初等數(shù)學研究第二章不等式的解法

.,講授內(nèi)容：1.解析式的基本概念；2.不等式的有關(guān)概念和性質(zhì)；3.不等式（組）的解法；4.不等式的證明；5.幾個著名的不等式；(均值、柯西、排序、Jensen)6.不等式的應(yīng)用.,.,解析式,1.字母代表數(shù);2.式本身是代表數(shù)的符號，也表明對于數(shù)和字母按怎樣的次序進行什么運算的符號.,運算不同對解析式進行分類,第一節(jié)基本概念,.,第一節(jié)基本概念,運算,1.代數(shù)運算,2.超越運算,指數(shù)有無理數(shù)的乘方、對數(shù)、三角，反三角運算,.,恒等式,兩個解析式f和g對于它們公共定義域的某個子集內(nèi)的一切值都有相同的取值，記作fg，通常在不引起混淆的情況下也記作f=g.,第一節(jié)基本概念,.,恒等變換,一個解析式轉(zhuǎn)換成另一個與它恒等的解析式，這種變換稱為恒等變換.,第一節(jié)基本概念,恒等變換是代數(shù)式運算的重要依據(jù),.,第五節(jié)不等式,1、不等式及其基本概念,代數(shù)不等式超越不等式,.,第五節(jié)不等式,定義2用不等號聯(lián)結(jié)的兩個解析式定義域的交集，稱為不等式的定義域。,.,第五節(jié)不等式,二、不等式基本性質(zhì),.,第五節(jié)不等式,由基本性質(zhì)得到的推論：,推論1,推論2,推論3,推論4,.,第五節(jié)不等式,同解變形(分式不等式),.,第五節(jié)不等式,一般采用“零點分區(qū)穿線法”求解,1）把F(x)因式分解；2)在數(shù)軸上依次標出零點；3）從右上角開始，根據(jù)“奇穿偶不穿”原則進行穿線。,.,第五節(jié)不等式,解下列不等式：,.,同解變形（絕對值不等式）,第五節(jié)不等式,.,例題5解不等式：,第五節(jié)不等式,.,第五節(jié)不等式,例題4解不等式：,含多個絕對值的不等式，一般采取零點分段去絕對值進行求解。,.,第五節(jié)不等式,例題6解不等式：,.,第五節(jié)不等式,解絕對值不等式小結(jié),A、對含有三個以上絕對值的不等式，一般采用零點分段法。,.,第五節(jié)不等式,.,第五節(jié)不等式,同解變形,定理2,定理3,.,第五節(jié)不等式,證明思路：,.,第五節(jié)不等式,同解變形（無理不等式）,.,第五節(jié)不等式,同解變形（無理不等式）,.,第五節(jié)不等式,思維訓練,.,作業(yè)：,84頁，第34題,.,1、絕對值不等式2、無理不等式,同解變形,.,第五節(jié)不等式,1、解絕對值不等式小結(jié),A、對含有三個以上絕對值的不等式，一般采用零點分段法。,.,第五節(jié)不等式,.,第五節(jié)不等式,2、無理不等式的同解變形,.,第五節(jié)不等式,2、無理不等式的同解變形,.,第五節(jié)不等式,1、指數(shù)、對數(shù)不等式的解法,.,第五節(jié)不等式,方法一（指數(shù)、對數(shù)不等式）,同底法：不等式兩邊化為同底，再利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進行同解變形。,.,第五節(jié)不等式,.,第五節(jié)不等式,.,第五節(jié)不等式,思維訓練,解題思路：（換元法）,.,方法二（指數(shù)、對數(shù)不等式）,換元法：,.,.,作業(yè),.,指數(shù)不等式、對數(shù)不等式的解法,同底法換元法,第五節(jié)不等式,.,三角不等式的解法,解題思路：利用和差化積公式同解變形為,.,第五節(jié)不等式,.,.,第五節(jié)不等式,法一：不等式兩邊平方，得,法二：,.,.,第五節(jié)不等式,解題思路：,.,反三角函數(shù)：,.,第五節(jié)不等式,三角不等式解法總結(jié),利用三角函數(shù)的恒等變形、單調(diào)性、數(shù)形結(jié)合求解,.,第五節(jié)不等式,零點分區(qū)穿線法的推廣,解:,綜上所述，原不等式的解集為,.,第五節(jié)不等式,零點分區(qū)穿線法的推廣,1)把不等式所有項一到一邊，令其為函數(shù)f(x)；,2)確定f(x)的定義域；,3)解f(x)=0,得出零點；,4)判斷f(x)在各區(qū)間上的正負；,5)確定解集.,.,第五節(jié)不等式,-,+,-,.,第五節(jié)不等式,.,第五節(jié)不等式,作業(yè),.,不等式的證明,1、比較法2、綜合法（由因?qū)Ч?、分析法（由果尋因）,放縮法、反證法、換元法、數(shù)學歸納法、構(gòu)造法,第五節(jié)不等式,.,第五節(jié)不等式,比較法,1）作差比較法,2）作商比較法,.,第五節(jié)不等式,思維訓練,法一：（作差法）,證明：,.,第五節(jié)不等式,.,法二：（分析法）,證明：,所以原命題成立。,.,第五節(jié)不等式,證明思路：（分析法）,不等式比較復(fù)雜，兩端難以