中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料二次函數(shù)壓軸題

1、中考數(shù)學(xué)沖刺復(fù)習(xí)資料:二次函數(shù)壓軸題面積類(lèi)1 如圖，已知拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) a （1 ，0 ）、b（3 ，0 ）、c （0 ，3 ）三點(diǎn)（1） 求拋物線的解析式（2） 點(diǎn) m 是線段 bc 上的點(diǎn)（不與 b ，c 重合），過(guò) m 作 mn y 軸交拋物線于 n ，若點(diǎn)m 的橫坐標(biāo)為 m ，請(qǐng)用 m 的代數(shù)式表示 mn的長(zhǎng)（3 ）在（2 ）的條件下，連接 nb 、nc ，是否存在 m ，使bnc 的面積最大？若存在，求 m 的值；若不存在，說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題；數(shù)形結(jié)合分析：（1） 已知了拋物線上的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，直接利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式（2） 先利用待

2、定系數(shù)法求出直線 bc 的解析式，已知點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)，代入直線 bc 、拋物線的解析式中，可得到 m 、n 點(diǎn)的坐標(biāo)，n 、m 縱坐標(biāo)的差的絕對(duì)值即為 mn的長(zhǎng)（3 ）設(shè)mn交 x 軸于 d ，那么bnc 的面積可表示為：s =sbncmnc+smnb=mn （od+db ）=mn ob ，mn的表達(dá)式在（2 ）中已求得，ob 的長(zhǎng)易知，由此列出關(guān)于 s bnc 、m 的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可判斷出bnc 是否具有最大值解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為：y=a （x+1 ）（x3 ），則： a （0+1 ）（03 ）=3 ，a= 1 ；拋物線的解析式：y= （x+1 ）（x3 ）=

3、 x2+2x+3 （2 ）設(shè)直線 bc 的解析式為：y=kx+b ，則有：，解得 ；故直線 bc 的解析式：y= x+3 已知點(diǎn) m 的橫坐標(biāo)為 m ，mn y，則 m （m ，m+3 ）、n （m ，m故mn= m 2 +2m+3 （m+3 ）= m 2 +3m （0 m 3 ） （3 ）如圖；2+2m+3 ）；s =sbncmnc+smnb=mn （od+db ）=mn ob ，s = （m bnc2+3m ）3= （m ）2+（0 m 3 ）；當(dāng)m= 時(shí)，bnc 的面積最大，最大值為2 如圖，拋物線的圖象與 x 軸交于 a 、b 兩點(diǎn)，與 y 軸交于 c點(diǎn)，已知 b 點(diǎn)坐標(biāo)為（4 ，0

4、）（1） 求拋物線的解析式；（2） 試探究abc 的外接圓的圓心位置，并求出圓心坐標(biāo)；（3 ）若點(diǎn) m 是線段 bc 下方的拋物線上一點(diǎn)， mbc 點(diǎn)的坐標(biāo)的面積的最大值，并求出此時(shí) m考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題；轉(zhuǎn)化思想分析：（1）該函數(shù)解析式只有一個(gè)待定系數(shù)，只需將 b 點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式中即可（2 ）首先根據(jù)拋物線的解析式確定 a 點(diǎn)坐標(biāo)，然后通過(guò)證明abc 是直角三角形來(lái)推導(dǎo)出 直徑 ab 和圓心的位置，由此確定圓心坐標(biāo)（3 ）mbc的面積可由 s =bc h 表示，若要它的面積最大，需要使 h 取最大值，即 mbc點(diǎn) m 到直線 bc 的距離最大，若設(shè)一條平行于 b

5、c 的直線，那么當(dāng)該直線與拋物線有且只 有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)，該交點(diǎn)就是點(diǎn) m 解答：解：（1）將 b （4 ，0 ）代入拋物線的解析式中，得：0=16a 4 2 ，即：a= ；拋物線的解析式為：y=x2x2 （2 ）由（1 ）的函數(shù)解析式可求得：a （1 ，0 ）、c （0 ，2 ）； oa=1 ，oc=2 ，ob=4 ，即：oc2=oa ob ，又：oc ab ，oac ocb ，得：oca= obc ；acb= oca+ ocb= obc+ ocb=90 ，abc 為直角三角形，ab 為abc 外接圓的直徑；所以該外接圓的圓心為 ab 的中點(diǎn)，且坐標(biāo)為：（，0 ）（3 ）已求得：b （4 ，0

6、）、c （0 ，2 ），可得直線 bc 的解析式為：y=x 2 ；設(shè)直線 lbc ，則該直線的解析式可表示為：y=x+b ，當(dāng)直線 l與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)時(shí)， 可列方程：x+b=x2x2 ，即： x22x 2 b=0 ，且；4 4（2 b ）=0 ，即 b= 4 ； 直線l：y=x 4 所以點(diǎn) m 即直線 l和拋物線的唯一交點(diǎn)，有：，解得：過(guò) m 點(diǎn)作 mn x 軸于 n ，即 m （2 ，3 ）s =sbmc梯形 ocmn+smnbs = 2（2+3 ）+ 23 24=4 ocb平行四邊形類(lèi)3 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線 y=x2+mx+n經(jīng)過(guò)點(diǎn) a （3 ，0 ）、b（0 ，3 ），

