控制工程拉普拉斯變換

1、數(shù)學(xué)基礎(chǔ)拉普拉斯變換拉普拉斯變換（拉氏變換） 工程實(shí)踐中常用來簡便地解線性微分方程 是建立復(fù)數(shù)域數(shù)學(xué)模型傳遞函數(shù)的基礎(chǔ)，是古典控制理論的數(shù)學(xué)基礎(chǔ) 其思想源自傅立葉變換，兩者間關(guān)系密切。 對一個(gè)函數(shù)進(jìn)行傅氏變換，需要其滿足的條件較高，但 函數(shù)不滿足特定條件時(shí)，可對其進(jìn)行適當(dāng)改造，以滿足條件，此時(shí)的變換稱為拉氏變換周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)周期函數(shù)f (t) 的傅立葉級數(shù)是由正弦和余弦函數(shù)組成的三角級數(shù)，其可展開的條件為（狄里赫來?xiàng)l件）：在一個(gè)周期內(nèi)連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)在一個(gè)周期內(nèi)至多有有限個(gè)極值點(diǎn)a0wt + b sin nwt)則 f (t) 可展開成如下傅氏級數(shù)： f (t) =

2、+(acos nnn2n=1T22T2Tf (t) cos nwtdt其中 a=(n = 0,1,2,3,)T2n-T2f (t) sin nwtdtb=(n = 1,2,3,)T2n-v = 2p / T基波頻率nvn次諧波頻率周期函數(shù)的傅立葉級數(shù)傅立葉級數(shù)的復(fù)數(shù)形式+n=-jnv tf (t) =aen其中= 1T /2 f (t)e- jnvtdtanT-T /2 證明過程需要用到歐拉公式對非周期函數(shù)如何處理？eit + e-iteit - e-itcos t =,sin t =22i非周期函數(shù)的傅立葉變換若f (t) 為非周期函數(shù)，則可視其周期為無窮大，角頻率v 0趨于零的周期函數(shù)，此

3、時(shí)相鄰的諧波頻率之差= 2p / T趨于零，諧波頻率nv 0 需用一個(gè)變量v來表示。+DvT /2 f (t) = av e jv t ,av=f (t)e- jvtdtv =-2p-T /2 此時(shí)傅立葉級數(shù)寫為(n +1)v 0 - nv 0 = v 0非周期函數(shù)不能展成傅立葉級數(shù)的形式，對傅氏級數(shù)理論作適當(dāng)修改，可將非周期函數(shù)寫成積分的形式，即傅氏積分非周期函數(shù)的傅立葉變換+ av e jv tf (t) =于是有f (t)e- jvtdt e jvtf (t)e- jvtdt e jvt Dv積分運(yùn)算：T12pf (t)e- jvtdt e jvtdvf (t) =- -非周期函數(shù)的傅立

4、葉積分形式+- jv tF (v ) = -f (t)edt傅立葉變換f (t) = 1 + F (v )e jvtdv2p-傅立葉反變換v =-= Dv T /2 +v =- 2p-T /2 += 1 T /2 2p v =- -T /2 時(shí)，Dv 0求和運(yùn)算轉(zhuǎn)化為非周期函數(shù)的傅立葉變換工程實(shí)踐中很多常用函數(shù)（如階躍函數(shù)）不滿足絕對可積條件. 又該如何處理？非周期函數(shù)的傅立葉變換存在的條件： 函數(shù)在任何有限區(qū)間滿足狄里赫萊條件 在(-, )上絕對可積，即 f (t) dt 存在-通過傅立葉變換，可以將非周期時(shí)域函數(shù)變換到頻域。當(dāng)研究輸 入為非正弦函數(shù)的線性系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)用這套理論，可以通過系統(tǒng)對

