十字相乘法分解因式

1、第一部分十字相乘法進(jìn)行因式分解【基礎(chǔ)知識精講】（1）理解二次三項式的意義；（2）理解十字相乘法的根據(jù)；（3）能用十字相乘法分解二次三項式；（4）重點是掌握十字相乘法，難點是首項系數(shù)不為1的二次三項式的十字相乘法【重點難點解析】1二次三項式多項式，稱為字母x的二次三項式，其中稱為二次項，bx為一次項，c為常數(shù)項例如，和都是關(guān)于x的二次三項式在多項式中，如果把y看作常數(shù)，就是關(guān)于x的二次三項式；如果把x看作常數(shù)，就是關(guān)于y的二次三項式在多項式中，把ab看作一個整體，即，就是關(guān)于ab的二次三項式同樣，多項式，把xy看作一個整體，就是關(guān)于xy的二次三項式十字相乘法是適用于二次三項式的因式分解的方法2十

2、字相乘法的依據(jù)和具體內(nèi)容利用十字相乘法分解因式，實質(zhì)上是逆用(axb)(cxd)豎式乘法法則它的一般規(guī)律是：（1）對于二次項系數(shù)為1的二次三項式，如果能把常數(shù)項q分解成兩個因數(shù)a，b的積，并且ab為一次項系數(shù)p，那么它就可以運用公式分解因式這種方法的特征是“拆常數(shù)項，湊一次項”公式中的x可以表示單項式，也可以表示多項式，當(dāng)常數(shù)項為正數(shù)時，把它分解為兩個同號因數(shù)的積，因式的符號與一次項系數(shù)的符號相同；當(dāng)常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，把它分解為兩個異號因數(shù)的積，其中絕對值較大的因數(shù)的符號與一次項系數(shù)的符號相同（2）對于二次項系數(shù)不是1的二次三項式(a，b，c都是整數(shù)且a0)來說，如果存在四個整數(shù)，使，且，那么它

3、的特征是“拆兩頭，湊中間”，這里要確定四個常數(shù)，分析和嘗試都要比首項系數(shù)是1的情況復(fù)雜，因此，一般要借助“畫十字交叉線”的辦法來確定學(xué)習(xí)時要注意符號的規(guī)律為了減少嘗試次數(shù)，使符號問題簡單化，當(dāng)二次項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，先提出負(fù)號，使二次項系數(shù)為正數(shù)，然后再看常數(shù)項；常數(shù)項為正數(shù)時，應(yīng)分解為兩同號因數(shù)，它們的符號與一次項系數(shù)的符號相同；常數(shù)項為負(fù)數(shù)時，應(yīng)將它分解為兩異號因數(shù)，使十字連線上兩數(shù)之積絕對值較大的一組與一次項系數(shù)的符號相同用十字相乘法分解因式，還要注意避免以下兩種錯誤出現(xiàn)：一是沒有認(rèn)真地驗證交叉相乘的兩個積的和是否等于一次項系數(shù)；二是由十字相乘寫出的因式漏寫字母如：3因式分解一般要遵循的步驟

4、多項式因式分解的一般步驟：先考慮能否提公因式，再考慮能否運用公式或十字相乘法，最后考慮分組分解法對于一個還能繼續(xù)分解的多項式因式仍然用這一步驟反復(fù)進(jìn)行以上步驟可用口訣概括如下：“首先提取公因式，然后考慮用公式、十字相乘試一試，分組分解要合適，四種方法反復(fù)試，結(jié)果應(yīng)是乘積式”【典型熱點考題】例1 把下列各式分解因式：（1）；（2）點悟：（1）常數(shù)項15可分為3 (5)，且3(5)2恰為一次項系數(shù)；（2）將y看作常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項式，常數(shù)項可分為(2y)(3y)，而(2y)(3y)(5y)恰為一次項系數(shù)解：（1）；（2）例2 把下列各式分解因式：（1）；（2）點悟：我們要把多項式分解成形