7、點(diǎn)p 是直線 ab 上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) p 作 x 軸的垂線交拋物線于點(diǎn) m ，設(shè)點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)為 t（1） 分別求出直線 ab 和這條拋物線的解析式（2） 若點(diǎn) p 在第四象限，連接 am 、bm ，當(dāng)線段 pm 最長(zhǎng)時(shí)，求abm的面積（3 ）是否存在這樣的點(diǎn) p ，使得以點(diǎn) p 、m 、b 、o 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形？若存在， 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) p 的橫坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題；解一元二次方程-因式分解法；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；三角形的面積；平行四邊形的判定菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專(zhuān)題：壓軸題；存在型分析：（1 ）分別利用待定系數(shù)法求兩函數(shù)的

8、解析式：把 a（3 ，0）b（0，3）分別代入 y=x2+mx+n與 y=kx+b ，得到關(guān)于 m 、n 的兩個(gè)方程組，解方程組即可；（2 ）設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)是（t，t3 ），則 m （t，t2 2t3 ），用 p 點(diǎn)的縱坐標(biāo)減去 m 的縱坐標(biāo)得到 pm 的長(zhǎng)，即 pm= （t3 ）（t2 得到2t3 ）= t2+3t ，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值當(dāng) t= = 時(shí)，pm 最長(zhǎng)為 = ，再利用三角形的面積公式利用 sabm=sbpm+sapm計(jì)算即可；（3 ）由 pm ob ，根據(jù)平行四邊形的判定得到當(dāng) pm=ob時(shí)，點(diǎn) p 、m 、b 、o 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，然后討論：當(dāng)p 在第四象限：

9、pm=ob=3 ，pm 最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能；當(dāng)p 在第一象限：pm=ob=3 ，（t22t3 ）（t3）=3；當(dāng)p 在第三象限：pm=ob=3 ，t23t=3 ，分別解一元二次方程即可得到滿(mǎn)足條件的 t 的值解答：解：（1）把 a （3 ，0 ）b （0 ，3 ）代入 y=x2+mx+n ，得解得 ，所以?huà)佄锞€的解析式是 y=x設(shè)直線 ab 的解析式是 y=kx+b ，22x 3 把 a （3 ，0 ）b （0 ，3 ）代入 y=kx+b ，得所以直線 ab 的解析式是 y=x 3 ；，解得 ，（2 ）設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)是（t，t3 ），則 m （t，t2 因?yàn)?p 在第四象限，2t3 ），

10、所以 pm= （t3 ）（t22t3 ）= t2+3t ，當(dāng) t= = 時(shí)，二次函數(shù)的最大值，即 pm 最長(zhǎng)值為= ，則 s =sabmbpm+sapm= （3 ）存在，理由如下： pm ob ，當(dāng)pm=ob時(shí)，點(diǎn) p 、m 、b 、o 為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊形，1 當(dāng) p 在第四象限：pm=ob=3 ，pm 最長(zhǎng)時(shí)只有，所以不可能有 pm=3 2 當(dāng) p 在第一象限：pm=ob=3 ，（t22t3 ）（t3 ）=3 ，解得 t =1（舍去），所以 p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是 ；，t =2當(dāng) p 在第三象限：pm=ob=3 ，t23t=3 ，解得 t =1（舍去），t = ，所 2以 p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是

11、所以 p 點(diǎn)的橫坐標(biāo)是或 4 如圖，在平面直角坐標(biāo)系中放置一直角三角板，其頂點(diǎn)為a （0 ，1 ），b（2 ，0 ），o（0 ， 0 ），將此三角板繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 ，得到bo（1） 一拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn) a 、b、b，求該拋物線的解析式；（2） 設(shè)點(diǎn) p 是在第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，是否存在點(diǎn) p ，使四邊形 pb ab的面積 是bo面積 4 倍？若存在，請(qǐng)求出 p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由（3） 在（2 ）的條件下，試指出四邊形 pb ab是哪種形狀的四邊形？并寫(xiě)出四邊形 pb a b 的兩條性質(zhì)考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專(zhuān)題：壓軸題分析：（1 ）利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出

12、 a （1，0），b（0，2），再利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 即可；（2 ）利用 s=s 四邊形 pb ab+soa o+spob，再假設(shè)四邊形 pb ab的面積 a bo面積的 4 倍，得出一元二次方程，得出 p 點(diǎn)坐標(biāo)即可；（3 ）利用 p 點(diǎn)坐標(biāo)以及 b 點(diǎn)坐標(biāo)即可得出四邊形 pb ab為等腰梯形，利用等腰梯形性質(zhì) 得出答案即可解答：解：（1）bo是由abo 繞原點(diǎn) o 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 得到的，又 a （0 ，1 ），b（2 ，0 ），o （0 ，0 ），a （1，0），b（0，2）方法一：設(shè)拋物線的解析式為：y=ax 2 +bx+c （a 0 ），拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)a 、b、b， ，解