5、 各種頻率正弦波的響應(yīng)來了解系統(tǒng)對非正弦輸入的響應(yīng)特性。這是自動(dòng)控制系統(tǒng)的頻域方法的基礎(chǔ)拉普拉斯變換t 0？改造：用指數(shù)衰減函數(shù)乘以原函數(shù)f(x)。t 0 (s 0)0,改造后的階躍函數(shù)s te1(t) =-s te,單邊廣義傅氏變換F (v ) =+ e-s t1(t)e- jv tdt =+ e-(s + jw )tdto00+= -e-(s + jw)t= -e-st (coswt - j sin wt)=1o + jws + jws + jw00+1F(v ) = f (t)e- jvtdt = e- jvtdt =(sinv t+j cosv t )-0v0不滿足絕對可積條件的函數(shù)經(jīng)

6、過適當(dāng)處理，一般都能進(jìn)行傅氏變換，這就引入了拉普拉斯變換拉普拉斯變換1. 由上例可知：函數(shù)不滿足絕對可積條件，一般是因?yàn)楫?dāng)t 趨于無窮時(shí)， f (t) 衰減太慢，此時(shí)可用因子e-s t (s 0) 乘以 f (t) ,則衰減會加快。e-s t 稱為衰減因子。2. 衰減因子在t - 時(shí)作用會相反，為此假設(shè)t 0 時(shí)， f (t)=03. 對實(shí)際的物理系統(tǒng)，這一點(diǎn)比較容易做到。理由是：研究時(shí) 總可以把外作用加到系統(tǒng)上的瞬間選為 0 時(shí)刻，而t 0 時(shí)的系統(tǒng)行為可以在初始條件中考慮4. 因此對 f (t) 的研究就變?yōu)樵跁r(shí)間t = 0 區(qū)間對函數(shù) f (t)e-st研究+00F (w) =f (t)

7、e-ste- jwtdt =f (t)e-(s + jw )tdts令s =s + jw=+0-stf (t)edto + jw令s =+000F(w) =f (t)e-ste- jwtdt =-(s + jw )t=f (t)e-stdtf (t)edtsF s -s = F (s) =+0f (t)e-stdto j拉普拉斯變換公式+0F (w) =f (t)e-ste- jwt dtF (w)f (t)e-st因?yàn)榈母凳献儞Q是s，s經(jīng)傅氏反變換，有：112p -2p -f (t)e-st =F (w)eiwt dw F (w)eiwtest dwf (t) =ss1o + jF (w)e

8、st d (s + jw) f (t) =s2p1jo - jF (s)像函數(shù)原函數(shù)o + j f (t) =F (s)estd (s) f (t)2pjo - j拉普拉斯反變換公式反變換正變換關(guān)于拉氏變換積分下限的說明+0+-st-stf (t)e-stdtf (t)edt=f (t)edt+0-0-0+0+f (t)e-stdt=0當(dāng)f (t)滿足拉式變換存在定理的條件，且在t=0處有界時(shí)，0-+-stf (t)e-stdtf (t)edt=0-0+0+時(shí)，f (t)e-stdt 0，當(dāng)f (t)在t=0處0-+-stf (t)e-stdtf (t)edt0-0+為了反映脈沖函數(shù)在0-,0

9、+區(qū)間的跳躍特性并保證積分結(jié)果的唯一性，+因此拉式變換的定義應(yīng)為：F (s) =f (t)e-stdt，為書寫簡便通常簡寫為0-+F (s) =f (t)e-stdt0典型函數(shù)的拉氏變換jw例如t 0t 0時(shí)存在f (t ) = eat（2）指數(shù)函數(shù)L f (t ) = eat e- st dt = e-(s-a )t dt0 0jw= - 1 ( 0 - 1 ) = 1- 1 -(s-a)t=e0s - as - as - aasS的實(shí)部a時(shí)存在0典型函數(shù)的拉氏變換t 0時(shí)存在典型函數(shù)的拉氏變換（3） 余弦函數(shù)f(t) = 0t 0時(shí)存在)s2 + w2（4） 單位斜坡函數(shù)f(t) = 0t

10、 0時(shí)存在)s2（5） 單位脈沖函數(shù)L (t ) = 1(Re(s) -時(shí)存在)典型函數(shù)的拉氏變換單位脈沖函數(shù)的定義d (t) = lim 1 1(t) -1(t - t)0t0t0 011t0Ld (t) =lim1(t ) - 1(t - t )e-stdt = lim0 1(t ) - 1(t - t ) e-stdt00t0t0 0t0 001 11 - 1(t ) e= lim1(t ) e-stdt - 1(t - t ) e-stdt= lim0- s(t + t0 )dt t0 0 t0t0 0 t0 s 0- t001 10- 1(t ) e- s(t + t0 )dt +

