北師大版必修三 1.5用樣本估計(jì)整體教案 教案.docVIP

5 用樣本估計(jì)總體教學(xué)分析現(xiàn)實(shí)生活中的總體所包含的個體數(shù)往往是很多的，總體的平均數(shù)與標(biāo)準(zhǔn)差是不知道的。如何求得總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差？通常的做法是用樣本的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差去估計(jì)總體的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差。只要樣本的代表性好且樣本容量足夠大，這樣的估計(jì)就是合理的、教學(xué)建議統(tǒng)計(jì)學(xué) ，最大的特點(diǎn)是與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系，也是新教材的亮點(diǎn)。僅僅想借助“死記硬背一些概念及公式，簡單模仿課本例題”來學(xué)習(xí)，是絕對不行的。教 書通過現(xiàn)實(shí)生活的例子，引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識到：只描述平均位置的特征是不夠的，還需要描述數(shù)據(jù)離散程度的特征。教學(xué)目標(biāo)1、知識與技能（1） 理解樣本標(biāo)準(zhǔn)差的意義和作用，學(xué)會計(jì)算數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差。（2）能根據(jù)實(shí)際問題的需要合理地選取樣本，從樣本數(shù)據(jù)中提取基本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差），并作合理的解釋。（3）會用樣本的基本數(shù)字特征估計(jì)總體的基本數(shù)字特征，形成對數(shù)據(jù)處理過程形成初步評價的意識。2、過程與方法在解決統(tǒng)計(jì)問題的過程中，進(jìn)一步體會用樣本估計(jì)總體的思想，理解數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想和邏輯推理的數(shù)學(xué)思想方法。會用隨機(jī)抽樣的方法和樣本估計(jì)總體的思想解決一些簡單的實(shí)際問題。3、情感態(tài)度價值觀通過對樣本分析和總體估計(jì)的過程，感受數(shù)學(xué)對實(shí)際生活的需要，認(rèn)識到數(shù)學(xué)知識源于生活并指導(dǎo)生活的事實(shí)，體會數(shù)學(xué)知識與現(xiàn)實(shí)世界的聯(lián)系。教學(xué)重點(diǎn)、難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：利用樣本估計(jì)總體的數(shù)字特征。教學(xué)難點(diǎn): 樣本標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算。教學(xué)過程： 第一課時統(tǒng)計(jì)的基本思想就是用樣本估計(jì)總體，如何能更合理、更直觀，這里有兩種估計(jì)手段：1、 用樣本的頻率分布估計(jì)總體的分布2、 用樣本的數(shù)字特征（平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)差等）估計(jì)總體的數(shù)字特征。下面我們先來看第一種：（一）課題引入1895年，在英國倫敦有106塊男性頭蓋骨被挖掘出土。經(jīng)考證，頭蓋骨的主人死于1665 1666年之間的大瘟疫。人類學(xué)家分別測量了這些頭蓋骨的寬度，數(shù)據(jù)如下所示（單位mm）： 146 141 139 140 145 141 142 131 142 140 144 140138 139 147 139 141 137 141 132 140 140 141 143134 146 134 142 133 149 140 140 143 143 149 136141 143 143 141 138 136 138 144 136 145 143 137142 146 140 148 140 140 139 139 144 138 146 153148 152 143 140 141 145 148 139 136 141 140 139158 135 132 148 142 145 145 121 129 143 148 138149 146 141 142 144 137 153 148 144 138 150 148138 145 145 142 143 143 148 141 145 141請大家思考：用什么統(tǒng)計(jì)圖可以直觀表示上述數(shù)據(jù)的分布狀況？你能根據(jù)上述估計(jì)在1665 1666年之間英國男性頭蓋骨寬度的分布情況嗎？（二）探求新知問題1、我們學(xué)習(xí)了哪些統(tǒng)計(jì)圖？不同的統(tǒng)計(jì)圖適合描述什么樣的數(shù)據(jù)？