高中數(shù)學(xué) 第二章 圓錐曲線與方程章末綜合測評 新人教B版選修2-1

1、(二)圓錐曲線與方程(時間120分鐘，滿分150分)一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1雙曲線3x2y29的焦距為()A.B2C2D4【解析】方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為1，a23，b29.c2a2b212，c2，2c4.【答案】D2對拋物線y4x2，下列描述正確的是()A開口向上，焦點為(0,1)B開口向上，焦點為C開口向右，焦點為(1,0)D開口向右，焦點為【解析】拋物線可化為x2y，故開口向上，焦點為.【答案】B3拋物線y24x的焦點到雙曲線x21的漸近線的距離是() 【導(dǎo)學(xué)號：15460057】A. B C1 D【解析】拋物線y

2、24x的焦點為(1,0)，到雙曲線x21的漸近線xy0的距離為，故選B.【答案】B4已知拋物線C1：y2x2的圖象與拋物線C2的圖象關(guān)于直線yx對稱，則拋物線C2的準(zhǔn)線方程是()Ax BxCx Dx【解析】拋物線C1：y2x2關(guān)于直線yx對稱的C2的表達(dá)式為x2(y)2，即y2x，其準(zhǔn)線方程為x.【答案】C5已知點F，A分別為雙曲線C：1(a0，b0)的左焦點、右頂點，點B(0，b)滿足0，則雙曲線的離心率為()A. BC. D【解析】0，F(xiàn)BAB，b2ac，又b2c2a2，c2a2ac0，兩邊同除以a2，得e21e0，e.【答案】D6已知雙曲線C：1(a0，b0)的離心率為，則C的漸近線方程

3、為()Ayx ByxCyx Dyx【解析】由e，得，ca，ba.而1(a0，b0)的漸近線方程為yx，所求漸近線方程為yx.【答案】C7.如圖1，已知F是橢圓1(ab0)的左焦點，P是橢圓上的一點，PFx軸，OPAB(O為原點)，則該橢圓的離心率是()圖1A. B C D【解析】因為PFx軸，所以P.又OPAB，所以，即bc.于是b2c2，即a22c2，所以e.【答案】A8若點O和點F(2,0)分別為雙曲線y21(a0)的中心和左焦點，點P為雙曲線右支上的任意一點，則的取值范圍為()A32，) B32，)C. D【解析】因為雙曲線左焦點的坐標(biāo)為F(2,0)，所以c2.所以c2a2b2a21，即

4、4a21，解得a.設(shè)P(x，y)，則x(x2)y2，因為點P在雙曲線y21上，所以x22x121.又因為點P在雙曲線的右支上，所以x.所以當(dāng)x時，最小，且為32，即的取值范圍是32，)【答案】B9已知定點A，B滿足AB4，動點P滿足PAPB3，則PA的最小值是()A. B C D5【解析】已知定點A，B滿足AB4，動點P滿足PAPB3，則點P的軌跡是以A，B為左、右焦點的雙曲線的右支，且a，c2.所以PA的最小值是點A到右頂點的距離，即為ac2，選C.【答案】C10若焦點在x軸上的橢圓1的離心率為，則n()A. B C D【解析】依題意知，a，b，c2a2b22n，又e，n.【答案】B11已知

5、直線yk(x2)與雙曲線1，有如下信息：聯(lián)立方程組消去y后得到方程Ax2BxC0，分類討論：(1)當(dāng)A0時，該方程恒有一解；(2)當(dāng)A0時，B24AC0恒成立在滿足所提供信息的前提下，雙曲線離心率的取值范圍是()A(1, B，)C(1,2 D2，)【解析】依題意可知直線恒過定點(2,0)，根據(jù)(1)和(2)可知直線與雙曲線恒有交點，故需要定點(2,0)在雙曲線的左頂點上或左頂點的左邊，即2，即00)上的一點，F(xiàn)為拋物線的焦點，直線l過點P且與x軸平行，若同時與直線l、直線PF、x軸相切且位于直線PF左側(cè)的圓與x軸切于點Q，則點Q()A位于原點的左側(cè) B與原點重合C位于原點的右側(cè) D以上均有可能

6、【解析】設(shè)拋物線的準(zhǔn)線與x軸、直線l分別交于點D，C，圓與直線l、直線PF分別切于點A，B.如圖，由拋物線的定義知PCPF，由切線性質(zhì)知PAPB，于是ACBF.又ACDO，BFFQ，所以DOFQ，而DOFO，所以O(shè)，Q重合，故選B.【答案】B二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分將答案填在題中的橫線上)13(2013江蘇高考)雙曲線1的兩條漸近線的方程為_【解析】由雙曲線方程可知a4，b3，所以兩條漸近線方程為yx.【答案】yx14已知F1，F(xiàn)2為橢圓1的兩個焦點，過F1的直線交橢圓于A，B兩點若F2AF2B12，則AB_. 【導(dǎo)學(xué)號：15460058】【解析】由題意，知(AF1AF