11、1(t ) e- s(t + t0 )dt = limt0 0 t0 s- t001 11 1- 1(t ) e0- e- st0 e- st dt - s(t + t0 )dt = lim= limt0 0 t0 st0 0 t0 s01 11- e- st0e- st0= lim- = lim 羅彼塔法則t0 0 t0 sst0 st0 0 se- st0= lim = 1st0 0 單位階躍函數(shù)的拉氏變換單位階躍函數(shù)的拉氏變換+d (t) d t = 1-換成e-st+- d (t) f (t) d t = f (0)+及- d (t - t0 ) f (t) d t = f (t0 )

12、拉氏變換的相關(guān)定理設(shè) Lf(t)=F(s), Lf1(t)=F1(s), Lf2(t)=F2(s),則有 （1） 線性性質(zhì)： Laf1(t ) + bf2 (t ) = aF1(s) + bF2 (s) (af (t ) + bf(t ) e- stdtLaf (t ) + bf(t ) =12120=af (t )e- stdt +bf(t )e- stdt1200 = af (t )e- stdt + bf(t )e- stdt 120= aF1 (s) + bF2 (s)0求 coswt的拉式變換Lcos(wt ) = L 1 e jwt+ 1 e- jwt = 1 L e jwt +

13、1 L e- jwt 2222= 11+ 11s=2 s - jv2 s + jv+ vs22（2）微分定理： L f (t) = s F (s) - f (0) 證明：左= f (t)e-stdt = e-stdf (t)00= e-stf (t)- f (t)de-st00= 0-f (0) + s f (t )e-stdt0= sF(s) - f (0)進(jìn)一步：L f (n) (t) = snF(s) -sn-1f (0) -sn-2f (0) - -sf (n-2) (0) -f (n-1) (0) ( )()t= s F (s)nnLf零初始條件下有：例：某動(dòng)態(tài)電路的輸入-輸出方程為

14、d 2ddr(t ) + a1 dt r(t ) + a0r(t ) = b1 dt e(t ) + b0e(t )dt 2系統(tǒng)輸出及其一階導(dǎo)數(shù)的初值分別為r(0)和r(0)，輸入函數(shù)的初值為e(0) = 0。解： s2 R(s) - sr(0) - r(0) + asR(s) - r(0) + a R(s)10= b1 sE(s) - e(0) + b0 E(s) s2+ a s + a R(s) + - s - a r(0) - r(0)1 0 1= b1 s + b0 E(s) - b1e(0)b1 s + b0s + a1R(s) =E(s) +r(0)s21+ a s + as2+

15、a s + a1010r(0)+ a s + as210 例：求Ld (t) 拉氏變換的相關(guān)定理1()解：Qd (t) = 1(t)( )( ) Ldt= L 1t= s - 1 0= 1- 0 = 1- ，s 例：求Lcoswt Lcoswt= 1 Lsinwt = 1 s w= scoswt = 1 sinwt 解： ，www+ w2+ w2s2s2 t1( )( )Lft dt= F s（3）積分定理： s 0證： f (t)dt e-stdttt=Lf (t)dt 00 0 e- st1s= f (t)dt -t+ e- st f (t)dt 0 0s0 11= 1 F(s)f (t)

16、dt t=F (s) +s 0t =0ss拉氏變換的相關(guān)定理f (t) dt = 1 F (s) - 1 f (-1) (0)L f (-1) (0) =0f (t)dtt- 這里 ss- 例：求 Lt=? 解：Q t = 1(t)dt L t = L 1 ( t ) dt = 1 1 =1s 2 ss t 2 例：求L 22Q t t 2111=tdt L 2 = L tdt = s32 解： 2 ss拉氏變換的相關(guān)定理（4）實(shí)位移定理L f (t -t)= e- 0 s F (s)0證明：左= f (t - t) e- ts dt00令t -t0 = t= - s(t +t )f (t )