5、如的形式，這里，而解：（1）；（2）點撥：二次項系數(shù)不等于1的二次三項式應(yīng)用十字相乘法分解時，二次項系數(shù)的分解和常數(shù)項的分解隨機性較大，往往要試驗多次，這是用十字相乘法分解的難點，要適當(dāng)增加練習(xí)，積累經(jīng)驗，才能提高速度和準(zhǔn)確性例3 把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）點悟：（1）把看作一整體，從而轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項式；（2）提取公因式(xy)后，原式可轉(zhuǎn)化為關(guān)于(xy)的二次三項式；（3）以為整體，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項式解：（1） (x1)(x1)(x3)(x3)（2） (xy)(xy)17(xy)2(xy)(xy1)(7x7y2)（3） 點撥：要深刻理解換元的思想，這可以幫助我們及時

6、、準(zhǔn)確地發(fā)現(xiàn)多項式中究竟把哪一個看成整體，才能構(gòu)成二次三項式，以順利地進(jìn)行分解同時要注意已分解的兩個因式是否能繼續(xù)分解，如能分解，要分解到不能再分解為止例4 分解因式：點悟：把看作一個變量，利用換元法解之解：設(shè)，則原式(y3)(y24)90(y18)(y9)點撥：本題中將視為一個整體大大簡化了解題過程，體現(xiàn)了換元法化簡求解的良好效果此外，一步，我們用了“十字相乘法”進(jìn)行分解例5 分解因式點悟：可考慮換元法及變形降次來解之解：原式，令，則原式點撥：本題連續(xù)應(yīng)用了“十字相乘法”分解因式的同時，還應(yīng)用了換元法，方法巧妙，令人眼花瞭亂但是，品味之余應(yīng)想到對換元后得出的結(jié)論一定要“還原”，這是一個重要環(huán)

7、節(jié)例6 分解因式點悟：方法1：依次按三項，兩項，一項分為三組，轉(zhuǎn)化為關(guān)于(xy)的二次三項式方法2：把字母y看作是常數(shù)，轉(zhuǎn)化為關(guān)于x的二次三項式解法1： 解法2： (xy6)(xy1)例7 分解因式：ca(ca)bc(bc)ab(ab)點悟：先將前面的兩個括號展開，再將展開的部分重新分組解：ca(ca)bc(bc)ab(ab)(ab)(ca)(cb)點撥：因式分解，有時需要把多項式去括號、展開、整理、重新分組，有時僅需要把某幾項展開再分組此題展開四項后，根據(jù)字母c的次數(shù)分組，出現(xiàn)了含ab的因式，從而能提公因式隨后又出現(xiàn)了關(guān)于c的二次三項式能再次分解例8 已知有一個因式是，求a值和這個多項式的其

8、他因式點悟：因為是四次多項式，有一個因式是，根據(jù)多項式的乘法原則可知道另一個因式是（a、b是待定常數(shù)），故有根據(jù)此恒等關(guān)系式，可求出a，b的值解：設(shè)另一個多項式為，則， 與是同一個多項式，所以其對應(yīng)項系數(shù)分別相等即有由、解得，a1，b1，代入，等式成立 a1，另一個因式為點撥：這種方法稱為待定系數(shù)法，是很有用的方法待定系數(shù)法、配方法、換元法是因式分解較為常用的方法，在其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)中也經(jīng)常運用希望讀者不可輕視【易錯例題分析】例9 分解因式：錯解： 105(2)，515，551(2)23， 原式(5ab5y)(2ab5y)警示：錯在沒有掌握十字相乘法的含義和步驟正解： 515，105(2)，

9、551(2)23 原式(ab5y)(5ab2y)【同步練習(xí)】一、選擇題1如果，那么p等于 ()Aab Bab Cab D(ab)2如果，則b為 ()A5 B6 C5 D63多項式可分解為(x5)(xb)，則a，b的值分別為 ()A10和2 B10和2 C10和2 D10和24不能用十字相乘法分解的是 ()A BC D5分解結(jié)果等于(xy4)(2x2y5)的多項式是 ()ABCD6將下述多項式分解后，有相同因式x1的多項式有 ()； ； ； ； A2個 B3個 C4個 D5個二、填空題7_8(ma)(mb) a_，b_9(x3)(_)10_(xy)(_)1112當(dāng)k_時，多項式有一個因式為(_)13若xy6，則代數(shù)式的值為_三、解答題14把下列各式分解因式：（1）； （2）；（3）； （4）；（5）； （6）15把下列各式分解因式：（1）；（2）；（3）；（4）；（