蘇教版選修44 4.4.3 參數(shù)方程的應用 學案.docVIP

44.3參數(shù)方程的應用對應學生用書p221中心在原點，焦點在x軸上的橢圓1(ab0)的一個參數(shù)方程是(為參數(shù))2圓心為(a，b)、半徑為r的圓的參數(shù)方程為(為參數(shù))3過定點m(x0，y0)傾斜角為的直線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))4利用曲線的參數(shù)方程可解決變量的范圍或最值問題；利用參數(shù)思想可解決求曲線、軌跡方程的問題對應學生用書p23利用參數(shù)方程研究最值或范圍問題例1已知直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，p是橢圓y21上任意一點，求點p到直線l的距離的最大值思路點撥化直線參數(shù)方程為普通方程，設出橢圓的參數(shù)方程后建立距離d的函數(shù)關系，利用三角知識求最值精解詳析直線l的普通方程為x2y0.因為p為橢圓y21上任一點，所以可設p(2cos ，sin )，其中r.因此點p到直線l的距離是d，所以當 ， 時，dmax.由于橢圓或圓上點的坐標都能描述為參數(shù)的三角函數(shù)，故涉及橢圓、圓有關的最值問題，可以利用參數(shù)方程設出曲線上點的坐標，進而轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值問題，利用三角函數(shù)的有界性求解1(新課標全國卷)已知曲線c：1，直線l：(t為參數(shù))(1)寫出曲線c的參數(shù)方程，直線l的普通方程；(2)過曲線c上任意一點p作與l夾角為30的直線，交l于點a，求|pa|的最大值與最小值解：(1)曲線c的參數(shù)方程為(為參數(shù))直線l的普通方程為2xy60.(2)曲線c上任意一點p(2cos ，3sin )到l的距離為d|4cos 3sin 6|.則|pa|5sin()6|，其中為銳角，且tan .當sin()1時，|pa|取得最大值，最大值為.當sin()1時，|pa|取得最小值，最小值為.2已知直線l：(t為參數(shù)，為傾斜角，且)與曲線1交于a，b兩點(1)寫出直線l的普通方程及直線l通過的定點p的坐標；(2)求papb的最大值解：(1)(t為參數(shù)，為傾斜角且)，tan ，直線l的普通方程為xtan y2tan 0.直線l通過的定點p的坐標為(2,0)(2)把代入橢圓的方程1，得3(2tcos )24(tsin )2480，即(3sin2)t212cos t360.設a(2t1cos ，t1sin )，b(2t2 cos ，t2sin )，則pa|t1|，pb|t2|papb|t1t2|.0，且，0sin21，papb的最大值為12.參數(shù)法求軌跡方程例2如圖，已知圓的方程為x2y2，橢圓的方程為1，過原點的射線交圓于a點，交橢圓于b點，過a、b分別作x軸和y軸的平行線，求所作兩直線交點p的軌跡方程思路點撥根據(jù)a在圓上，b在橢圓上，設出a，b的坐標，得到p的坐標(用參數(shù)表示)，消去參數(shù)得p的軌跡方程精解詳析設a，b(5cos ，4sin )，p(x，y)則由o、a、b三點共線，知 oa ob，從而得tan tan .由得tan2.由得tan2.將兩邊平方得tan2tan2.把代入化簡整理得所求軌跡方程為：8x29x2y2400y2200.在求曲線的軌跡方程時，常根據(jù)需要引入一個中間變量即參數(shù)，將x，y表示成關于該參數(shù)的函數(shù)，這種方法是參數(shù)法特別是當動點的軌跡由圓錐曲線上的點來決定時，則可以利用橢圓、圓的參數(shù)方程表示出這一點的坐標，從而建立動點與該點的聯(lián)系，求得動點的參數(shù)方程，最后消去參數(shù)即得動點的軌跡方程3求由方程x2y24tx2ty5t240(t為參數(shù))所表示的一組圓的圓心軌跡解：將方程變形為(x2t)2(yt)24，這組圓的圓心坐標為(2t，t)令x2y0.故軌跡為直線x2y0.4(新課標全國卷)已知動點p，q都在曲線c：(t為參數(shù))上，對應參數(shù)分別為t與t2(02)，m為pq的中點(1)求m的軌跡的參數(shù)方程(2)將m到坐標原點的距離d表示為的函數(shù)，并判斷m的軌跡是否過坐標原點解：(1)依題意有p(2cos ，2sin )，q(2cos 2，2sin 2)，因此m(cos cos 2，sin sin 2)故m的軌跡的參數(shù)方程為(為參數(shù)，02)(2)m點到坐標原點的距離d(02)當時，d0，故m的軌跡過坐標原點.參數(shù)方程在實際問題中的應用例3在一次軍事演習中，一轟炸機以150 m/s的速度作水平直線飛行，在離地面飛行高度為490 m時向目標投彈(不計空氣阻力，重力加速度g9.8 m/s2，炸彈的初速度等于飛機的速度)，求炸彈離開飛機后飛行軌跡的參數(shù)方程思路點撥炸彈離開飛機后作平拋運動，可以選擇時間作為參變數(shù)，將炸彈的水平方向和豎直方向的運動表示出來精解詳析如圖，建立平面直角坐標系，設a為投彈點，b為轟炸目標，由于已知炸彈運動的水平速度和垂直速度，所以可以以時間t為參數(shù)，建立參數(shù)方程設曲線上任意一點的坐標為(x，y)，其對應的時刻為t，則有又由y0，得t10，所以參數(shù)方程為(t為參數(shù)，0t10)1某些實際問題中，動點的坐標x，y之間的關系不易直接得到，但可發(fā)現(xiàn)x，y的變化受另一變量(如時間、速度、角度等)的制約，這時可選擇這一變量為參數(shù)，求軌跡的參數(shù)方程，消去參數(shù)即可得普通方程2對于實際問題中的有關計算，我們可以利用坐標法，建立曲線的參數(shù)(普通)方程，利用曲線的參數(shù)(普通)方程和幾何性質(zhì)進行推理、運算解答中常采用“建模、運算、回答”三步走5.