17、 edt-t sf (t ) edt-t s= e00-t 0-t 00-t sf (t ) edt + e-t s-t sf (t ) edt-t s= e= 右00-t00t 00 t a0f (t) = 1求F(s)例0f (t) = 1(t) - 1(t - a)解. 1 = 1 - e- as= 1 - e-as f (t ) = L 1(t ) - 1(t - a)Lsss等于0例 求u(t)的拉普拉斯變換像函數(shù)U(s)u(t ) = U0 1(t ) - 2U0 1(t - t ) + U0 1(t - 2t ) Lu(t ) = LU0 1(t ) - 2U0 1(t - t

18、) + U0 1(t - 2t )2U e-t sU e-2t sU= 0 - 0+ 0ss1 - 2e-t ss+ e-2t s = U0sf(t)例：求三角波的象函數(shù)f (t ) = t1(t) - 1(t - T )T解e- sT1F (s) =-Ts2s2f (t) = t 1(t) - (t - T ) 1(t - T ) - T 1(t - T )11 e- sT - T e- sTF (s) =-s2s2sf(t)1例求周期函數(shù)的拉氏變換.設(shè)f (t)為第一周函數(shù)1 f1 (t ) = F1 (s)tT/2T1 f (t ) =F (s)則：1 - e- sT1證：f (t )

19、=f1 (t ) + f1 (t - T )1(t - T ) +f1 (t - 2T )1(t - 2T ) + f (t) = F (s) +F (s) + - sT-eF (s)e2 sT1111= F (s)1+ e-sT+ e-2sT + e-3sT+=F (s)1 - e- sT111 f (t ) =F (s)1 - e- sT1本例中：f(t ) = 1(t ) - 1(t - T )121s1sF(s) = (- sT / 2e)11(1 - 1 e-sT / 2 ) =1 (1 f (t ) =)1 - e-sT1 + e- ST / 2ssS拉氏變換的相關(guān)定理Le Atf

20、 (t )= F (s - A)（5）復(fù)位移定理f (t ) e-( s- A)t dt=ef (t ) e-tsdt左=At證明：00s - A = s)f (t ) e-stdt令= F (s) = F(s - A)= 右=0=1Le ( )at = 1= L 1 t eat例)s - ass) s-a)= s + 3Le cos 5t s=例- 3t(s + 3)+ 5)22+ 52s 2)s s+ 3-2tLecos ( 5t - 3 )= Le-2tcos5(t -例)15s)- (s+ 2)s + 2- s)= e= e15 )15(s + 2)+ 52s 2+ 522)s s+

21、2拉氏變換的相關(guān)定理（6）初值定理 lim f (t) = lim s F(s)t0sdf (t)-st=s F (s) - f (0)edt證明：由微分定理dt0df (t)dt-st lim= lims F(s) - f (0)edtss0df (t)dtlims F (s) - f (0) = 0-st lim edt = 0s0sf (0) = lim f (t) = lim s F(s)t0f (t ) = ts1f (0) = lim s F(s) = lims = 0例12sF (s) =sss2拉氏變換的相關(guān)定理lim f (t) = lims F (s)（終值確實(shí)存在時(shí)）（7

22、）終值定理t s0df (t)dt edt =- s ts F(s) - f (0)證明：由微分定理0df (t)dt e- s tdt = lims F(s) -limf (0)s00s0 df (t)tdf (t ) = limdf (t)0=左= 0 lime- s tdtt 0dts0= lim f (t ) - f (0) = lim f (t ) - f (0)t t 右= lims F (s) - f (0) = lim s F (s) - f (0)s0s0左=右， lim f (t ) = lim s F (s)t s011s(s + a)(s + b)1f () = lim

23、 sF (s) =例s(s + a)( s + b)abs0F (s) =f () = sin t lims= 0例+ 2+ 2s2s2t s0拉氏變換的相關(guān)定理（8）相似定理 L f ( t ) = aF(as )a 證明： L f ( t ) = f t e-stdta0 a -ast= 0f (t1 )ed (at1 )1- ast= a0f (t1 )ed (t1 ) 1= aF(as)定義：若給定的兩個(gè)函數(shù)f1 (t )，f2 (t )在tm，即要求F (s) 是嚴(yán)格真分式,若此條件不滿足，必須用 A(s) 去除B(s) ，得到一個(gè) s 的多項(xiàng)式和嚴(yán)格真分式。若展開結(jié)果為：F(s)=