7、2)(BF1BF2)ABAF2BF22a2a，又由a5，可得AB(BF2AF2)20，即AB8.【答案】815.如圖2所示，已知拋物線C：y28x的焦點為F，準(zhǔn)線l與x軸的交點為K，點A在拋物線C上，且在x軸的上方，過點A作ABl于B，AKAF，則AFK的面積為_圖2【解析】由題意知拋物線的焦點為F(2,0)，準(zhǔn)線l為x2，K(2,0)，設(shè)A(x0，y0)(y00)，過點A作ABl于B，B(2，y0)，AFABx0(2)x02，BK2AK2AB2，x02，y04，即A(2,4)，AFK的面積為KFy0448.【答案】816設(shè)F為拋物線C：y24x的焦點，過點P(1,0)的直線l交拋物線C于A，

8、B兩點，點Q為線段AB的中點，若FQ2，則直線l的斜率等于_【解析】設(shè)直線l的方程為yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)由聯(lián)立得k2x22(k22)xk20，x1x2，1，即Q.又FQ2，F(xiàn)(1,0)，224，解得k1.【答案】1三、解答題(本大題共6小題，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)17(本小題滿分10分)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，短軸的一個端點到右焦點的距離為.求橢圓C的方程【解】設(shè)橢圓的半焦距為c，依題意，得a且e，a，c，從而b2a2c21，因此所求橢圓的方程為y21.18(本小題滿分12分)已知F1，F(xiàn)2分別為橢圓1(0b10)的左、右焦點，

9、P是橢圓上一點(1)求PF1PF2的最大值；(2)若F1PF260，且F1PF2的面積為，求b的值【解】(1)PF1PF22100(當(dāng)且僅當(dāng)PF1PF2時取等號)，PF1PF2的最大值為100.(2)SF1PF2PF1PF2sin 60，PF1PF2，由題意知：3PF1PF24004c2.由得c6，b8.19(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓心在x軸上，半徑為4的圓C位于y軸右側(cè)，且與y軸相切(1)求圓C的方程；(2)若橢圓1的離心率為，且左、右焦點為F1，F(xiàn)2.試探究在圓C上是否存在點P，使得PF1F2為直角三角形？若存在，請指出共有幾個這樣的點？并說明理由【解】(1)依題

10、意，設(shè)圓的方程為(xa)2y216(a0)圓與y軸相切，a4，圓的方程為(x4)2y216.(2)橢圓1的離心率為，e，解得b29.c4，F(xiàn)1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，F(xiàn)2(4,0)恰為圓心C，()過F2作x軸的垂線，交圓于點P1，P2，則P1F2F1P2F2F190，符合題意；()過F1可作圓的兩條切線，分別與圓相切于點P3，P4，連接CP3，CP4，則F1P3F2F1P4F290，符合題意綜上，圓C上存在4個點P，使得PF1F2為直角三角形20(本小題滿分12分)(2016江南十校聯(lián)考)已知雙曲線的中心在原點，焦點F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為，且過點P(4，)(1)求雙曲線的方程；(2

11、)若點M(3，m)在雙曲線上，求證：0；(3)求F1MF2的面積【解】(1)e，可設(shè)雙曲線方程為x2y2.過點P(4，)，1610，即6.雙曲線方程為x2y26.(2)法一由(1)可知，雙曲線中ab，c2，F(xiàn)1(2，0)，F(xiàn)2(2，0)，kMF1，kMF2，kMF1kMF2.點(3，m)在雙曲線上，9m26，m23，故kMF1kMF21，MF1MF2.0.法二(23，m)，(23，m)，(32)(32)m23m2，M點在雙曲線上，9m26，即m230，0.(3)F1MF2的底邊|F1F2|4，F(xiàn)1MF2的高h(yuǎn)|m|，SF1MF26.21(本小題滿分12分)(2013北京高考)已知A，B，C是橢

12、圓W：y21上的三個點，O是坐標(biāo)原點(1)當(dāng)點B是W的右頂點，且四邊形OABC為菱形時，求此菱形的面積；(2)當(dāng)點B不是W的頂點時，判斷四邊形OABC是否可能為菱形，并說明理由【解】(1)橢圓W：y21的右頂點B的坐標(biāo)為(2,0)因為四邊形OABC為菱形，所以AC與OB相互垂直平分所以可設(shè)A(1，m)，代入橢圓方程得m21，即m.所以菱形OABC的面積是|OB|AC|22|m|.(2)四邊形OABC不可能為菱形理由如下：假設(shè)四邊形OABC為菱形因為點B不是W的頂點，且直線AC不過原點，所以可設(shè)AC的方程為ykxm(k0，m0)由消去y并整理得(14k2)x28kmx4m240.設(shè)A(x1，y1)，C(x2，y2)，則，km.所以AC的中點為M.因為M為AC和OB的交點，所以直線OB的斜率為.因為k1，所以AC與OB不垂直所以O(shè)ABC不是菱形，與假設(shè)矛盾所以當(dāng)點B不是W的頂點時，四邊形OABC不可能是菱形22(本小題滿分12分)已知橢圓C：1(ab0)的離心率為，以原點O為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線xy0相切(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)若直線l：ykxm與橢圓C相交于A，B兩點，且kOAkOB.求證：AOB的面積為定值【解】(1)由題意得，b，又b