高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.1.2 集合間的基本關(guān)系學(xué)案（含解析）新人教A版必修1

1、11.2集合間的基本關(guān)系子集提出問題具有北京市東城區(qū)戶口的人組成集合A，具有北京市戶口的人組成集合B.問題1：集合A中元素與集合B有關(guān)系嗎？提示：有關(guān)系，集合A中每一個(gè)元素都屬于集合B.問題2：集合A與集合B有什么關(guān)系？提示：集合B包含集合A.導(dǎo)入新知子集的概念定義一般地，對(duì)于兩個(gè)集合A，B，如果集合A中任意一個(gè)元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個(gè)集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集記法與讀法記作AB(或BA)，讀作“A含于B”(或“B包含A”)圖示結(jié)論(1)任何一個(gè)集合是它本身的子集，即AA. (2)對(duì)于集合A，B，C，若AB，且BC，則AC化解疑難對(duì)子集概念的理解(1)集合A是集合B的

2、子集的含義是：集合A中的任何一個(gè)元素都是集合B中的元素，即由xA能推出xB.例如0,11,0,1，則00,1，01，0,1(2)如果集合A中存在著不是集合B的元素，那么集合A不包含于B，或B不包含A，此時(shí)記作AB或BA.(3)注意符號(hào)“”與“”的區(qū)別：“”只用于集合與集合之間，如0N，而不能寫成0N；“”只能用于元素與集合之間，如0N，而不能寫成0N.集合相等提出問題設(shè)Ax|x是有三條邊相等的三角形，Bx|x是等邊三角形問題1：三邊相等的三角形是何三角形？提示：等邊三角形問題2：兩集合中的元素相同嗎？提示：相同問題3：A是B的子集嗎？B是A的子集嗎？提示：是是.導(dǎo)入新知集合相等的概念如果集合A

3、是集合B的子集(AB)，且集合B是集合A的子集(BA)，此時(shí)，集合A與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合B相等，記作AB.化解疑難對(duì)兩集合相等的認(rèn)識(shí)(1)若AB，且BA，則AB；反之，如果AB，則AB，且BA.這就給出了證明兩個(gè)集合相等的方法，即欲證AB，只需證AB與BA同時(shí)成立即可(2)若兩集合相等，則兩集合所含元素完全相同，與元素排列順序無關(guān).真子集提出問題給出下列集合：Aa，b，c，Ba，b，c，d，e問題1：集合A與集合B有什么關(guān)系？提示：AB.問題2：集合B中的元素與集合A有什么關(guān)系？提示：集合B中的元素a，b，c都在集合A中，但元素d，e不在集合A中導(dǎo)入新知真子集的概念定義

4、如果集合AB，但存在元素xB，且xA，我們稱集合A是集合B的真子集記法記作AB(或BA)圖示結(jié)論(1)AB且BC，則AC；(2)AB且AB，則AB化解疑難對(duì)真子集概念的理解(1)在真子集的定義中，AB首先要滿足AB，其次至少有一個(gè)xB，但xA.(2)若A不是B的子集，則A一定不是B的真子集.空集提出問題一個(gè)月有32天的月份組成集合T.問題1：含有32天的月份存在嗎？提示：不存在問題2：集合T存在嗎？是什么集合？提示：存在是空集導(dǎo)入新知空集的概念定義我們把不含任何元素的集合，叫做空集記法規(guī)定空集是任何集合的子集，即A特性(1)空集只有一個(gè)子集，即它的本身，(2)A，則A化解疑難與0的區(qū)別(1)是

5、不含任何元素的集合；(2)0是含有一個(gè)元素0的集合，0集合間關(guān)系的判斷例1(1)下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是()00,1,2；0,1,22,1,0；0,1,2；0；0,1(0,1)；00A1B2C3D4(2)指出下列各組集合之間的關(guān)系：A1,1，B(1，1)，(1,1)，(1，1)，(1,1)；Ax|x是等邊三角形，Bx|x是等腰三角形；Mx|x2n1，nN*，Nx|x2n1，nN*解(1)選B對(duì)于，是集合與集合的關(guān)系，應(yīng)為00,1,2；對(duì)于，實(shí)際為同一集合，任何一個(gè)集合是它本身的子集；對(duì)于，空集是任何集合的子集；對(duì)于，0是含有單元素0的集合，空集不含任何元素，并且空集是任何非空集合的真子集，所以

