向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)

1、向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判別方法摘要 向量組的線性相關(guān)性與線性無(wú)關(guān)性是線性代數(shù)中最為抽象的概念之一，如何判別向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是正確理解向量的關(guān)鍵，本文介紹了它與行列式、矩陣、線性方程組的解之間的關(guān)系.總結(jié)了向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的判定方法.關(guān)鍵詞 向量組 線性相關(guān) 線性無(wú)關(guān) 矩陣 秩 1 引言在高等代數(shù)中，向量組的線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的判定這個(gè)課題有許多的研究成果，它與行列式，矩陣，線性方程組的解，二次型，線性變換以及歐式空間都有著重要的聯(lián)系，然而向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)的判別是比較抽象和難以理解的，實(shí)際上，向量組的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)是相對(duì)的，我們只要掌握了線性相關(guān)的判別，那么線性

2、無(wú)關(guān)的判別也就迎刃而解了，至今已給出了以下幾種常見(jiàn)的方法：利用定義法判斷，利用齊次線性方程組的解判斷，利用矩陣的秩判斷，利用行列式的值判斷等.其中，利用齊次線性方程組，利用矩陣的秩，利用行列式的值這三種方法的出發(fā)點(diǎn)不同但實(shí)質(zhì)是一樣的.2 向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的定義定義 設(shè)向量組都為維向量，如果數(shù)域中存在一組不全為零的數(shù) ,使則稱(chēng)向量組是線性相關(guān), 反之，若數(shù)域中沒(méi)有不全為零的數(shù)，使 ，稱(chēng)它是線性無(wú)關(guān).3 向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的判定方法3.1 一個(gè)向量與兩個(gè)向量線性相關(guān)的判定方法由定義可以看出，零向量的任何一個(gè)線性組合為零，只要取系數(shù)不為零，即可以得出這個(gè)向量是線性相關(guān)的. 命題1 一個(gè)

3、向量線性相關(guān)的充分條件是它是一個(gè)零向量. 關(guān)于兩個(gè)向量的線性相關(guān)性判斷可以轉(zhuǎn)化為向量的成比例判斷. 命題2 兩個(gè)維向量，線性相關(guān)的充要條件是與對(duì)應(yīng)成比例.證明 假設(shè)，線性相關(guān)，則存在不全為0的數(shù)，使得,即,不妨設(shè),令 則因此.也就是說(shuō)與成比例. 反過(guò)來(lái)，若，所以線性相關(guān).3.2 多個(gè)向量的線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)判別方法命題3 若向量組線性相關(guān)，則任一包含這組向量的向量組都線性相關(guān).證明 設(shè)線性相關(guān)，是包含的一組向量，由于線性相關(guān)，則存在一組不全為零的數(shù)使得此時(shí)有,因此，線性相關(guān).證畢.由命題3可知，在多個(gè)向量構(gòu)成的向量組中，如果該向量組中含有零向量或包含成比例的兩向量，那么這個(gè)向量組必定線性相關(guān).

4、命題4 含有零向量或成比例的兩向量的向量組必線性相關(guān).3.2.1 運(yùn)用定義判定由定義判斷向量組的線性相關(guān)性是最直接的方法，于是我們知道若想判斷一個(gè)向量組的線性相關(guān)性只要求出線性表示的相關(guān)系數(shù)，并由系數(shù)的值便可以判斷出向量組是否線性相關(guān). 例1 設(shè)，證明，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，線性相關(guān). 證明 令，即，又即，取，則有.由線性相關(guān)的定義知，線性相關(guān).3.2.2 用向量組的秩和矩陣的秩判斷 向量組的秩是指向量組中任一個(gè)極大無(wú)關(guān)組所含的向量個(gè)數(shù). 命題5 一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)的充要條件是它的秩與它所含的向量的個(gè)數(shù)相同. 若向量組的秩等于向量的個(gè)數(shù)，則該向量組是線性無(wú)關(guān)的，若向量組的秩小于向量的個(gè)數(shù)，則該向量組是線

5、性相關(guān)的.例2 設(shè)向量組，判斷的線性相關(guān)性.解 得，于是線性無(wú)關(guān). 例3 設(shè)向量組線性無(wú)關(guān)，且可由向量組線性表示.證明：也線性無(wú)關(guān)，且與等價(jià).證明 如果線性相關(guān)，假設(shè)是它的一個(gè)極大無(wú)關(guān)組，如果,就說(shuō)明了就是它本身的極大無(wú)關(guān)組，當(dāng)然是線性無(wú)關(guān)的,出現(xiàn)矛盾！下面考慮.又因?yàn)橄蛄拷M可由線性表示，則也可由線性表示,于是有,矛盾！由于線性無(wú)關(guān)，則,又可由線性表示,所以，等價(jià)，所以.于是和都是的極大無(wú)關(guān)組.所以它們是等價(jià)的，證畢.命題6 設(shè)為維列向量,矩陣.(i)當(dāng)時(shí)，向量組線性相關(guān);(ii)當(dāng)時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān).例4 判斷向量組, ,線性相關(guān)性.解 利用矩陣的初等行變換將方程組的系數(shù)矩陣化為行階梯形矩陣

