蘇教版選修12 3.3復(fù)數(shù)的幾何意義 學案.docVIP

3.3 復(fù)數(shù)的幾何意義課堂導學三點剖析各個擊破一、復(fù)數(shù)的點表示【例1】 設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=5，且(3+4i)z在復(fù)平面上對應(yīng)點在第二四象限的角平分線上，|z-m|=5 (mr),求z和m的值.解：設(shè)z=a+bi(a,br)|z|=5,a2+b2=25.而（3+4i）z=(3+4i)(a+bi)=(3a-4b)+(4a+3b）i，又(3+4i)z在復(fù)平面上對應(yīng)點在第二、四象限角平分線上，3a-4b+4a+3b=0，得b=7a，a=，b=，即z=(+i)，z=(1+7i).當z=1+7i時，有|1+7i-m|=5，即（1-m）2+72=50,得m=0,m=2.當z=-(1+7i)時，同理可得m=0,m=-2.類題演練 1已知復(fù)數(shù)x2-6x+5+(x-2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，求實數(shù)x的范圍.答案：解：x為實數(shù)，x2-6x+5和x-2都是實數(shù).復(fù)數(shù)x2-6x+5+(x-2)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第三象限，解得1x2,即1x2為所求實數(shù)x的范圍.變式提升 1已知復(fù)數(shù)z1、z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點關(guān)于原點對稱，且3z1+(z2-2)i=2z2-(1+z1)i,求z1和z2.答案：解:由于z1、z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點關(guān)于原點對稱，有z2=-z1，代入已知等式，得3z1+(-z1-2)i=-2z1-(1+z1)i.解得5z1=i.z1=i,z2=-i.二、復(fù)數(shù)的向量表示【例2】向量表示的復(fù)數(shù)為3+2i，將向量向上平移3個單位長度，再向左平移2個單位長度，將得到向量，分別寫出.(1)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(2)點對應(yīng)的復(fù)數(shù)；(3)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù).思路分析：根據(jù)復(fù)數(shù)向量表示的意義及平移知識，一個復(fù)數(shù)對應(yīng)的向量在平面內(nèi)平移，只要不改變方向和模的長，它們表示同一個復(fù)數(shù)，若模長不變，方向與原來相反，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是原向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)的相反數(shù).解：如右圖所示，o為原點，點a的坐標為（3，2），向上平移3個單位長度再向左平移2個單位后，點o的坐標為（-2，3）.點a的坐標為（1，5），坐標平移不改變的方向和模.（1）向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+2i;（2）點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-2+3i;（3）向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為-3-2i.類題演練 2已知平行四邊形oabc的三個頂點o、a、c對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為0，3+2i，-2+4i.試求：(1)表示的復(fù)數(shù)；（2）表示的復(fù)數(shù)；（3）b點對應(yīng)的復(fù)數(shù).答案：解析：（1），表示的復(fù)數(shù)為-(3+2i)即-3-2i.(2)，表示的復(fù)數(shù)為（3+2i)-(-2+4i)=5-2i.(3),表示的復(fù)數(shù)為（3+2i）+(-2+4i)=1+6i,即b點對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1+6i,變式提升 2已知兩個向量a、b對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z1=3和z2=-5+5i，求向量a與b的夾角.答案：解:a=（3，0），b=（-5，5），所以ab=-15，|a|=3，|b|=.設(shè)a與b的夾角為,所以cos=.因為0,所以=.三、復(fù)數(shù)模的幾何意義【例3】 設(shè)zc,滿足下列條件的點z的集合是什么圖形？（1）|z|=4；（2）2|z|4.解：（1）如左下圖，復(fù)數(shù)z的模等于4，就是說，向量的模等于4，所以滿足條件|z|=4的點z的集合是以原點o為圓心，以4為半徑的圓.（2）不等式2|z|4可化為不等式組如右上圖，不等式|z|2的解集是圓|z|=2外部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集就是上述不等式組的解集，也就是滿足條件2|z|4的點z的集合.容易看出，點z的集合是以原點o為圓心，以2及4為半徑的圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界.溫馨提示滿足條件|z|=r(r為正常數(shù))的點z的集合是以原點為圓心、r為半徑的圓.類題演練 3已知點集d=z|z+1+i|=1,zc，試求|z|的最小值和最大值.答案：解:點集d的圖象為以點c（-1，-）為圓心，以1為半徑的圓，圓上任一點p對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則|=|z|.如右圖，當op過圓心c(-1,- )時，與圓交于a、b，則|z|的最小值是|oa|=|oc|-1=-1=2-1=1,即|z|min=1；|z|的最大值是|ob|=|oc|+1=2+1=3，即|z|max=3.變式提升 3已知z=3+ai，且|z-2|2,求實數(shù)a的取值范圍.答案：解法一:利用模的定義，從兩個已知條件中消去z.z=3+ai(ar),由|z-2|2,得|3+ai-2|2,即|1+ai|2,2,解之-a.解法二:利用復(fù)數(shù)的幾何意義.由條件|z-2|2可知，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)