13、得： ，滿(mǎn)足條件的拋物線的解析式為y= x2 +x+2 方法二：a （1，0），b（0，2），b（2 ，0 ），設(shè)拋物線的解析式為：y=a （x+1 ）（x2 ）將 b （0，2）代入得出：2=a （0+1 ）（02 ），解得：a= 1 ，故滿(mǎn)足條件的拋物線的解析式為 y= （x+1 ）（x2 ）= x2+x+2 ；（2 ）p 為第一象限內(nèi)拋物線上的一動(dòng)點(diǎn)，設(shè) p （x，y ），則 x0 ，y0 ，p 點(diǎn)坐標(biāo)滿(mǎn)足 y= x2 連接 pb ，po ，pb ，+x+2 s=s 四邊形 pb ab+soa o+spob，= 12+ 2x+ 2y ，=x+ （x2 +x+2 ）+1 ，= x2+2x+

14、3 a o=1 ，b o=2 ，ab o 面積為：12=1 ，假設(shè)四邊形 pb ab的面積是bo面積的 4 倍，則 4= x2 +2x+3 ，即 x22x+1=0 ，解得：x =x =1 ，1 2此時(shí) y= 1 2 +1+2=2 ，即 p （1 ，2 ）存在點(diǎn)p （1 ，2 ），使四邊形 pb ab的面積是bo面積的 4 倍（3 ）四邊形 pb ab為等腰梯形，答案不唯一，下面性質(zhì)中的任意 2 個(gè)均可等腰梯形同一底上的兩個(gè)內(nèi)角相等；等腰梯形對(duì)角線相等；等腰梯形上底與下底平行；等腰梯形兩腰相等（10 分） 或用符號(hào)表示：b ab=pba 或abp=bpb；pa=bb；bpab；ba=pb （10

15、 分）5 如圖，拋物線 y=x 22x+c 的頂點(diǎn) a 在直線 l：y=x 5 上（1） 求拋物線頂點(diǎn) a 的坐標(biāo)；（2） 設(shè)拋物線與 y 軸交于點(diǎn) b ，與 x 軸交于點(diǎn) c 、d （c 點(diǎn)在 d 點(diǎn)的左側(cè)），試判 abd 的形狀；（3） 在直線 l上是否存在一點(diǎn) p ，使以點(diǎn) p 、a 、b 、d 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若 存在，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題；分類(lèi)討論分析：（1 ）先根據(jù)拋物線的解析式得出其對(duì)稱(chēng)軸，由此得到頂點(diǎn) a 的橫坐標(biāo)，然后代入直線 l的 解析式中即可求出點(diǎn) a 的坐標(biāo)（2） 由 a 點(diǎn)坐標(biāo)可確定拋物線的解

16、析式，進(jìn)而可得到點(diǎn) b 的坐標(biāo)則 ab 、ad 、bd 三邊 的長(zhǎng)可得，然后根據(jù)邊長(zhǎng)確定三角形的形狀（3） 若以點(diǎn) p 、a 、b 、d 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形，應(yīng)分ab 為對(duì)角線、ad 為對(duì)角線兩種情況討論，即ad列方程求出 p 點(diǎn)的坐標(biāo) 解答：pb 、ab pd ，然后結(jié)合勾股定理以及邊長(zhǎng)的等量關(guān)系解：（1）頂點(diǎn)a 的橫坐標(biāo)為 x= 當(dāng)x=1 時(shí)，y=1 5= 4 ， a （1 ，4 ）=1 ，且頂點(diǎn) a 在 y=x 5 上，（2 ）abd 是直角三角形將 a （1 ，4 ）代入 y=x22x+c ，可得，1 2+c= 4 ，c= 3 ，y=x 2 2x 3 ，b （0 ，3 ）當(dāng) y

17、=0 時(shí)，x22x 3=0 ，x = 1 ，x =31 2c （1 ，0 ），d （3 ，0 ），bd 2 =ob2+od2=18 ，ab 2 = （4 3 ）2 +1 2 =2 ，ad 2 = （3 1 ）2 +4 2 =20 ，bd2+ab2=ad2，abd=90 ，即bd 是直角三角形（3 ）存在由題意知：直線 y=x 5 交 y 軸于點(diǎn) e （0 ，5 ），交 x 軸于點(diǎn) f （5 ，0 ） oe=of=5 ，又ob=od=3oef 與obd 都是等腰直角三角形bd l，即 pa bd則構(gòu)成平行四邊形只能是 padb 或 pabd ，如圖，過(guò)點(diǎn) p 作 y 軸的垂線，過(guò)點(diǎn) a 作 x