6、 由行階梯形矩陣知,所以向量組是線性相關(guān)的.上面是以為列向量組構(gòu)造矩陣，根據(jù)矩陣的行秩與列秩的關(guān)系，用為行向量組構(gòu)造矩陣，在進(jìn)行初等行或者列變換也可以得到相同的結(jié)果.3.2.3 利用行列式的值判斷 命題7 若,以作為列向量構(gòu)成的矩陣是一個(gè)方陣，(i)當(dāng)時(shí)，向量組線性相關(guān).(ii)當(dāng)時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān). 例5 設(shè),問(wèn)取何值時(shí)，向量組線性相關(guān). 解 向量組的個(gè)數(shù)和維數(shù)相等都為3，可見(jiàn)當(dāng)時(shí)，所以向量組線性相關(guān).3.2.4 利用齊次線性方程組的解判斷對(duì)于,的線性相關(guān)判斷 命題8 若為系數(shù)向量的齊次線性方程組有非零解，則向量組線性相關(guān)，若該齊次線性方程組只有零解，則向量組線性無(wú)關(guān).例6 已知, ,(i)

7、當(dāng)為何值時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān)？(ii)當(dāng)為何值時(shí)，向量組線性相關(guān)？(iii)當(dāng)向量組線性相關(guān)，將表示為和的線性組合.解 設(shè)有實(shí)數(shù)使則可以得到方程組其系數(shù)行列式 (i)當(dāng)時(shí)，方程組只有零解，即，這時(shí)，向量組線性無(wú)關(guān).(ii)當(dāng)時(shí)方程組有非零解，即存在不全為零的數(shù)，使，此時(shí)線性相關(guān)， (iii)當(dāng)時(shí)，由,此時(shí)有令，有,從而可由,表示 在運(yùn)用定義法，秩的判別方法，齊次線性方程組和行列式法的時(shí)候，它們之間三既有聯(lián)系又有區(qū)別的，聯(lián)系是，運(yùn)用定義法時(shí)，要解一個(gè)齊次線性方程組，由該方程組是否有非零解判定向量組的線性相關(guān)性，在運(yùn)用定義法的同時(shí)，也運(yùn)用了判別齊次線性方程組的有無(wú)非零解法，如上述例子中，秩法和判別齊

8、次線性方程組有無(wú)非零解法的出發(fā)點(diǎn)不同，但是實(shí)質(zhì)也是一樣的，都是要利用矩陣的初等行變換將相應(yīng)的矩陣化為階梯形矩陣，從而分別求出向量組的秩與系數(shù)矩陣的秩，然后再做判斷，如行列式法實(shí)質(zhì)上是根據(jù)克萊姆法則判別以向量組各向量作為系數(shù)向量的齊次線性方程組有無(wú)非零解，所以能運(yùn)用行列式法進(jìn)行判定時(shí)，也可以用秩法和判別齊次線性方程組有無(wú)非零解法.區(qū)別是，適用的前提條件不同，定義法適用于各分量均未具體給出的向量組；秩法和判別齊次線性方程組有無(wú)非零解法適用于各分量都具體給出的向量組，行列式法適用于各分量都具體給出且向量組中向量的個(gè)數(shù)與向量的維數(shù)相等的向量組，因此，在對(duì)向量組的線性相關(guān)性進(jìn)行判定時(shí)，要根據(jù)題設(shè)條件適當(dāng)

9、選擇判定方法. 以上是從向量組的分量是否具體給出兩個(gè)大的方面介紹了向量組線性相關(guān)性相關(guān)性的判斷方法，由此可見(jiàn)，如果向量組的分量是具體給出的，則判斷向量組線性相關(guān)性是比較簡(jiǎn)單的，總可用方程組的解，矩陣的秩和行列式的值得方法來(lái)判斷，如果向量組的分量是沒(méi)有具體給出吃的，則熟練理解和掌握向量組線性相關(guān)性的定義，定理，等知識(shí)是解題的必要條件，要靈活運(yùn)用向量組線性相關(guān)性的定義，定理等知識(shí)和技巧才有助于提高分析解決問(wèn)題的能力.3.2.5 用反證法 在有些題目中，直接證明結(jié)論有時(shí)候比較困難，而從結(jié)論的反面入手卻很容易推出一些與已知條件或已知定義，定理，公理，相矛盾的結(jié)果，從而結(jié)論的反面不成立，則結(jié)論成立. 例