24、F1(s)+ F2(s)+ + Fn(s)其中 Fi(s)是多項(xiàng)式或者 s 的一次/二次分式，其反變換可查表求得。則()()(s ) +(s )()()-Fs= L-Fs+ L-+ L-1111LFF12n拉普拉斯反變換用留數(shù)法展開部分分式+ bsm-1+ . + bsmbB(s)一般有F (s) = mm-10(n m)sn-1+ a+ . + asnsn-1A(s)n-10A(s) = sn+ a+ . + a= (s - p )(s - p )(s - p)設(shè)n-1012nI. 當(dāng) A(s) = 0 無重根時(shí)CCnnCiC= i =1F(s) = 1+ 2+L+s - p1s - p2s

25、 - pns - pi其中：ni =1f (t ) = C ep t+ C ep t+L+ Ce pnt=p tC e12i12niCi = lim (s - pi ).F(s)s piC=B(s)iA(s) s= pi推導(dǎo)系數(shù)計(jì)算式Ci= lim (s - pi ).F(s)s pi+ bsm-1 + . + bsmB(s)bF (s) = mm-10 (n m)+ asn-1 + . + asnA(s)n-10CnC1C2=+s - p1s - p2s - pn= C1 (s - p2 )(s - pn ) +Ci (s - p1 )(s - pn ) +(s - pn )+ Cn (s

26、- p1 )(s - p2 )(s - pn-1 )(s - pi-1 )(s - pi+1 )(s - p1 )(s - p2 )lim(s - pi ).F(s)s pi= lim(s - pi )s piC1 (s - p2 )(s - pn ) +Ci (s - p1 )(s - pi-1 )(s - pi+1 )(s - pn ) + Cn (s - p1 )(s - p2 )(s - pn-1 )(s - p1 )(s - p2 )(s - pn )= Ci= C1 (s - p2 )(s - pn ) +Ci (s - p1 )(s - pn ) + Cn (s - p1 )(s

27、 - p2 )(s - pn-1 )(s - pi-1 )(s - pi+1 ) B(s)A(s)s= pis= pi)(s - p )(s - p )(s - p12n= C1 (s - p2 )(s - pn ) +Ci (s - p1 )(s - pn ) + Cn (s - p1 )(s - p2 )(s - pn-1 )(s - pi-1 )(s - pi+1 )s= pi(s - p )(s - p ) + (s - p )(s - p)(s - p)(s - p ) + (s - p )(s - p)i -1i +1n-12n1n1= Ci拉普拉斯反變換s + 2，求 f (t)

28、 = ?已知F (s) =例2s2+ 4s + 3s + 2C1C2F(s) =+解.(s + 1 )(s + 3 )s + 1s + 3s + 2= - 1 + 2 = 1C= lim (s + 1 )1(s + 1 )(s + 3 )- 1 + 32s-1s + 2= - 3 + 2 = 1C= lim (s + 3 )2(s + 1 )(s + 3 )- 3 + 12s-31 21 2f(t)= 1 e-t+ 1 e-3tF(s) =+s + 1s + 322+ 5s + 5s2f (t) = ?s + 2已知F (s) =例3，求+ 4s + 3s2(s2 + 4s + 3) + (s

29、 + 2)= 1 +解. F(s) =(s + 1)( s + 3)+ 4s + 3s2f(t)= d (t) + 1 e-t+ 1 e-3t22拉普拉斯反變換e- jt= cos t - j sin ts + 3，求 f (t) = ?已知 F (s) =例4+ 2s + 2s2= cos t- e- jte jtj sin ts + 3CCF(s) = 1+ 2 e jt解一.(s + 1-j)(s + 1 + j)s + 1-js + 1 + jin t2 j+ e- jts + 32 +jC1 =(s + 1 - j)=(s + 1 - j)(s + 1 + j)lim e jt2 j