18、軸的垂線交過(guò) p 且平行于 x 軸的直線于點(diǎn) g 設(shè) p （x ，x 5 ），則 g （1 ，x 5 ）1 1 1則 pg=|1 x |，ag=|5 x 4|=|1x |1 1 1pa=bd=3由勾股定理得：（1 x ）2 + （1 x ）2 =18 ，x 2 2x 8=0 ，x = 2 或 41 1 1 1 1p （2 ，7 ）或 p （4 ，1 ），存在點(diǎn) p （2 ，7 ）或 p （4 ，1 ）使以點(diǎn) a 、b 、d 、p 為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形周長(zhǎng)類(lèi)6 如圖，rt abo 的兩直角邊 oa 、ob 分別在 x 軸的負(fù)半軸和 y 軸的正半軸上，o 為坐標(biāo)原點(diǎn)，a 、b 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別

19、為（3 ，0 ）、（0，4），拋物線 y=x 頂點(diǎn)在直線 x= 上（1 ）求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式；2+bx+c 經(jīng)過(guò)點(diǎn) b ，且（2 ）若把a(bǔ)bo 沿 x 軸向右平移得 dce ，點(diǎn) a 、b 、o 的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別是 d 、c 、e ，當(dāng)四邊形 abcd是菱形時(shí)，試判斷點(diǎn) c 和點(diǎn) d 是否在該拋物線上，并說(shuō)明理由；（3） 在（2 ）的條件下，連接 bd ，已知對(duì)稱(chēng)軸上存在一點(diǎn) p 使 pbd 的周長(zhǎng)最小，求出 p 點(diǎn)的坐標(biāo)；（4） 在（2 ）、（3）的條件下，若點(diǎn) m 是線段 ob 上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn) m 與點(diǎn) o 、b 不重合），過(guò)點(diǎn) m 作bd 交 x 軸于點(diǎn) n ，連接 pm 、pn ，

20、設(shè) om的長(zhǎng)為 t，pmn的面積為 s ，求 s和 t 的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出自變量 t 的取值范圍，s 是否存在最大值？若存在，求出最大值 和此時(shí) m 點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專(zhuān)題：壓軸題分析：（1）根據(jù)拋物線 y=經(jīng)過(guò)點(diǎn) b （0 ，4 ），以及頂點(diǎn)在直線 x= 上，得出 b ，c 即可；（2） 根據(jù)菱形的性質(zhì)得出 c 、d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5 ，4 ）、（2，0），利用圖象上點(diǎn)的性 質(zhì)得出 x=5 或 2 時(shí)，y 的值即可（3） 首先設(shè)直線 cd 對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b ，求出解析式，當(dāng) x= 時(shí)，求出 y 即可；（4 ）利用 mn bd

21、 ，得出omn obd ，進(jìn)而得出，得到 on= ，進(jìn)而表示出pmn解答：的面積，利用二次函數(shù)最值求出即可解：（1）拋物線y=頂點(diǎn)在直線x= 上， = 經(jīng)過(guò)點(diǎn) b （0 ，4 ）c=4 ，= ，b= ；所求函數(shù)關(guān)系式為 ；（2 ）在 rtabo 中，oa=3 ，ob=4 ，ab=，四邊形abcd是菱形，bc=cd=da=ab=5 ，c 、d 兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是（5 ，4 ）、（2，0），當(dāng) x=5 時(shí)，y=當(dāng) x=2 時(shí)，y=點(diǎn)c 和點(diǎn) d 都在所求拋物線上；，（3 ）設(shè) cd 與對(duì)稱(chēng)軸交于點(diǎn) p ，則 p 為所求的點(diǎn)，設(shè)直線 cd 對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式為 y=kx+b ，則 ，解得： ， ，當(dāng) x

22、= 時(shí)，y=，p （ ），（4 ）mn bd ，omn obd ，即得 on= ，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸交 x 于點(diǎn) f ，則（pf+om ）of= （+t ），s = nf pf= （t）= pnfs=（= （0 t4 ），），a= 0 拋物線開(kāi)口向下，s 存在最大值由 s = t2 pmn+t= （t ）2+ ，當(dāng)t=時(shí)，s 取最大值是 ，此時(shí)，點(diǎn) m 的坐標(biāo)為（0 ，）等腰三角形類(lèi)7 如圖，點(diǎn) a 在 x 軸上，oa=4 ，將線段 oa 繞點(diǎn) o 順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 120 至ob 的位置 （1 ）求點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 求經(jīng)過(guò)點(diǎn) a 、o 、b 的拋物線的解析式；（3） 在此拋物線的對(duì)稱(chēng)軸上，是否存在點(diǎn)p