10、7 設(shè)向量組中任一向量不是它前面向量的線性組合，且證明向量組線性無(wú)關(guān).證明 假設(shè)向量組線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得, , 不妨設(shè)由上式可得, ,即可以由它前面?zhèn)€向量線性表示，這與題設(shè)矛盾，因此.于是式轉(zhuǎn)化為，類(lèi)似于上面的證明可得,式轉(zhuǎn)化為,但，所以這與不全為零的假設(shè)相矛盾,所以向量組線性無(wú)關(guān).3.2.6運(yùn)用相關(guān)結(jié)論判定 定理1 向量線性相關(guān)的充要條件是這個(gè)向量中的一個(gè)為其余個(gè)向量的線性組合. 例8 判斷向量組 (0,3,1,-1), (6,0,5,1), (4,-7,1,3)是否線性相關(guān)？ 解 將以行排成矩陣 矩陣化為階梯形矩陣后出現(xiàn)零行，則中必有一向量能被其余剩下的向量線表示，故由定理1

11、知，向量組線性相關(guān).我們注意到，例9中的矩陣在初等行變換的過(guò)程中，不論是否化成了階梯型矩陣，一旦出現(xiàn)零行，就可以斷定中必有一個(gè)向量能被其余剩下的個(gè)向量線性表示，從而向量組線性相關(guān). 定理2 一個(gè)向量組線性無(wú)關(guān)，則在相同位置處都增加一個(gè)分量后得到的新向量組仍線性無(wú)關(guān). 例9 判斷向量組： , , 的線性相關(guān)性. 解 取，因?yàn)橛蔀榱邢蛄康男辛惺讲粸榱?，所以向量組線性無(wú)關(guān)，從而在相同位置上增加了兩個(gè)分量后所得向量組是線性無(wú)關(guān)的. 定理3 任意個(gè)維向量必線性相關(guān). 定理4 如果向量組可由向量組線性表示，若,則線性相關(guān). 證明 設(shè)，由已知可知 帶入上式可得 要證明線性相關(guān)，只需證明存在不全為零的數(shù)使得成

12、立，即只要存在不全為零的數(shù)使得中的每一個(gè)前的系數(shù)均為零即可.要使每個(gè)前面的系數(shù)為零，則可得到,因?yàn)榧?，方程組的個(gè)數(shù)小于未知量的個(gè)數(shù),得到方程組有非零解,所以線性相關(guān).定理5 如果向量組可以由線性表示為且是線性無(wú)關(guān)的，設(shè)，若則線性無(wú)關(guān).證明 設(shè),將代入上式，得由線性無(wú)關(guān),得 則線性無(wú)關(guān),所以系數(shù)全為零，即方程組只有零解，得證！例10 設(shè)且向量組線性無(wú)關(guān)，求向量組的線性相關(guān)性.解 因?yàn)橛删€性表示，由定理5可得, 因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，且所以線性無(wú)關(guān).結(jié)束語(yǔ)本文著重介紹了向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的判定方法，總介紹定義入手，介紹了它與行列式，矩陣，線性方程組的解，二次型，線性變換以及歐式空間的重要聯(lián)系，深入了

13、解各種方法在解決向量組線性相關(guān)和線性無(wú)關(guān)的解題中的要領(lǐng)，掌握方法本質(zhì)，最后總結(jié)了一些方法，例如；利用定義法判斷，利用齊次線性方程組的解判斷，利用矩陣的秩判斷，利用行列式的值判斷等. 參考文獻(xiàn)1姚慕生，吳泉水，高等代數(shù)學(xué)M，第2版，上海，復(fù)旦大學(xué)出版社，2008.2劉仲奎，楊永保，程輝，等，高等代數(shù)M，北京，高等教育出版社，2003.3錢(qián)吉林，高等代數(shù)題解精粹M，北京，中央民族大學(xué)出版社,2002.4北京大學(xué)數(shù)學(xué)系幾何與代數(shù)教研室前代數(shù)小組，高等代數(shù)M，北京，高等教育出版社，2003.5董明秀，判斷向量組線性相關(guān)與線性無(wú)關(guān)J，考試周刊，12;7（2013）， 61-63.6黃娟霞，關(guān)于向量組線性

14、相關(guān)性的初步探討J，廣東石油化工學(xué)報(bào)，18;11(2012)， 40-44.7段輝明，李永紅，線性相關(guān)性若干問(wèn)題的分析和探究J，科技創(chuàng)新導(dǎo)報(bào)，15;9(2013)，20-23. Identification Method of Linear Dependence and Linear IndependenceAbstract The vector groups Linear dependence and linear independence are most abstract concepts in linear algebra. How to determine Linear dependence and linear independence is the key factor to understand vector correctly. This paper introduces the relationship between deter