第一輪數(shù)學(xué)：8.3拋物線

8.3 拋物線知識梳理定義到定點的距離與到定直線的距離相等的點的軌跡方程1.y2=2px（p0），焦點是F（，0）2.x2=2py（p0），焦點是F（0，）性質(zhì)S：y2=2px（p0）1.范圍：x02.對稱性：關(guān)于x軸對稱3.頂點：原點O4.離心率：e=15.準(zhǔn)線：x=6.焦半徑P（x，y）S，|PF|=x+思考討論 對于拋物線x2=2py（p0），其性質(zhì)如何？焦半徑公式如何推導(dǎo)？點擊雙基1.（2004年春季北京）在拋物線y2=2px上，橫坐標(biāo)為4的點到焦點的距離為5，則p的值為A. B.1 C.2 D.4解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為x=，由拋物線的定義知4+=5，解得P=2.答案：C2.設(shè)a0，aR，則拋物線y=4ax2的焦點坐標(biāo)為A.（a，0） B.（0，a）C.（0，） D.隨a符號而定解析：化為標(biāo)準(zhǔn)方程.答案：C3.以拋物線y22px（p0）的焦半徑PF為直徑的圓與y軸位置關(guān)系為A.相交 B.相離C.相切 D.不確定解析：利用拋物線的定義.答案：C4.以橢圓 +=1的中心為頂點，以橢圓的左準(zhǔn)線為準(zhǔn)線的拋物線與橢圓右準(zhǔn)線交于A、B兩點，則|AB|的值為_.解析：中心為（0，0），左準(zhǔn)線為x=，所求拋物線方程為y2= x.又橢圓右準(zhǔn)線方程為x=，聯(lián)立解得A（，）、B（，）.|AB|=.答案：5.（2002年全國）對于頂點在原點的拋物線，給出下列條件：焦點在y軸上；焦點在x軸上；拋物線上橫坐標(biāo)為1的點到焦點的距離等于6；拋物線的通徑的長為5；由原點向過焦點的某條直線作垂線，垂足坐標(biāo)為（2，1）.能使這拋物線方程為y2=10x的條件是_.（要求填寫合適條件的序號）解析：由拋物線方程y2=10x可知滿足條件.答案：典例剖析【例1】 求滿足下列條件的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求對應(yīng)拋物線的準(zhǔn)線方程：（1）過點（3，2）；（2）焦點在直線x2y4=0上.剖析：從方程形式看，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程僅需確定一個待定系數(shù)p；從實際分析，一般需確定p和確定開口方向兩個條件，否則，應(yīng)展開相應(yīng)的討論.解：（1）設(shè)所求的拋物線方程為y2=2px或x2=2py（p0），過點（3，2），4=2p（3）或9=2p2.p=或p=.所求的拋物線方程為y2=x或x2=y，前者的準(zhǔn)線方程是x=，后者的準(zhǔn)線方程是y=.（2）令x=0得y=2，令y=0得x=4，拋物線的焦點為（4，0）或（0，2）.當(dāng)焦點為（4，0）時，=4，p=8，此時拋物線方程y2=16x；焦點為（0，2）時，=2，p=4，此時拋物線方程為x2=8y.所求的拋物線的方程為y2=16x或x2=8y，對應(yīng)的準(zhǔn)線方程分別是x=4，y=2.評述：這里易犯的錯誤就是缺少對開口方向的討論，先入為主，設(shè)定一種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程后求解，以致失去一解.【例2】如下圖所示，直線l1和l2相交于點M，l1l2，點Nl1，以A、B為端點的曲線段C上任一點到l2的距離與到點N的距離相等.若AMN為銳角三角形，|AM|=，|AN|=3，且|NB|=6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程.剖析：由題意所求曲線段是拋物線的一部分，求曲線方程需建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，設(shè)出拋物線方程，由條件求出待定系數(shù)即可，求出曲線方程后要標(biāo)注x、y的取值范圍.解：以直線l1為x軸，線段MN的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，由條件可知，曲線段C是以點N為焦點，以l2為準(zhǔn)線的拋物線的一段.其中A、B分別為曲線段C的端點.設(shè)曲線段C的方程為y2=2px（p0）（xAxxB，y0），其中xA、xB為A、B的橫坐標(biāo)，p=|MN|，所以M（，0） 、N（，0）.由|AM|=，|AN|=3，得（xA+）2+2pxA=17， （xA）2+2pxA=9. 聯(lián)立解得xA=，代入式，并由p0，或解得 p=4， p=2，xA=1 xA=2. 