6、0；對(duì)于，0,1是含有兩個(gè)元素0與1的集合，而(0,1)是以有序數(shù)組(0,1)為元素的單元素集合，所以0,1與(0,1)不相等；對(duì)于，0與0是“屬于與否”的關(guān)系，所以00故是正確的(2)集合A的代表元素是數(shù)，集合B的代表元素是有序?qū)崝?shù)對(duì)，故A與B之間無包含關(guān)系等邊三角形是三邊相等的三角形，等腰三角形是兩邊相等的三角形，故AB.法一：兩個(gè)集合都表示正奇數(shù)組成的集合，但由于nN*，因此集合M含有元素“1”，而集合N不含元素“1”，故NM.法二：由列舉法知M1,3,5,7，N3,5,7,9，所以NM.類題通法判斷集合間關(guān)系的方法(1)用定義判斷首先，判斷一個(gè)集合A中的任意元素是否屬于另一集合B，若是

7、，則AB，否則A不是B的子集；其次，判斷另一個(gè)集合B中的任意元素是否屬于第一個(gè)集合A，若是，則BA，否則B不是A的子集；若既有AB，又有BA，則AB.(2)數(shù)形結(jié)合判斷對(duì)于不等式表示的數(shù)集，可在數(shù)軸上標(biāo)出集合的元素，直觀地進(jìn)行判斷，但要注意端點(diǎn)值的取舍活學(xué)活用已知集合Mx|x1a2，aN*，Px|xa24a5，aN*，則M與P的關(guān)系為()AMP BMPCPM DMP解析：選D對(duì)于任意xM，x1a2(a2)24(a2)5，aN*，a2N*，xP，由子集定義知MP.1P，此時(shí)a24a51，即a2N*，而1M，1a21在aN*時(shí)無解綜合知，MP.有限集合子集的確定例2(1)已知集合Ax|0x3且xN

8、，則A的真子集的個(gè)數(shù)是()A16 B8C7 D4(2)滿足1,2M1,2,3,4,5的集合M有_個(gè)解析(1)Ax|0x3且xN0,1,2，集合A的真子集的個(gè)數(shù)為2317.(2)由題意可得1,2M1,2,3,4,5，可以確定集合M必含有元素1,2，且含有元素3,4,5中的至少一個(gè)，因此依據(jù)集合M的元素個(gè)數(shù)分類如下：含有三個(gè)元素：1,2,3，1,2,4，1,2,5；含有四個(gè)元素：1,2,3,4，1,2,3,5，1,2,4,5；含有五個(gè)元素：1,2,3,4,5故滿足題意的集合M共有7個(gè)答案(1)C(2)7類題通法公式法求有限集合的子集個(gè)數(shù)(1)含n個(gè)元素的集合有2n個(gè)子集(2)含n個(gè)元素的集合有(2

9、n1)個(gè)真子集(3)含n個(gè)元素的集合有(2n1)個(gè)非空子集(4)含有n個(gè)元素的集合有(2n2)個(gè)非空真子集(5)若集合A有n(n1)個(gè)元素，集合C有m(m1)個(gè)元素，且ABC，則符合條件的集合B有2mn個(gè)活學(xué)活用已知集合AxN|1x3，且A中至少有一個(gè)元素為奇數(shù)，則這樣的集合A共有多少個(gè)？并用恰當(dāng)?shù)姆椒ū硎具@些集合解：這樣的集合共有3個(gè)xN|1x30,1,2，A0,1,2且A中至少有一個(gè)元素為奇數(shù)，當(dāng)A中含有1個(gè)元素時(shí)，A可以為1；當(dāng)A中含有2個(gè)元素時(shí)，A可以為0,1，1,2.集合間關(guān)系的應(yīng)用例3已知集合Ax|x4，Bx|2axa3若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解當(dāng)B時(shí)，只需2aa3，即a3；當(dāng)B

10、時(shí)，根據(jù)題意作出如圖所示的數(shù)軸，可得或解得a4或2a3.綜上可得，實(shí)數(shù)a的取值范圍為a|a2類題通法利用集合關(guān)系求參數(shù)應(yīng)關(guān)注三點(diǎn)(1)分析集合關(guān)系時(shí)，首先要分析、簡(jiǎn)化每個(gè)集合(2)此類問題通常借助數(shù)軸，利用數(shù)軸分析法，將各個(gè)集合在數(shù)軸上表示出來，以形定數(shù)，還要注意驗(yàn)證端點(diǎn)值，做到準(zhǔn)確無誤一般含“”用實(shí)心點(diǎn)表示，不含“”用空心點(diǎn)表示(3)此類問題還要注意“空集”的情況，因?yàn)榭占侨魏渭系淖蛹顚W(xué)活用已知集合Ax|1ax2，Bx|1x0時(shí)，A.又Bx|1x1且AB，如圖作出滿足題意的數(shù)軸：a2.當(dāng)a2m1，即m5；當(dāng)B時(shí)，解得即m.故實(shí)數(shù)m的取值范圍是m|m52在本例中，若將“AB”改為“AB”