某隧道橫斷面由拋物線拱頂與矩形三邊組成，尺寸如圖某卡車在空車時能過此隧道，現(xiàn)載一集裝箱，箱寬3米，車與箱共高4.5米，此車能否通過此隧道，說明理由解：如圖建立平面直角坐標系，設拋物線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))由于點(3，3)在拋物線上，代入?yún)?shù)方程可解得t1，p，所以拋物線參數(shù)方程為(t為參數(shù))又箱寬3米，故當x1.5時，y0.75，即b(1.5，0.75)，那么b點到底的距離為50.754.25米，而車與箱的高為4.5米，故不能通過6已知彈道曲線的參數(shù)方程為(t為參數(shù))(1)求炮彈從發(fā)射到落地所需的時間；(2)求炮彈在運動中達到的最大高度解：(1)令y0，即2tsingt20，t10，t20.204，即從發(fā)射到落地需0.204.(2)y2tsin gt2x2x，是開口向下的拋物線，ymax0.051，即最大高度為0.051.對應學生用書p251已知點p(x，y)在橢圓1上，試求 2xy的最大值解：設點p(4cos ，2sin )，則 2xy8cos 6sin 10sin()10，所以 max10.2直線與拋物線y24x交于兩個不同的點p，q.已知a(2,4)，求：(1)apaq的值；(2)pq的長解：已知直線的斜率為1，故直線的傾斜角為135，故(t為參數(shù))，代入y24x，得t212t160.故有t1t212，t1t216.(1)apaq|t1|t2|t1t2|12.(2)pq|t1t2|4.3已知a，b分別是橢圓1的右頂點和上頂點，動點c在該橢圓上運動，求abc的重心的軌跡方程解：由于動點c在橢圓上運動，可設c的坐標為(6cos ，3sin )，由于點c不與a，b重合，故.設abc的重心g的坐標為(x，y)依題意，知a(6,0)，b(0,3)，由三角形的重心坐標公式，得即(為參數(shù))其中，這就是重心g的參數(shù)方程，消去參數(shù)，得(y1)21，點(4,1)及(2,2)除外，所以abc的重心的軌跡方程為(y1)21，點(4,1)及(2,2)除外4當x2y24時，求ux22xyy2的最值解：設(02)，于是ux22xyy24cos28cos sin 4sin24cos 24sin 28sin.所以，當，x，y1時，或，x，y1時，umax8；當，x1，y時，或，x1，y時，umin8.5經(jīng)過點m(，0)作直線l，交曲線c：(為參數(shù))于a，b兩點，若ma，ab，mb成等比數(shù)列，求直線l的方程解：根據(jù)題意，設直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))曲線c：化成普通方程得x2y24，將代入x2y24得(tcos )2t2sin24，化簡整理得t22tcos 60，設a(t1cos ，t1sin )，b(t2cos ，t2sin )，則t1t22cos ，t1t26.由題意得ab2mamb，而ab2(t1t2)2(t1t2)24t1t240cos224，mamb|t1t2|6，40cos2246，解得cos ，sin ， tan ，所求直線l的方程為yx或yx，即xy0或xy0. 6.已知橢圓y21和點p，過點p作橢圓的弦ab，使點p是此弦的一個三等分點，求弦所在直線的方程解：設直線ab的方程為(t為參數(shù))，代入方程y21，化簡得(1sin2)t2tcos 0.(*)由t的幾何意義知，方程(*)的兩根t1，t2滿足因為p是ab的一個三等分點，所以t12t2.由和，解得t2，由和，得t1t22t.所以，所以7(1sin2)8cos2，即7(sin2cos2sin2)8cos2.因為cos 0，所以tan2，所以 tan .所以弦ab的方程為y. 7已知橢圓的中心在原點，焦點在y軸上且長軸長為4，短軸長為2，直線l的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，當m為何值時，直線l被橢圓截得的弦長為？解：由題知橢圓的標準方程為x21.由直線l的參數(shù)方程(t為參數(shù))，得令tt，則得直線的參數(shù)方程的標準形式(t為參數(shù)，其絕對值的幾何意義是直線上的點到點(0，m)的距離)，將其代入橢圓方程并整理，得8t24mt5m2200.設方程的兩根分別為t1，t2，則根據(jù)根與系數(shù)的關系，有t1t2，t1t2.弦長為|t1t2| ，m2，解得m.8已知曲線c1：(t為參數(shù))，c2：(為參數(shù))(1)化c1，c2的方程為普通方程，并說明它們分別表示什么曲線；(2)若c1上的點p對應的參數(shù)t，q為c2上的動點，求pq的中點m到