數(shù)理方程第一章答案.pdf

數(shù)理方程 A 參考答案 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 第一章部分答案 2 設(shè)r r 0 1 u 0 求特解u u 2 u u 0 k 為常數(shù) 求u u 所滿足的常微分方程 解 1 1 同理 1 代入原式可得 0 令 v 可得 求得 v 即 進一步求得 u 2 計算同上 求得 u r滿足的方程是 2 2 2 1 0 d udu k u drr dr 3 設(shè)r r 0 1 u 0 求特解u u 2 u 0 設(shè)u 求 所滿足的方程 解 1 同 2 可得 1 1 1 代入方程得 0 令 v 可得 求得 v 即 進一步求得 u 2 由 1 22 2 3 22 2 iwtiwt d RdRu ueiw eR r drr drt 數(shù)理方程 A 參考答案 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 代入原式得 2 22 2 2 0 iwtiwt d RdR w eR ra e drr dr 化簡得 22 22 2 0 d RdRw R drr dra 4 求解下列方程的通解 1 2 u u x y 解 可寫為 u 2x 積分得 u 對形如 的方程 解為 y e 直接代入得 u 簡化得 u 2 u u x y 直接套用公式 6 推導(dǎo)桿的微小縱振動方程 解 設(shè)細桿截面積 S 密度 楊氏模量 FA E L L 縱向位移 du 取一小段 dx 用牛頓第二定律得 2 2 u xdx tu x tu E SE SSdx xxt 化簡得 22 2 22 uEu tx 7 寫出琴弦振動的定解問題 解 弦振動方程 22 2 22 uu af t x tx 沒有 外力作用 所以 0f t x 數(shù)理方程 A 參考答案 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 設(shè)弦的一端 x 0 初始位置 2 0 2 0 2 2 uxl x l ux u lxl xl l 初速為 0 0 0 t u t 兩端點不變 0 0u tu t l 所以定解問題 22 2 22 0 0 0 0 2 0 2 0 2 2 0 0 t uuT aa tx u t u tu t l uxl x l ux u lxl xl l txl T 為弦張力 9 求球體的溫度分布滿足的定解問題 解 球坐標系下的熱傳導(dǎo)方程 22 22 2222 111 sin sinsin uk auf t ra tc uuu ar rrrrr f t r 由對稱性可知 0 0 uu 無熱源項 0f t r 對流邊界條件 r R u kh u t Rf t r 所以 數(shù)理方程 A 參考答案 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 2 2 2 0 0 r R uau rtrR trrr urr u kh u t Rf t r 12 求下列方程的通解 1 y z 0 解 可得 含有第三變量 不可直接積分求得特征方程 我們通過湊出兩個首次積分來解決問題 求得特征線 所以 u 2 y 解 觀察可得一特解為 v xy 設(shè) u w v 則 w 滿足方程 y 0 特征方程為 特征線為 所以 w f u w v xy f 另解 先寫出該方程的特征方程 特征方程積得到一組特征曲線 令 22 xyxy 數(shù)理方程 A 參考答案 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 代入原方程得 1 u uf 22 uxyf xy 15 一端固定的半無界弦的定解問題 0 0 0 0 0 si n 0 若為cos 則 解 為滿足邊界條件作以下延拓 x si n x kx 由達朗貝爾公式得 u t x si n si n si n cos 若為cos 則作以下延拓 x cos cos x kx 由達朗貝爾公式得 u t x 1 2 cos cos 1 2 0 1 2 cos cos 1 2 0 si n si n 0 x 0 特征方程 特征線 x at h 通解 u f x at 代入邊界條件得 f x 所以 u 數(shù)理方程 A 參考答案 中國科學(xué)技術(shù)大學(xué) 5 0 1時 u 滿足方程 解 根據(jù)提示知 u 代入邊界條件得 2 2 2 5 4 對比系數(shù)得 0 2 所以 u 2 7 2 0 x 0 x 0 x si n2 由沖量原理公式求w w t x 1 2 2 由達朗貝爾公式得 v t x si n2 1 2 si n2 si n2 由u w v 得 u si n2 si n2 小結(jié)