11、，求實(shí)數(shù)m的取值范圍解：AB，兩不等式端點(diǎn)不可能同時(shí)成立，但最終答案與本例一致3若將本例中的不等式變?yōu)榉匠蹋嚱鉀Q如下問題：已知集合Ax|x24x0，Bx|x22(a1)xa210，aR，若BA，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：Ax|x24x00，4，BA，B或B0或B4或B0，4當(dāng)B時(shí)，方程x22(a1)xa210無實(shí)數(shù)根，則0，即4(a1)24(a21)0.a2，即a的取值范圍是a|a2(2)若B是A的子集，即BA，則a2，即a的取值范圍是a|a2(3)若AB，則必有a2.課時(shí)達(dá)標(biāo)檢測(cè)一、選擇題1設(shè)集合M，N，kZ，則正確的是()AMN BMNCMN DM與N的關(guān)系不確定解析：選B集合M中的元素x(

12、kZ)，集合N中的元素x(kZ)，而2k1為奇數(shù)，k2為整數(shù)，因此MN.2已知集合Mx|x，xZ，則下列集合是集合M的子集的為()AP3,0,1BQ1,0,1,2CRy|y1，yZDSx|x|，xN解析：選D先用列舉法表示集合，再觀察元素與集合的關(guān)系集合M2，1,0,1，集合R3，2，集合S0,1，不難發(fā)現(xiàn)集合P中的元素3M，集合Q中的元素2M，集合R中的元素3M，而集合S0,1中的任意一個(gè)元素都在集合M中，所以SM，且SM.3已知集合Px|x21，Qx|ax1，若QP，則a的值是()A1 B1C1或1 D0,1或1解析：選D由題意，當(dāng)Q為空集時(shí)，a0；當(dāng)Q不是空集時(shí)，由QP，知a1或a1.4

13、已知非空集合P滿足：P1,2,3,4,5，若aP，則6aP，符合上述條件的集合P的個(gè)數(shù)是()A4 B5C7 D31解析：選C由aP,6aP，且P1,2,3,4,5可知，P中元素在取值方面應(yīng)滿足的條件是1,5同時(shí)選；2,4同時(shí)選；3單獨(dú)選，可一一列出滿足條件的全部集合P為3，1,5，2,4，1,3,5，2,3,4，1,5,2,4，1,2,3,4,5，共7個(gè)5已知集合M(x，y)|xy0和P(x，y)|x0，y0，那么()APM BMPCMP DMP解析：選CMP.二、填空題6設(shè)x，yR，A(x，y)|yx，B(x，y)1，則A，B的關(guān)系是_解析：B(x，y)|yx，且x0故BA.答案：BA7圖中

14、反映的是“文學(xué)作品”“散文”“小說”“敘事散文”這四個(gè)文學(xué)概念之間的關(guān)系，請(qǐng)作適當(dāng)?shù)倪x擇填入下面的空格：A為_；B為_；C為_；D為_解析：由Venn圖可得AB，CDB，A與D之間無包含關(guān)系，A與C之間無包含關(guān)系由“文學(xué)作品”“散文”“小說”“敘事散文”四個(gè)文學(xué)概念之間的關(guān)系，可得A為小說，B為文學(xué)作品，C為敘事散文，D為散文答案：小說文學(xué)作品敘事散文散文8已知集合Ax|ax22xa0，aR，若集合A有且僅有2個(gè)子集，則a的取值構(gòu)成的集合為_解析：因?yàn)榧螦有且僅有2個(gè)子集，所以A僅有一個(gè)元素，即方程ax22xa0(aR)僅有一個(gè)根當(dāng)a0時(shí)，方程化為2x0，x0，此時(shí)A0，符合題意當(dāng)a0時(shí)，224aa0，即a21，a1.此時(shí)A1，或A1，符合題意a0或a1.答案：0,1，1三、解答題9由“2，a，b”三個(gè)元素構(gòu)成的集合與由“2a,2，b2”三個(gè)元素構(gòu)成的集合是同一個(gè)集合，求a，b的值解：根據(jù)集合相等，有或解得或或再根據(jù)集合元素的互異性，得或10已知Ax|x23x20，Bx|ax20，且BA，求實(shí)數(shù)a組成的集合C.解：由x23x20，得x1，或x2.A1,2BA，對(duì)B分類討論如下：若B，即方程ax20無解，此時(shí)a0.若B，則B1或B2當(dāng)B1時(shí)，有a20，即a2；當(dāng)B2時(shí)，有2a20，即a1.綜上可知，符合題意的實(shí)數(shù)a所組成的集合C0,1,211設(shè)集合A1,3，a