因為AMN為銳角三角形，所以xA.所以故舍去 P=2， P=4，xA=2. xA=1.由點B在曲線段C上，得xB=|BN|=4.綜上，曲線段C的方程為y2=8x（1x4，y0）.評述：本題體現(xiàn)了坐標(biāo)法的基本思路，考查了定義法、待定系數(shù)法求曲線方程的步驟，綜合考查了學(xué)生分析問題、解決問題的能力.【例3】 設(shè)拋物線y2=2px（p0）的焦點為F，經(jīng)過點F的直線交拋物線于A、B兩點，點C在拋物線的準(zhǔn)線上，且BCx軸.證明直線AC經(jīng)過原點O.剖析：證直線AC經(jīng)過原點O，即證O、A、C三點共線，為此只需證kOC=kOA.本題也可結(jié)合圖形特點，由拋物線的幾何性質(zhì)和平面幾何知識去解決.證法一：設(shè)AB：x=my+，代入y2=2px，得y22pmyP2=0.由韋達(dá)定理，得yAyB=p2，即yB=.BCx軸，且C在準(zhǔn)線x=上，C（，yB）.則kOC=kOA.故直線AC經(jīng)過原點O.證法二：如下圖，記準(zhǔn)線l與x軸的交點為E，過A作ADl，垂足為D.則ADEFBC.連結(jié)AC交EF于點N，則=，=.|AF|=|AD|，|BF|=|BC|，|EN|=|NF|，即N是EF的中點.從而點N與點O重合，故直線AC經(jīng)過原點O.評述：本題的“幾何味”特別濃，這就為本題注入了活力.在涉及解析思想較多的證法中，關(guān)鍵是得到y(tǒng)AyB=p2這個重要結(jié)論.還有些證法充分利用了平面幾何知識，這也提醒廣大師生對圓錐曲線幾何性質(zhì)的重視，也只有這樣才能挖掘出豐富多彩的解析幾何的題目.思考討論 本題也可用平面向量來證明，讀者不妨一試.闖關(guān)訓(xùn)練夯實基礎(chǔ)1.（2003年高考新課程）設(shè)a0，f（x）=ax2+bx+c，曲線y=f（x）在點P（x0，f（x0）處切線的傾斜角的取值范圍為0，則P到曲線y=f（x）對稱軸距離的取值范圍為A.0， B.0，C.0，| D.0，|解析：tan=k=f（x）=2ax+b，02ax0+b1.0x0+.答案：B2.（2004年全國，8）設(shè)拋物線y2=8x的準(zhǔn)線與x軸交于點Q，若過點Q的直線l與拋物線有公共點，則直線l的斜率的取值范圍是A.， B.2，2C.1，1 D.4，4解析：y2=8x，Q（2，0）（Q為準(zhǔn)線與x軸的交點），設(shè)過Q點的直線l方程為y= k（x+2）.l與拋物線有公共點，有解，方程組 y2=8x，y=k（x+8）即k2x2+（4k28）+4k2=0有解.=（4k28）216k40，即k21.1k1.答案：C3.（2003年春季上海）直線y=x1被拋物線y2=4x截得線段的中點坐標(biāo)是_.解析：將y=x1代入拋物線y2=4x，經(jīng)整理得x26x+1=0.由韋達(dá)定理得x1+x2=6，=3，=2.所求點的坐標(biāo)為（3，2）.答案：（3，2）4.在拋物線y=4x2上求一點，使該點到直線y=4x5的距離最短，該點的坐標(biāo)是_.解法一：設(shè)與y=4x5平行的直線y=4x+b與y=4x2相切，則y=4x+b代入y=4x2，得 4x24xb=0. =16+16b=0時b=1，代入得x=，所求點為（，1）.解法二：設(shè)該點坐標(biāo)為A（x0，y0），那么有y0=4x02.設(shè)點A到直線y=4x5的距離為d，則d=|4x02+4x05|=|4x024x0+5|=|4（x0）2+1|.當(dāng)且僅當(dāng)x0=時，d有最小值，將x0=代入y=4x2解得y0=1.故A點坐標(biāo)為（，1）.答案：（，1）5.下圖所示的直角坐標(biāo)系中，一運動物體經(jīng)過點A（0，9），其軌跡方程是y=ax2+c（a0），D=（6，7）為x軸上的給定區(qū)間.（1）為使物體落在D內(nèi)，求a的取值范圍；（2）若物體運動時又經(jīng)過點P（2，8.1），問它能否落在D內(nèi)？并說明理由.解：（1）把點A的坐標(biāo)（0，9）代入y=ax2+c得c=9，即運動物體的軌跡方程為y=ax2+9.令y=0，得ax2+9=0，即x2=.若物體落在D內(nèi)，應(yīng)有67，解得a.（2）若運動物體又經(jīng)過點P（2，8.1），則8.1=4a+9，解得a=，運動物體能落在D內(nèi).6.正方形ABCD中，一條邊AB在直線y=x+4上，另外兩頂點C、D在拋物線y2x上，求正方形的面積.解：設(shè)CD所在直線的方程為y=x+t，消去y得 y=x+t， y2=x， x2+（2t1）x+t2=0，CD.又直線AB與CD間距離為AD，ADCD，t=2或6.從而邊長為3或5.面積S1（3）218，S2=（5）2=50.培養(yǎng)能力7.