23、 ，使得以點(diǎn) p 、o 、b 為頂點(diǎn)的三角形是等腰三 角形？若存在，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題；分類(lèi)討論分析：（1） 首先根據(jù) oa 的旋轉(zhuǎn)條件確定 b 點(diǎn)位置，然后過(guò) b 做 x 軸的垂線，通過(guò)構(gòu)建直角三角 形和 ob 的長(zhǎng)（即 oa 長(zhǎng)）確定 b 點(diǎn)的坐標(biāo)（2） 已知 o 、a 、b 三點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式（3） 根據(jù)（2 ）的拋物線解析式，可得到拋物線的對(duì)稱(chēng)軸，然后先設(shè)出p 點(diǎn)的坐標(biāo)，而 o 、b 坐標(biāo)已知，可先表示出opb 三邊的邊長(zhǎng)表達(dá)式，然后分op=ob 、op=bp 、ob=bp 三種情況分類(lèi)討論，然后分

24、辨是否存在符合條件的 p 點(diǎn)解答：解：（1）如圖，過(guò) b 點(diǎn)作 bc x 軸，垂足為 c ，則bco=90 ，aob=120 ，boc=60 ，又oa=ob=4 ，oc=ob= 4=2 ，bc=ob sin60=4 =2 ，點(diǎn)b 的坐標(biāo)為（2 ，2）；（2 ）拋物線過(guò)原點(diǎn)o 和點(diǎn) a 、b ，可設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx ，將 a （4 ，0 ），b（2 2 ）代入，得，解得 ，此拋物線的解析式為y= x2+ x（3 ）存在，如圖，拋物線的對(duì)稱(chēng)軸是直線 x=2 ，直線 x=2 與 x 軸的交點(diǎn)為 d ，設(shè)點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（2 ，y ）， 若 ob=op ，則 22+|y|2=42，解得

25、y= 2，當(dāng) y=2時(shí)，在 rt pod 中，pdo=90 ，sinpod= ，pod=60 ，pob= pod+ aob=60 +120 =180 ， 即 p 、o 、b 三點(diǎn)在同一直線上，y=2不符合題意，舍去，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為（2 ，2）若 ob=pb ，則 42+|y+2|2=42，解得 y= 2 ，故點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（2 ，2 ），若 op=bp ，則 22+|y|2=42+|y+2|2，解得 y= 2 ，故點(diǎn) p 的坐標(biāo)為（2 ，2），綜上所述，符合條件的點(diǎn) p 只有一個(gè)，其坐標(biāo)為（2 ，2 ），8 在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板 abc 放在第二象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，

26、且點(diǎn) a （0 ，2 ），點(diǎn) c （1 ，0 ），如圖所示：拋物線 y=ax2+ax 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) b （1） 求點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；（3） 在拋物線上是否還存在點(diǎn) p （點(diǎn) b 除外），使acp 仍然是以 ac 為直角邊的等腰直角 三角形？若存在，求所有點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題分析：（1） 根據(jù)題意，過(guò)點(diǎn) b 作 bd x 軸，垂足為 d ；根據(jù)角的互余的關(guān)系，易得 b 到 x、y 軸 的距離，即 b 的坐標(biāo)；（2） 根據(jù)拋物線過(guò) b 點(diǎn)的坐標(biāo)，可得 a 的值，進(jìn)而可得其解析式；（3 ）首先假設(shè)存在，分 a 、c

27、是直角頂點(diǎn)兩種情況討論，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得答 案解答：解：（1）過(guò)點(diǎn) b 作 bd x 軸，垂足為 d ，bcd+ aco=90 ，aco+ cao=90 ，bcd= cao ，（1 分）又bdc= coa=90 ，cb=ac ，bcd cao ，（2 分）bd=oc=1 ，cd=oa=2 ，（3 分）點(diǎn)b 的坐標(biāo)為（3 ，1 ）；（4分）（2 ）拋物線 y=ax2+ax 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) b （3 ，1 ），則得到 1=9a 3a 2 ，（5 分） 解得 a= ，所以?huà)佄锞€的解析式為 y=x2+x 2 ；（7 分）（3 ）假設(shè)存在點(diǎn) p ，使得acp 仍然是以 ac 為直角邊的等腰直角三角

28、形： 若以點(diǎn) c 為直角頂點(diǎn)；則延長(zhǎng) bc 至點(diǎn) p ，使得 p c=bc ，得到等腰直角三角形acp ，（8 分）1 1 1過(guò)點(diǎn) p 作 p m x 軸，1 1cp =bc ，mcp 11= bcd ，p mc= bdc=90 ，1c dbc （10 分） 1cm=cd=2 ，p m=bd=1 ，可求得點(diǎn) p （1 ，1 ）；（11 分）1 1若以點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)；則過(guò)點(diǎn) a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，得到等腰直角三角形acp ，（12 分）2 2 2過(guò)點(diǎn) p 作 p n y 軸，同理可 ap n cao ，（13 分）2 2 2np =oa=2 ，an=oc=1 ，可求得

