任意的txt)陣可以從任意指定的初始時(shí)刻(的狀態(tài)出發(fā)，以確定任意時(shí)00txt)；(刻 處的狀態(tài)-1ttt)滿(mǎn)足，對(duì)? 任意的(即可以由當(dāng)前的狀態(tài)信息確定，(-)= 以前的狀態(tài)信息。 分）實(shí)際被控系統(tǒng)通常是連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，但計(jì)算機(jī)控制卻

43、是（20四、一種基于離散模型的控制，因此一種方法是對(duì)連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)做離散 化。那么請(qǐng)問(wèn)）一個(gè)能控能觀(guān)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型是1（ 分）否仍然保持能控能觀(guān)性？（2 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 011? 說(shuō)明你）以如下線(xiàn)性定常系統(tǒng)為例： （2?x0?1?xuyx?010?的理由以支持你的觀(guān)點(diǎn)。（10分） ukT)x(01=）令采樣周期/2,初始狀態(tài))，使得（2）為，求（(3?1?x(0)1?2中離散化狀態(tài)空間模型在第2個(gè)采樣時(shí)刻轉(zhuǎn)移到原點(diǎn)。（8分） 解：（1）不一定。 （2）連續(xù)系統(tǒng)的狀態(tài)空間模型是能控標(biāo)準(zhǔn)形，故系統(tǒng)是能控的。將T，系統(tǒng)的狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣為 狀態(tài)方程離散化，設(shè)采樣周期為 T可得到

44、離散化狀態(tài)方程，此 根據(jù)，?AAT?d)T?e(,T?e)(GT?()H0 時(shí) 因此，離散化狀態(tài)空間模型為 則離散化系統(tǒng)的能控性矩陣為 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 T TTkk=0,1,2, (=2sin)，即 = 時(shí)，離散化系統(tǒng)是所以，當(dāng)sin2Tkk=0,1,2 (不能控的；當(dāng))時(shí)，離散化系統(tǒng)是能控的。同理， 離散化系統(tǒng)的能觀(guān)性矩陣為 TTkk=0,1,2,) (所以，sin時(shí)，離散化系統(tǒng)是不能觀(guān)的；=0，即 = Tkk=0,1,2 (當(dāng))時(shí)，離散化系統(tǒng)是能觀(guān)的。因此，一個(gè)能控能觀(guān)的連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，其離散化后的狀態(tài)空間模型不一定仍然是能控能T的選擇。 觀(guān)的，主要取決與采樣周期T=/2時(shí)，離散化狀態(tài)空間

45、模型為（3）當(dāng)采樣周期 可得 將式(a)代入式(b)得 即 整理可得 五、（10分）證明：狀態(tài)反饋不改變被控系統(tǒng)的能控性。 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 證明一：采用能控性定義證明，具體見(jiàn)教材P125. ABCD），則狀態(tài)反饋后得到閉環(huán)系統(tǒng), , 證明二：考慮被控系統(tǒng)（, SK，其狀態(tài)空間模型為 S0的能控性矩陣為 開(kāi)環(huán)系統(tǒng) SK的能控性矩陣為 閉環(huán)系統(tǒng) 由于 以此類(lèi)推，總可以寫(xiě)成的線(xiàn)性組合。因此，1?mmmBAB,?BK)BBA,B,A(AU，使得存在一個(gè)適當(dāng)非奇異的矩陣 n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的列向量，則由此可得：若，即有n)?rank(?A,Bcn個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的列向量，故也有，n)?BA(rank?(?BKBB

46、KA(?),),ckck命題得證。 六、（20分）雙足直立機(jī)器人可以近似為一個(gè)倒立擺裝置，如圖所示。假設(shè)倒立擺系統(tǒng)的一個(gè)平衡點(diǎn)線(xiàn)性化狀態(tài)空間模型如下： 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 ?其中，狀態(tài)變量yT是擺桿的偏移，是小車(chē)的位移，?yyx?u 是作用在小車(chē)上的動(dòng)力。試回答角，）雙足直立機(jī)器人在行走過(guò)程中被人推了一把而偏離垂直面，那（1請(qǐng)問(wèn)雙足直立機(jī)器人在該擾動(dòng)推力消失后還能回么根據(jù)倒立擺原理， 分）到垂直面位置嗎？（2）如果不能，那么請(qǐng)你從控制學(xué)的角度，給出兩種能夠使雙足直2（ 分）立機(jī)器人在擾動(dòng)推力消失后回到垂直面位置的方法。（4）請(qǐng)結(jié)合倒立擺模型，簡(jiǎn)單敘述雙足直立機(jī)器人能控性的含義。3（ 4分）（）在