30、s-1+ j= cos t s + 32 - j2 jC= lim (s + 1 + j)=2(s + 1 - j)(s + 1 + j)-2 js-1- j= 1 e-t (2 + j)e jt - (2 - j)e- jt f(t) = 2 + j e( -1+ j )t - 2 - j e( -1- j )t2 j2 j2 j1 j2 cos t + 4 sin t = e-t cos t + 2 sin t e- t=2 j= s + 1+ 2 1解二：F(s) = s + 3= s + 1 + 2(s + 1 )2 + 12(s + 1 )2 + 12(s + 1 )2 + 12(s

31、 + 1 )2 + 12f(t) = e-t cos t + 2e-t sin t拉普拉斯反變換II. 當(dāng) A(s) = (s - p1 )L(s - pn ) = 0 有重根時(shí)(設(shè) p1為m重根，其余為單根)CmCm-1C1Cm+1CnF(s) =+L+L+)m)m-1(s-p(s-ps-ps-ps-pm+1111nCC= lim (s - p )m .F(s)m1s p1CmCm-1C1 d f(t) = L-1+L+ 1=(s - p )m .F(s)lim)m)m-1Cn(s-p(s-ps-pm- 111! s p1ds111Cm+1L+L+s-pm+1s-pnClim d(s - p

32、 )m .F(s)( j )= 1 C Cm-j1= m -1+m -2+ C2t + C1 .ejp tm(m - 1 )!m- 1(m - 2 )!j! s p1dstt1Lnd ( m -1)+p t 1C ei=lim(m-1 )!(s - p1 ).F(s)mC1im -1i = m +1dss p1拉普拉斯反變換系數(shù)計(jì)算公式的由來CmCm-1C1Cm+1CnF(s) =+L+L+)m)m-1(s-p(s-ps-ps-ps-pm+1111n)m)mC(s-pC (s-pm-1(s-p )F(s) = C+ C(s-p ) + C)+L+ C (s-p )m2+ m+11+ L+ n1

33、(s-p1mm-11m-2111s-ps-pm+1nlim (s - p )m .F(s) = C1ms p1(s - p )m .F(s)= 0 + Cdds+ 2C(s - p ) +L+ (m - 1)C (s - p )m-2 +Lm-1m-21111(s - p )m .F(s)= C1 limdds1m- 11! s p1= 0 + 0 + 2C+L+ (m - 1)(m - 2)C (s - p )m-211d 2m-3(s - p1 ).F(s)+Lmds2=d 2 12!(s - p1 ).F(s)mlims p1Cm- 22ds拉普拉斯反變換s + 2已知 F (s) =f

34、 (t) = ?例5，求c4s(s + 1)2 (s + 3)c2c1+ c3F(s) =+解.(s + 1 )2s + 1s + 3s= - 1 + 2= - 1 s + 2s(s + 1 )2(s + 3 )C= lim (s + 1 )2( - 1 )( - 1 + 3 )22s-1(s + 1 )2 = lims + 2s(s + 3) - (s + 2)s + 3 + s = - 3C= 1 limdds1s(s + 1 ) (s + 3 )2s2 (s + 3)241!s-1s-1s + 223C= lim s.=3s(s + 1 )2(s + 3 )s0s + 21C= lim

35、(s + 3)=4s(s + 1 )2(s + 3 )12s-31F(s) = - 1 .- 3 .1+ 2 . 1 +11.2(s + 1 )24s + 13s12s + 3f(t)= - 1 te-t- 3 e-t+ 2 +1e-3t24312用拉氏變換求解線性微分方程通過微分定理可方便地對線性微分方程進(jìn)行拉氏變換，若系統(tǒng)初始條件為 0，則可簡單地用 s 取代 d/dt、s2 取代 d2/dt2 得到。用拉氏變換求解線性微分方程分三步：1. 對微分方程的每一項(xiàng)進(jìn)行拉氏變換，將微分方程轉(zhuǎn)換為 s 的代數(shù)方程+ L + aC + C = b r(m)+ L + br + br C(n) + a C(n-1)