高考數學參數方程和普通方程的互化練習

1、【參數方程和普通方程的互化】例 1 求曲線（為參數）與曲線（為參數）的交點解：把代入得：兩式平方相加可得（舍去）于是即所求二曲線的交點是（，）說明：在求由參數方程所確定的兩曲線的交點時，最好由參數方程組求解，如果化為普通方程求交點時要注意等價性如該例若化為普通方程求解時要注意點（，）是增解例 2 化直線的普通方程為參數方程（其中傾斜角滿足且）解法一：因，故設。取為參數，則得所求參數方程解法二：如圖，（）為直線上的定點，為直線上的動點因動點M與的數量一一對應（當M在的向上方向或正右方時，；當 M在的下方或正左方時，；當 M與重合時，），故取為參數精選資料，歡迎下載。過點 M作 y 軸的平行線，過

2、點作軸的平行線，兩直線相交于點Q（如圖）則有即為所求的參數方程。說明： 在解法二中，不必限定，即不必限定，由此可知，無論中任意值時，所得方程都是經過（），傾斜角為的直線的參數方程可稱它是直線參數方程的“點角式”或“標準式”要充分理解解法二所示的參數的幾何意義，這對解決某些問題較為方便如果取為參數，則得直線參數方程一般地，直線的參數方程的一般形式是（，為參數）但只有當且僅當，且時，這個一般式才是標準式，參數才具有上述的幾何意義例 3 求橢圓的參數方程分析一：把與對比，不難發(fā)現，可設，也可設精選資料，歡迎下載解法一：設（為參數），則故因此，所得參數方程是（）或（）由于曲線（）上的點（，），就是曲線

3、（）上的點（，），所以曲線（）上的點都是曲線（）上的點顯然橢圓的參數方程是分析二：借助于橢圓的輔助圓，可明確橢圓參數方程中的幾何意義解法二：以原點O為圓心，為半徑作圓，如圖設以軸正半軸為始邊，以動半徑OA為終邊的變角為，過點 A 作軸于 N，交橢圓于M，取為參數，則點M（）的橫坐標（以下同解法一）由解法二知，參數是點 M所對應的圓半徑OA的轉角，而不是OM的轉角，因而稱為橢圓的離角（如果以O為圓心，為半徑作圓，過M作，交圓于B，由可知也是半徑OB的轉角）例 4 用圓上任一點的半徑與 x 軸正方向的夾角 為參數，把圓 化為參數方程。分析：由圓的性質及三角函數的定義可把圓上任意一點化為的參數形式。

4、解：如圖所示，圓方程化為，設圓與x 軸正半軸交于A，為圓上任一點，過P 作軸于 B， OP與 x 軸正半軸所成角為，則：精選資料，歡迎下載。又中，此圓的參數方程為例 5設（為參數）把普通方程化為以為參數的參數方程。解：把代入原方程，得，解得參數方程為（為參數）與表示的是同一曲線，所以它們是等價的，可以省略一個。所求參數方程例 6化雙曲線為參數方程。解：設，代入為，得的參數方程為（為參數，）這是同學中較為常見的解法，這種解法是錯誤的，那么錯在哪里呢？請你找出來。錯誤在于，雙曲線上 x 的取值范圍是不等于零的一切實數，錯解中得到的參數方程中 x 的取值范圍僅僅，故錯解中得到的參數方程只表示雙曲線上

5、一部分，不符合普通方程與參數方程的等價性要求，普通方程化為參數方程時關鍵是選擇適當的參數，注意使所得參數方程與原普通方程中變量x、y 的允許值范圍要保持一致。精選資料，歡迎下載。下面給出正確解法：設，代入得。的參數方程為：（為參數，）例 7 化參數方程（為參數）為普通方程。分析一：用代入消元法，從已知方程中解出參數，代入后消去參數。解法一：即將它代入（ 1），并化簡得（）分析二：用整體消參法。注意表達式的分母相同，而分子的平方和恰為原來相同的分母。解法二：得又于是得所求普通方程為即精選資料，歡迎下載。分析三：因為 ，所以 。從 表達式可聯(lián)想萬能公式。于是可用三角變換，然后利用三角公式再消參。解