47、狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)中，需要用到系統(tǒng)的所有狀態(tài)信息，但（4y，那么你根據(jù)倒立擺原理，可測(cè)量的狀態(tài)信息只有水平移動(dòng)的位移有什么方法可以實(shí)現(xiàn)這個(gè)狀態(tài)反饋控制器的設(shè)計(jì)？你所用方法的條給出你使用方法的實(shí)現(xiàn)件是什么？依據(jù)是什么？請(qǐng)結(jié)合倒立擺模型， 10過(guò)程。（分） ）不能，因?yàn)榈沽[是一個(gè)開(kāi)環(huán)不穩(wěn)定系統(tǒng)；1答：（）對(duì)于給定的倒立擺模型，是一線(xiàn)性時(shí)不變系統(tǒng)，因此可以用如2（即穩(wěn)定下方法使雙足直立機(jī)器人在擾動(dòng)推力消失后回到垂直面位置極點(diǎn)配置方法；基于李雅普諾夫穩(wěn)定性理論的直接化控制器設(shè)計(jì)）： 標(biāo)準(zhǔn)文案實(shí)用文檔 設(shè)計(jì)法；線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制器設(shè)計(jì)方法。 （3）當(dāng)雙足直立機(jī)器人由于受初始擾動(dòng)而稍稍偏離垂直面位置時(shí)，

48、總可以通過(guò)對(duì)其施加一個(gè)適當(dāng)?shù)耐饬Γ沟脤⑺苹氐酱怪泵嫖恢茫▽⒎橇愕某跏紶顟B(tài)轉(zhuǎn)移到零狀態(tài)）。 （4）如果被控系統(tǒng)是狀態(tài)能觀(guān)的，那么通過(guò)設(shè)計(jì)（降維）狀態(tài)觀(guān)測(cè)器將不可測(cè)量狀態(tài)變量觀(guān)測(cè)輸出，再應(yīng)用線(xiàn)性定常系統(tǒng)的分離性原理，實(shí)現(xiàn)狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)。結(jié)合倒立擺模型，則檢驗(yàn)上述狀態(tài)空間模型的能觀(guān)性；系統(tǒng)完全能觀(guān)，則對(duì)系統(tǒng)設(shè)計(jì)狀態(tài)觀(guān)測(cè)器（或?qū)Σ?設(shè)計(jì)降維狀態(tài)觀(guān)測(cè)器）和；可測(cè)量子系統(tǒng)應(yīng)用線(xiàn)性定常系統(tǒng)的?xy,u Kxx替換為觀(guān)測(cè)狀態(tài)從-= 中的狀態(tài)分離性原理，將狀態(tài)反饋控制器實(shí)現(xiàn)基于狀態(tài)觀(guān)測(cè)器的狀態(tài)反饋控制器設(shè)計(jì)。 使用方法的條件是：系統(tǒng)完全能觀(guān)或不可觀(guān)子系統(tǒng)是漸進(jìn)穩(wěn)定的； 使用方法的依據(jù)是：線(xiàn)性定常系統(tǒng)的分離性原理。 七、（15分）考慮線(xiàn)性定常系統(tǒng)和性能指標(biāo)如下： 010? 22?tru?d(y)?y?1xx?u0xJ?110-0?r0為性能指標(biāo)可調(diào)參數(shù)。試回答其中實(shí)數(shù) rJ最小化的最優(yōu)狀態(tài)反饋控制固定時(shí)，求使得性能指標(biāo)（1）當(dāng)參數(shù)器。（10分） r增大時(shí)，分析閉環(huán)系統(tǒng)性能的變化。（5分） （2）當(dāng)參數(shù)J等價(jià)為 解：（1）系統(tǒng)性能指標(biāo) 令正定對(duì)