初中幾何專題提高講義第六章 將軍飲馬

1、第六章 將軍飲馬“將軍飲馬”問題主要利用構(gòu)造對(duì)稱圖形解決求兩條線段和差、三角形周長(zhǎng)、四邊形周長(zhǎng)等一類最值問題，會(huì)與直線、角、三角形、四邊形、圓、拋物線等圖形結(jié)合，在近年的中考和競(jìng)賽中經(jīng)常出現(xiàn)，而且大多以壓軸題的形式出現(xiàn)。模型1 定直線與兩定點(diǎn)模型作法結(jié)論當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線異側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小。連接AB交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。PA+ PB的最小。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使PA+PB最小。作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。PA+PB的最小值為AB。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。連接AB

2、并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最大。作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)B，連接AB并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最大值為AB。當(dāng)兩定點(diǎn)A、B在直線同側(cè)時(shí)，在直線上找一點(diǎn)P，使最小。連接AB，作AB的垂直平分線交直線于點(diǎn)P，點(diǎn)P即為所求作的點(diǎn)。的最小值為0。模型實(shí)例例1如圖，正方形ABCD的面積是12，ABE是等邊三角形，點(diǎn)E在正方形ABCD內(nèi)，在對(duì)角線AC上有一點(diǎn)P，則PD+PE的最小值為 。例2如圖，已知ABC為等腰直角三角形，AC=BC=4，BCD=15，P為CD 上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是多少？熱搜精練1如圖，在ABC

3、中，AC=BC=2，ACB-90，D是BC邊的中點(diǎn)，E是AB邊 上一動(dòng)點(diǎn)，則EC+ED的最小值是 。2如圖，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（3，），當(dāng)ABC的周長(zhǎng)最短時(shí)，求的值。3如圖，正方形ABCD中，AB-7，M是DC上的一點(diǎn)，且DM-3，N是AC上的一 動(dòng)點(diǎn)，求的最小值與最大值。模型2 角到定點(diǎn)模型作法結(jié)論點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得PCD周長(zhǎng)最小。分別作點(diǎn)P關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、P，連接PP，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求。PCD周長(zhǎng)最小為PP。點(diǎn)P在AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得PD+CD最小。作點(diǎn)P關(guān)于OB的對(duì)稱點(diǎn)P，過點(diǎn)P作PCOA交O

4、B于點(diǎn)C，點(diǎn)C、D即為所求。PC+CD的最小值為PC。點(diǎn)P、Q在AOB的內(nèi)部，在OB上找點(diǎn)D，在OA上找點(diǎn)C，使得四邊形PQDC周長(zhǎng)最小。分別作點(diǎn)P、Q關(guān)于OA、OB的對(duì)稱點(diǎn)P、Q，連接PQ，交OA、OB于點(diǎn)C、D，點(diǎn)C、D即為所求。PC+CD+DQ的最小值為PQ，所以四邊形PQDC的周長(zhǎng)的最小值為PQ+PQ。模型實(shí)例例1如圖，AOB=30，AOB內(nèi)有一定點(diǎn)P，且OP=10，在OA上有一 點(diǎn)Q，OB上有一點(diǎn)R。若PQR周長(zhǎng)最小，則最小周長(zhǎng)是多少？熱搜精練1如圖，MON=40，P為MON內(nèi)一定點(diǎn)，A為OM上的點(diǎn)，B為ON上的點(diǎn)， 當(dāng)PAB的周長(zhǎng)取最小值時(shí)：（1）找到A、B點(diǎn)，保留作圖痕跡；（2）

5、求此時(shí)APB等于多少度。如果MON=，APB又等于多少度？2如圖，四邊形ABCD中，BAD=110，B=D=90，在BC、CD上分別 找一點(diǎn)M、N，使AMN周長(zhǎng)最小，并求此時(shí)AMN+ANM的度數(shù)。3如圖，在軸上找一點(diǎn)C，在軸上找一點(diǎn)D，使AD+CD+BC最小，并 求直線CD的解析式及點(diǎn)C、D的坐標(biāo)。4如圖MON=20，A、B分別為射線OM、ON上兩定點(diǎn)，且OA=2，OB=4， 點(diǎn)P、Q分別為射線OM、ON上兩動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)P、Q運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段 AQ+PQ+PB的最小值是多少？模型3 兩定點(diǎn)一定長(zhǎng)模型作法結(jié)論如圖，在直線上找M、N兩點(diǎn)（M在左），使得AM+MN+NB最小，且MN=。將點(diǎn)A向右平移個(gè)單位到

6、A，作A關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)A，連接AB交直線于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向左平移個(gè)單位到M，點(diǎn)M、N即為所求。AM+MN+NB最小為AB 。如圖，之間距離為，在，分別找M、N兩點(diǎn)，使得MN，且AM+MN+NB最小。將點(diǎn)A向下平移個(gè)單位到A，連接AB交直線于點(diǎn)N，將點(diǎn)N向上平移個(gè)單位到M，點(diǎn)M、N即為所求。AM+MN+NB的最小值為AB+。模型實(shí)例例1在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC如圖所示， 點(diǎn)A在軸正半軸上，點(diǎn)C在軸正半軸上， 且OA=6，OC=4，D為OC中點(diǎn)，點(diǎn)E、F在線段 OA上，點(diǎn)E在點(diǎn)F左側(cè)，EF=2。當(dāng)四邊形BDEF 的周長(zhǎng)最小時(shí)，求點(diǎn)E的坐標(biāo)。熱搜精練1在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OACB的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A、B分別在， 軸、軸的正半軸上，A（3，0），B（0，4），D為邊OB的中點(diǎn)。（1）若E為邊OA上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求CDE的周長(zhǎng)最小值；（2）若E、F為邊O