6、法三：，可令（，）又于是得得即，（）（）即，普通方程是（）說明：解法一是用代入法消參，解法二是整體消參法，解法三是運用萬能公式，三角變換消參，三種解法中都應注意的限制條件，使參數方程化為普通方程時保持等價性。例 8 將下列參數方程（其中，為參數）化為普通方程。（1）（2）（3）精選資料，歡迎下載。解：（ 1）（）為所求。（2）由，得（）將它代入，并化簡得（）另解：并整理得（）（ 3）且所求普通方程為說明：（ 1）小題是用三角公式變形后用代入法消參，（ 2）是用代入（消元）法消參變形后整體消參，（ 3）小題是通過代數變換法消參。但都應特別注意等價性。例 9對于方程（ a， b 為常數）（ 1）當

7、 t 為常數， 為參數時，方程表示何種曲線；（ 2）當 t 為參數， 為常數時，方程表示何種曲線解：（ 1）當 t 為常數，原方程可變形為精選資料，歡迎下載。兩式平方相加得即這是以（ a， b）為圓心，為半徑的圓。（ 2）當為常數時，由第一式得代入第二式得即這是過點（ a， b），斜率為的一條直線小結：同一參數方程，由于參數不同，所表示的曲線也不同，消去參數化為普通方程后，曲線的類型也就顯現出來。例 10 已知直線過點 P（ 2， 0），斜率為。直線和拋物線相交于 A、 B 兩點，線段 AB的中點為M。求：（ 1）線段PM的長；（ 2） M點的坐標；（ 3）線段 AB的長解：如圖。（ 1）由直

8、線 過點 P（ 2， 0），斜率為。設其傾斜角為，則有可得直線的標準參數方程為：精選資料，歡迎下載。（其中為參數）設直線上兩點 A、 B 分別對應參數、，由方程組：消去可得：有，由 M為 AB 的中點，（ 2）設 M點對應參數為，則有 M 點坐標為： M點坐標為（，）（ 3）由精選資料，歡迎下載。分別代入，可得點撥：利用直線的標準參數方程中參數 的幾何含義，在解決諸如直線 上的兩點距離、某兩點的中點以及與此相關的一些問題時，顯得很方便和簡捷。例 11 已知橢圓上的一個點P（），求的最值。解：設橢圓的參數方程為：（為參數，），（其中）即的最大值是，最小值是。點撥：這個題雖然很簡單，但它說明了一個

9、道理：曲線的參數方程不僅表示了曲線，同時也表示了曲線上的點的坐標當曲線的參數方程表示曲線上的點的坐標時，實際上起到了消元的作用，即用一個參數表示了、，因此，在求某些幾何量的最值時，參數方程可以起到一元化即消元的作用例 12 過點 M（ 2， 1）作曲線 （ 為參數）的弦 AB，若 M為 AB的三等分點，求 AB直線方程。精選資料，歡迎下載。解：設 AB的方程為（ t 為參數），將x， y 代入曲線（為參數）即，整理、化簡得，點 M在 AB的內部。將、代入上式有。解得，則 AB的方程為小結：本題是首先設出過定點的參數方程，然后和橢圓方程聯(lián)立，再利用韋達定理及直線參數方程中 t 的意義，求得斜率，

10、用點斜式寫出直線方程。例 13 圓 O內一定點 A，過 A 任作兩互相垂直的弦，求證這兩弦長的平方和為定值。證明：以圓心 O為原點， OA所在的直線為 x 軸建立直角坐標系，設圓的方程，過定點互相垂直的兩弦PQ、 RS的方程分別為即分別代入圓方程，得，其二根為、，其二根為、，故有精選資料，歡迎下載。兩弦平方和為定值小結：涉及圓的弦長問題，可利用直線參數方程來解。例 14 已知是拋物線的一動弦，O為原點。當恒為直角時，如圖求弦的中點 P 的軌跡方程。分析點 P是的中點，點P的坐標與，的坐標，、相關，如果選取，、作為參數，則要列出，、有關的五個方程，最后消去參數，、就可以得到P 點的軌跡方程。解設P（），（，），（，）P是的中點，在拋物上又恒為直角，即由：精選資料，歡迎下載。由：把、式代入得： P 點的軌跡方程是說明此題的解法是利用參數求點的軌跡方程，參數的個數可以是一個，也可以是幾個，所列出的參數與點的坐標之間的方程