29、點(diǎn) p （2 ，1 ），（14 分）2 2經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn) p （1 ，1 ）與點(diǎn) p （2 ，1 ）都在拋物線 y=x 2 +x 2 上（16 分）1 29 在平面直角坐標(biāo)系中，現(xiàn)將一塊等腰直角三角板放在第一象限，斜靠在兩坐標(biāo)軸上，且點(diǎn) a （0 ，2 ），點(diǎn) c （1 ，0 ），如圖所示，拋物線 y=ax2ax 2 經(jīng)過(guò)點(diǎn) b （1） 求點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 求拋物線的解析式；（3） 在拋物線上是否還存在點(diǎn) p （點(diǎn) b 除外），使acp 仍然是以 ac 為直角邊的等腰直角 三角形？若存在，求所有點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：代數(shù)幾何綜合題；壓軸題

30、分析：（1） 首先過(guò)點(diǎn) b 作 bd x 軸，垂足為 d ，易證得bdc coa ，即可得 bd=oc=1 ， cd=oa=2 ，則可求得點(diǎn) b 的坐標(biāo)；（2） 利用待定系數(shù)法即可求得二次函數(shù)的解析式；（3） 分別從以 ac 為直角邊，點(diǎn) c 為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng) bc 至點(diǎn) p 使得 p c=bc ，得到1 1等腰直角三角形 acp ，過(guò)點(diǎn) p 作 p m x 軸，若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，1 1 1則過(guò)點(diǎn) a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，得到等腰直角三角形 acp ，過(guò)點(diǎn) p 作 p n y2 2 2 2 2軸，若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)

31、a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，得3 3到等腰直角三角形 acp ，過(guò)點(diǎn) p 作 p h y 軸，去分析則可求得答案3 3 3解答：解：（1）過(guò)點(diǎn) b 作 bd x 軸，垂足為 d ，bcd+ aco=90 ，ac0+ oac=90 ，bcd= cao ，又bdc= coa=90 ，cb=ac ，bdc coa ，bd=oc=1 ，cd=oa=2 ，點(diǎn)b 的坐標(biāo)為（3 ，1 ）；（2 ）拋物線y=ax1=9a 3a 2 ，解得：a= ，2ax 2 過(guò)點(diǎn) b （3 ，1 ），拋物線的解析式為y=x2x2 ；（3 ）假設(shè)存在點(diǎn) p ，使得acp 是等腰直角三角形，若以 ac 為直角邊

32、，點(diǎn) c 為直角頂點(diǎn)，則延長(zhǎng) bc 至點(diǎn) p 使得 p c=bc ，得到等腰直角三角形 acp ，過(guò)點(diǎn) p 作 p m x 軸，如1 1 1 1 1圖（1 ），cp =bc ，mcp 11= bcd ，p mc= bdc=90 ，1c dbc ，1cm=cd=2 ，p m=bd=1 ，1p （1 ，1 ），經(jīng)檢驗(yàn)點(diǎn) p 在拋物線 y=x 1 12x2 上；若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn) a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，2 2得到等腰直角三角形 acp ，過(guò)點(diǎn) p 作 p n y 軸，如圖（2 ），2 2 2同理可證n cao ，2np =oa=2 ，an=oc=

33、1 ，2p （2 ，1 ），經(jīng)檢驗(yàn) p （2 ，1 ）也在拋物線 y=x 2 22x2 上；若以 ac 為直角邊，點(diǎn) a 為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn) a 作 ap ca ，且使得 ap =ac ，3 3得到等腰直角三角形 acp ，過(guò)點(diǎn) p 作 p h y 軸，如圖（3 ），3 3 3同理可證h cao ，3hp =oa=2 ，ah=oc=1 ，3p （2 ，3 ），經(jīng)檢驗(yàn) p （2 ，3 ）不在拋物線 y=x 3 32x2 上；故符合條件的點(diǎn)有 p （1 ，1 ），p （2 ，1 ）兩點(diǎn)1 2綜合類(lèi)10 如圖，已知拋物線 y=x 2 +bx+c 的圖象與 x 軸的一個(gè)交點(diǎn)為 b （5 ，0 ），另一

34、個(gè)交點(diǎn)為 a ，且與 y 軸交于點(diǎn) c （0 ，5 ）（1） 求直線 bc 與拋物線的解析式；（2） 若點(diǎn) m 是拋物線在 x 軸下方圖象上的一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn) m 作 mn y 軸交直線 bc 于點(diǎn) n ，求 mn的最大值；（3 ）在（2 ）的條件下，mn取得最大值時(shí)，若點(diǎn) p 是拋物線在 x 軸下方圖象上任意一點(diǎn)，以 bc 為邊作平行四邊形 cbpq ，設(shè)平行四邊形 cbpq 的面積為 s ，abn 的面積為 s ，1 2且 s =6s ，求點(diǎn) p 的坐標(biāo)1 2考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有 專(zhuān)題：壓軸題分析：（1）設(shè)直線 bc 的解析式為 y=mx+n ，將 b （5 ，0 ），c （0

