高中數(shù)學 第一章 坐標系 二 極坐標系教學案 新人教A版選修4-4

1、二 極_坐_標_系 1極坐標系的概念(1)極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點，自極點O引一條射線Ox，叫做極軸；再選定一個長度單位，一個角度單位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆時針方向)，這樣就建立了一個極坐標系(2)極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定：對于平面上任意一點M，用表示線段OM長度，用表示射線Ox到OM的角度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序數(shù)對(，)就叫做點M的極坐標，記作M(，)(3)極坐標與直角坐標的區(qū)別與聯(lián)系直角坐標極坐標區(qū)別點與直角坐標是“一對一”的關(guān)系由于終邊相同的角有無數(shù)個，即點的極角不惟一因此點與極坐標是“一對多”的關(guān)系聯(lián)系直角坐標與極坐標都是用來刻畫平

2、面內(nèi)任意一點的位置的，它們都是一對有序的實數(shù)2極坐標和直角坐標的互化(1)互化的前提條件：極坐標系中的極點與直角坐標系中的原點重合；極軸與x軸的正半軸重合；兩種坐標系取相同的長度單位(2)互化公式，.點的極坐標例1已知點Q(，)，分別按下列條件求出點P的極坐標(1)點P是點Q關(guān)于極點O的對稱點；(2)點P是點Q關(guān)于直線的對稱點思路點撥確定一點的極坐標關(guān)鍵是確定它的極徑和極角兩個量，為此應(yīng)明確它們的含義解(1)由于P，Q關(guān)于極點對稱，得極徑|OP|OQ|，極角相差(2k1)(kZ)所以，點P的極坐標為(，(2k1)或(，2k)(kZ)(2)由P、Q關(guān)于直線對稱，得它們的極徑|OP|OQ|，點P的

3、極角滿足2k(kZ)，所以點P的坐標為(，(2k1)或(，2k)(kZ)設(shè)點M的極坐標是(，)，則M點關(guān)于極點的對稱點的極坐標是(，)或(，)；M點關(guān)于極軸的對稱點的極坐標是(，)；M點關(guān)于過極點且垂直于極軸的直線的對稱點的極坐標是(，)或(，)另外要注意，平面上的點與這一點的極坐標不是一一對應(yīng)的1在極坐標系中，畫出點A，B，C.解：如圖所示2在極坐標系中，點A的極坐標是，求點A關(guān)于直線的對稱點的極坐標(規(guī)定0，0,2)解：作出圖形，可知A(3，)關(guān)于直線的對稱點是.點的極坐標與直角坐標的互化例2(1)把點A的極坐標化成直角坐標；(2)把點P的直角坐標(1，)化成極坐標(0，02)思路點撥依據(jù)

4、極坐標與直角坐標互化的公式解題解(1)x2cos，y2sin1，故點A的直角坐標為(，1)(2)2，tan .又因為點P在第四象限且02，得.因此點P的極坐標是.(1)極坐標和直角坐標互化的前提條件有三，即極點與原點重合，極軸與x軸正半軸重合，有相同的長度單位，三者缺一不可(2)熟記互化公式，必要時可畫圖來分析3點P的直角坐標為(，)，那么它的極坐標可表示為()A.B.C. D.解析：點P(，)在第二象限，與原點的距離為2，且與極軸夾角為.答案：B4若以極點為原點，極軸為x軸正半軸建立直角坐標系(1)已知點A的極坐標(4，)，求它的直角坐標；(2)已知點B和點C的直角坐標為(2，2)和(0，1

5、5)，求它們的極坐標(0,02)解：(1)xcos 4cos2.ysin 4sin2.A點的直角坐標為(2，2)(2)2，tan 1.且點B位于第四象限內(nèi)，點B的極坐標為(2，)又x0，y0，15，.點C的極坐標為. 一、選擇題1在極坐標平面內(nèi)，點M，N，G，H中互相重合的兩個點是()AM和NBM和GCM和H DN和H解析：由極坐標的定義知，M、N表示同一個點答案：A2將點M的極坐標化成直角坐標是()A(5,5) B(5，5)C(5,5) D(5，5)解析：xcos 10cos5，ysin 10sin5.答案：A3在極坐標系中，12且12是兩點M(1，1)和N(2，2)重合的()A充分不必要條

6、件 B必要不充分條件C充要條件 D.既不充分也不必要條件解析：前者顯然能推出后者，但后者不一定推出前者，因為1與2可相差2的整數(shù)倍答案：A4已知A，B兩點的極坐標分別為和，則線段AB中點的直角坐標為()A. B.C. D.解析：AB中點的極坐標為，根據(jù)互化公式xcos cos ，ysin sin ，因此，所求直角坐標為.答案：B二、填空題5點關(guān)于極點的對稱點為_解析：如圖，易知對稱點為.答案：6在極坐標系中，已知A，B兩點，則|AB|_.解析：|AB|.答案：7直線l過點A，B，則直線l與極軸夾角等于_解析：如圖所示，先在圖形中找到直線l與極軸夾角(要注意夾角是個銳角)，然后根據(jù)點A，B的位置

7、分析夾角大小因為|AO|BO|3，AOB，所以O(shè)AB，所以ACO.答案：三、解答題8在極軸上求與點A的距離為5的點M的坐標解：設(shè)M(r,0)，因為A，所以 5，即r28r70.解得r1或r7.所以M點的坐標為(1,0)或(7,0)9(1)已知點的極坐標分別為A，B，C，D，求它們的直角坐標(2)已知點的直角坐標分別為A(3，)，B，C，求它們的極坐標(0,02)解：(1)根據(jù)xcos ，ysin 得A，B(1，)，C，D(0，4)(2)根據(jù)2x2y2，tan 得A，B，C.10已知定點P.(1)將極點移至O處極軸方向不變，求P點的新坐標；(2)極點不變，將極軸順時針轉(zhuǎn)動角，求P點的新坐標解：(1)設(shè)P點新坐標為(，)，如圖所示，由題意可知|OO|2