給定拋物線y2=2x，設(shè)A（a，0），a0，P是拋物線上的一點，且PA=d，試求d的最小值.解：設(shè)P（x0，y0）（x00），則y02=2x0，d=PA=.a0，x00，（1）當(dāng)0a1時，1a0，此時有x0=0時，dmin=a.（2）當(dāng)a1時，1a0，此時有x0=a1時，dmin=.8.過拋物線y2=2px（p0）焦點F的弦AB，點A、B在拋物線準(zhǔn)線上的射影為A1、B1，求A1FB1.解：由拋物線定義及平行線性質(zhì)知A1FB1=180（AFA1+BFB1）=180（180A1AF）（180B1BF）=（A1AF+B1BF）=90.探究創(chuàng)新9.（2003年春季北京）已知動圓過定點P（1，0），且與定直線l：x=1相切，點C在l上.（1）求動圓圓心的軌跡M的方程；（2）設(shè)過點P，且斜率為的直線與曲線M相交于A、B兩點.問ABC能否為正三角形？若能，求點C的坐標(biāo)；若不能，說明理由.當(dāng)ABC為鈍角三角形時，求這時點C的縱坐標(biāo)的取值范圍.解：（1）依題意，曲線M是以點P為焦點，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，所以曲線M的方程為y2=4x，如下圖.（2）由題意得，直線AB的方程為y=（x1）.消去y，得3x210x+3=0.由 y=（x1），y2=4x， 解得A（，），B（3，2），若ABC能為正三角形，設(shè)C（1，y），則|AC|=|AB|=|BC|， （+1）2+（y）2=（3）2+（2+）2， （3+1）2+（2+y）2=（3）2+（2+）2. 解得y=.但y=不符合（1），所以組成的方程組無解.因此直線l上不存在點C使ABC是正三角形.設(shè)C（1，y）使ABC成鈍角三角形，由得y=2，y=（x1），x=1， 即當(dāng)點C的坐標(biāo)為（1，2）時，A、B、C三點共線，故y2.又|AC|2=（1）2+（y）2=+y2，|BC|2=（3+1）2+（y+2）2=28+4y+y2，|AB|2=（）2=.當(dāng)|BC|2|AC|2+|AB|2，即28+4y+y2y+y2+，即y時，CAB為鈍角.當(dāng)|AC|2|BC|2+|AB|2，即y+y228+4y+y2+，即y時，CBA為鈍角.又|AB|2|AC|2+|BC|2，即+y2+28+4y+y2，即y2+y+0，（y+）20.該不等式無解，所以ACB不可能為鈍角.因此，當(dāng)ABC為鈍角三角形時，點C的縱坐標(biāo)y的取值范圍是y或y（y2）.思悟小結(jié)本節(jié)主要內(nèi)容是拋物線的定義、方程及幾何性質(zhì).解決本節(jié)問題時應(yīng)注意以下幾點：1.求拋物線方程時，若由已知條件可知曲線是拋物線，一般用待定系數(shù)法；若由已知條件可知曲線的動點的規(guī)律，一般用軌跡法.2.凡涉及拋物線的弦長、弦的中點、弦的斜率問題時要注意利用韋達(dá)定理，能避免求交點坐標(biāo)的復(fù)雜運算.3.解決焦點弦問題時，拋物線的定義有廣泛的應(yīng)用，而且還應(yīng)注意焦點弦的幾何性質(zhì).教師下載中心教學(xué)點睛本節(jié)重點是拋物線的定義、四種方程及幾何性質(zhì).難點是四種方程的運用及對應(yīng)性質(zhì)的比較、辨別和應(yīng)用，關(guān)鍵是定義的運用.建議在教學(xué)中注意以下幾點：1.圓錐曲線統(tǒng)一定義：平面內(nèi)與一定點F和定直線l的距離之比為常數(shù)e的點的軌跡，當(dāng)0e1時，表示橢圓；當(dāng)e=1時，表示拋物線；當(dāng)e1時，表示雙曲線.2.由于拋物線的離心率e=1，所以與橢圓及雙曲線相比，它有許多特殊的性質(zhì)，而且許多性質(zhì)是可以借助于平面幾何的知識來解決的.3.拋物線方程中，字母p的幾何意義是拋物線的焦點F到準(zhǔn)線的距離，等于焦點到拋物線頂點的距離.牢記它對解題非常有益.4.求拋物線方程時，要依據(jù)題設(shè)條件，弄清拋物線的對稱軸和開口方向，正確地選擇拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程.5.在解題中，拋物線上的點、焦點、準(zhǔn)線三者通常與拋物線的定義相聯(lián)系，所以要注意相互轉(zhuǎn)化.拓展題例【例題】 （2003年北京東城區(qū)模擬題）已知拋物線C1：y2=4ax（a0），橢圓C以原點為中心，以拋物線C1的焦點為右焦點，且長軸與短軸之比為，過拋物線C1的焦點F作傾斜角為的直線l，交橢圓C于一點P（點P在x軸上方），交拋物線C1于一點Q（點Q在x軸下方）.（1）求點P和Q的坐標(biāo)；（2）將點Q沿直線l向上移動到點Q，使