35、，5 ）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出直線 bc 的解析式；同理，將 b （5 ，0 ），c（0 ，5 ）兩點(diǎn)的坐標(biāo) 代入 y=x 2 +bx+c ，運(yùn)用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式；（2 ）mn的長(zhǎng)是直線 bc 的函數(shù)值與拋物線的函數(shù)值的差，據(jù)此可得出一個(gè)關(guān)于 mn的長(zhǎng)和 m 點(diǎn)橫坐標(biāo)的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)即可求出 mn的最大值；（3 ）先求出abn 的面積 s =5 ，則 s =6s =30 再設(shè)平行四邊形 cbpq 的邊 bc 上的高2 1 2為 bd ，根據(jù)平行四邊形的面積公式得出 bd=3 ，過(guò)點(diǎn) d 作直線 bc 的平行線，交拋物線與點(diǎn) p ，交 x 軸于點(diǎn) e

36、，在直線 de 上截取 pq=bc ，則四邊形 cbpq 為平行四邊形證明ebd 為等腰直角三角形，則 be= bd=6 ，求出 e 的坐標(biāo)為（1 ，0 ），運(yùn)用待定系數(shù)法求出直線 pq 的解析式為 y= x1 ，然后解方程組，即可求出點(diǎn) p 的坐標(biāo)解答：解：（1）設(shè)直線 bc 的解析式為 y=mx+n ，將 b （5 ，0 ），c （0 ，5 ）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入，得 ，解得 ，所以直線 bc 的解析式為 y= x+5 ；將 b （5 ，0 ），c （0 ，5 ）兩點(diǎn)的坐標(biāo)代入 y=x 2 +bx+c ，得 ，解得 ，所以?huà)佄锞€的解析式為 y=x 2 6x+5 ；（2 ）設(shè) m （x，x26x+

37、5 ）（1x5 ），則 n （x，x+5 ），mn= （x+5 ）（x26x+5 ）= x2+5x= （x）2+，當(dāng)x= 時(shí)，mn有最大值 ；（3 ）mn取得最大值時(shí)，x=2.5 ，x+5= 2.5+5=2.5 ，即 n （2.5，2.5）解方程 x26x+5=0 ，得 x=1 或 5 ，a （1 ，0 ），b（5 ，0 ），ab=5 1=4 ，abn 的面積 s = 42.5=5 ，2平行四邊形cbpq 的面積 s =6s =30 1 2設(shè)平行四邊形 cbpq 的邊 bc 上的高為 bd ，則 bc bd bc=5 ，bc bd=30 ，bd=3 過(guò)點(diǎn) d 作直線 bc 的平行線，交拋物線與

38、點(diǎn) p ，交 x 軸于點(diǎn) e ，在直線 de 上截取 pq=bc ， 則四邊形 cbpq 為平行四邊形bc bd ，obc=45 ，ebd=45 ，ebd 為等腰直角三角形，be=bd=6 ，b （5 ，0 ），e（1 ，0 ），設(shè)直線 pq 的解析式為 y= x+t ，將 e （1 ，0 ）代入，得 1+t=0 ，解得 t= 1直線pq 的解析式為 y= x1 解方程組 ，得 ， ，點(diǎn)p 的坐標(biāo)為 p （2 ，3 ）（與點(diǎn) d 重合）或 p （3 ，4 ）1 211 如圖，拋物線 y=ax2+bx+c （a 0 ）的圖象過(guò)點(diǎn) c （0 ，1 ），頂點(diǎn)為 q （2 ，3 ），點(diǎn) d在 x 軸正

39、半軸上，且 od=oc （1） 求直線 cd 的解析式；（2） 求拋物線的解析式；（3） 將直線 cd 繞點(diǎn) c 逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn) 45 所得直線與拋物線相交于另一點(diǎn)e，求證 ceq cdo ；（4） 在（3 ）的條件下，若點(diǎn) p 是線段 qe 上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) f 是線段 od 上的動(dòng)點(diǎn)，問(wèn)：在 p點(diǎn)和 f 點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中 pcf 的周長(zhǎng)是否存在最小值？若存在，求出這個(gè)最小值；若不存在， 請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題分析：（1） 利用待定系數(shù)法求出直線解析式；（2） 利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（3） 關(guān)鍵是證明ceq 與cdo 均為等腰直角三角形；（4） 如答圖所

40、示，作點(diǎn) c 關(guān)于直線 qe 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) c ，作點(diǎn)c 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) c ，連接 c c，交od 于點(diǎn) f ，交 qe 于點(diǎn) p ，則pcf 即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸 對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，pcf 的周長(zhǎng)等于線段 c c的長(zhǎng)度利用軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、兩點(diǎn)之間線段最短可以證明此 pcf 的周長(zhǎng)最小如答圖所示，利用勾股定理求出線段 c c的長(zhǎng)度，即cf 周長(zhǎng)的最小值解答：解：（1）c （0 ，1 ），od=oc ，d 點(diǎn)坐標(biāo)為（1 ，0 ）設(shè)直線 cd 的解析式為 y=kx+b （k 0 ），將 c （0 ，1 ），d （1 ，0 ）代入得：解得：b=1 ，k= 1 ，直線cd 的解析式為：

41、y= x+1 ，（2 ）設(shè)拋物線的解析式為 y=a （x2 ）2+3 ，將 c （0 ，1 ）代入得：1=a （2 ）2+3 ，解得 a=y=（x2 ）2+3= x2+2x+1 （3 ）證明：由題意可知，ecd=45 ，oc=od ，且 oc od ，ocd 為等腰直角三角形，odc=45 ，ecd= odc ，ce x 軸，則點(diǎn) c 、e 關(guān)于對(duì)稱(chēng)軸（直線 x=2 ）對(duì)稱(chēng)， 點(diǎn)e 的坐標(biāo)為（4 ，1 ）如答圖所示，設(shè)對(duì)稱(chēng)軸（直線 x=2 ）與 ce 交于點(diǎn) m ，則 m （2 ，1 ），me=cm=qm=2 ，qme與qmc均為等腰直角三角形，qec= qce=45 又ocd 為等腰直角三角

42、形，odc= ocd=45 ， qec= qce= odc= ocd=45 ，ceq cdo （4 ）存在如答圖所示，作點(diǎn) c 關(guān)于直線 qe 的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) c 作，點(diǎn)c 關(guān)于 x 軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn) c ，連接c c，交 od 于點(diǎn) f ，交 qe 于點(diǎn) p ，則pcf 即為符合題意的周長(zhǎng)最小的三角形，由軸對(duì)稱(chēng)的性 質(zhì)可知，pcf 的周長(zhǎng)等于線段 c c的長(zhǎng)度（證明如下：不妨在線段 od 上取異于點(diǎn) f 的任一點(diǎn) f ，在線段qe 上取異于點(diǎn) p 的任一 點(diǎn) p ，連接fc，fp，pc由軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可知，cf的周長(zhǎng)=fc+fp+pc；而 f c+fp+pc是點(diǎn)c，c之間的折線段，由兩點(diǎn)之間線段最短可知：

43、f c+fp+pccc，即cf的周長(zhǎng)大 pce的周長(zhǎng)）如答圖所示，連接 c e，c ，c 關(guān)于直線qe 對(duì)稱(chēng)，qce 為等腰直角三角形，e為等腰直角三角形，cec 為等腰直角三角形，點(diǎn)c 的坐標(biāo)為（4，5）；c ，c 關(guān)于x 軸對(duì)稱(chēng)，點(diǎn)c 的坐標(biāo)為（0，1 ）過(guò)點(diǎn) c 作cny 軸于點(diǎn) n ，則 nc =4，nc =4+1+1=6 ，在 rt nc 中，由勾股定理得：cc= = = 綜上所述，在 p 點(diǎn)和 f 點(diǎn)移動(dòng)過(guò)程中 pcf 的周長(zhǎng)存在最小值，最小值為12 如圖，拋物線與 x 軸交于 a （1 ，0 ）、b（3 ，0 ）兩點(diǎn)，與 y 軸交于點(diǎn) c （0 ，3 ）， 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 d

44、（1） 求該拋物線的解析式與頂點(diǎn) d 的坐標(biāo)（2） 試判斷bcd 的形狀，并說(shuō)明理由（3） 探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn) p ，使得以 p 、a 、c 為頂點(diǎn)的三角形與bcd 相似？若存在， 請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn) p 的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題菁優(yōu)網(wǎng)版權(quán)所有專(zhuān)題：壓軸題分析：（1） 利用待定系數(shù)法即可求得函數(shù)的解析式；（2） 利用勾股定理求得bcd 的三邊的長(zhǎng)，然后根據(jù)勾股定理的逆定理即可作出判斷；（3） 分 p 在 x 軸和 y 軸兩種情況討論，舍出 p 的坐標(biāo)，根據(jù)相似三角形的對(duì)應(yīng)邊的比相等 即可求解解答：解：（1）設(shè)拋物線的解析式為 y=ax 2 +bx+c由拋物線與 y 軸交于

45、點(diǎn) c （0 ，3 ），可知 c=3 即拋物線的解析式為 y=ax2+bx+3 把點(diǎn) a （1 ，0 ）、點(diǎn) b （3 ，0 ）代入，得拋物線的解析式為y= x2 2x+3 解得 a= 1 ，b= 2y= x22x+3= （x+1 ）2+4頂點(diǎn)d 的坐標(biāo)為（1 ，4 ）；（2 ）bcd 是直角三角形理由如下：解法一：過(guò)點(diǎn) d 分別作 x 軸、y 軸的垂線，垂足分別為 e 、f 在rtboc 中，ob=3 ，oc=3 ，bc2=ob2+oc2=18在 rt cdf 中，df=1 ，cf=of oc=4 3=1 ， cd 2 =df 2 +cf 2 =2在 rt bde 中，de=4 ，be=ob oe=3 1=2