問題2、這道題目，我們用什么統(tǒng)計(jì)圖描述比較合適？問題3、如何畫頻數(shù)分布條形圖？ 關(guān)鍵：確定組距和組數(shù)組距：把所有數(shù)據(jù)等距離地分成若干組，每個小組的兩個端點(diǎn)之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）縱坐標(biāo)表示頻數(shù)，橫坐標(biāo)表示組距問題4、你能不能畫出給定數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖？基本步驟是什么？1、計(jì)算最大值和最小值的差；2、決定組距和組數(shù)，通常第一組起點(diǎn)稍微減小一點(diǎn)；組距：把所有數(shù)據(jù)等距離地分成若干組，每個小組的兩個端點(diǎn)之間的距離（組內(nèi)數(shù)據(jù)的取值范圍）3、列頻率分布表對落在各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)進(jìn)行累計(jì)，得到各個小組內(nèi)的數(shù)據(jù)的個數(shù)（叫做頻數(shù)），再計(jì)算出每一組出現(xiàn)的頻率，整理可得頻率分布表；4、畫頻率分布直方圖縱坐標(biāo)表示頻率與組距的比值，小長方形的面積=組距=頻率。由于各組頻率之比等于小矩形的面積之比，也等于各矩形的高度之比，所以我們畫頻率分布直方圖的時候，通常先確定高度最低的矩形，然后再按比例畫其它矩形。頻率分布直方圖中的每個小矩形的面積代表數(shù)據(jù)落在這個區(qū)域的頻率，所有小矩形的面積之和=1。頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律，可以讓我們更清楚地看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況（原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了）。問題5、你能根據(jù)上述數(shù)據(jù)估計(jì)在1665 1666年之間英國男性頭蓋骨寬度的分布情況嗎？解：如果把總體看作是1665 1666年之間英國男性頭蓋骨的寬度，就要通過上面出土得到的樣本信息來估計(jì)總體的分布情況。但從上面的數(shù)據(jù)很難直接估計(jì)出總體的分布情況，為此，先將以上數(shù)據(jù)按每個數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)和頻率繪成表。寬度/mm頻數(shù)頻率寬度/mm頻數(shù)頻率12110.00914270.06612910.009143100.09413110.00914450.04713220.01914580.07513310.00914650.04713420.01914710.00913510.00914880.07513640.03814930.02813730.02815010.00913870.06615220.01913970.06615310.009140120.11315810.009141120.113從表格中，我們就能估計(jì)出總體大致的分布情況了，但是，這些關(guān)于分布情況的描述仍不夠形象，為了得到更為直觀的信息，可以再將表中的數(shù)據(jù)按照下面的方式分組：頻率分布表寬度分組頻數(shù)頻率頻率/組距120 125mm10.0090.0018125 130mm10.0090.0018130 135mm60.0570.0114135 140mm220.2080.0416140 145mm460.4340.0868145 150mm250.236 . 0.0472150 155mm40.0380.0076155 160mm10.0090.0018從而得到頻數(shù)分布條形圖、頻率分布直方圖觀察直方圖，回答問題：（1）頭蓋骨的寬度位于哪個范圍的最多？140 145mm 學(xué) （2）頭蓋骨的寬度位于140 145mm的頻率約是多少？43.4 （3）頭蓋骨的寬度小于140mm的頻率約是多少？28.3 （4）頭蓋骨的寬度位于137 142mm的頻率約是多少？。歸納總結(jié)：1、頻率分布表和頻率分布直方圖，是從各個小組數(shù)據(jù)在樣本容量中所占比例大小的角度來表示數(shù)據(jù)分布的規(guī)律，可以讓我們更清楚地看到整個樣本數(shù)據(jù)的頻率分布情況，但是，原有的具體數(shù)據(jù)信息就被抹掉了。2、畫頻率分布直方圖的步驟：（1）、計(jì)算一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，即求極差；（2）、決定組距與組數(shù)；（3）、將數(shù)據(jù)分組；（4）、列頻率分布表；（5）、畫頻率分布直方圖。問題6、當(dāng)數(shù)據(jù)的樣本量發(fā)生變化的時候，會對頻率分布直方圖有什么樣的影響？用什么方法能減少樣本容量對數(shù)據(jù)分布的影響?3、頻率分布折線圖在頻率分布直方圖中，按照分組原則，再在左邊和右邊各加一個區(qū)間。從所加左邊區(qū)間的中點(diǎn)開始，用線段依次連接頻率分布直方圖中各小長方形上段的中點(diǎn)，直至所加的右邊區(qū)間的中點(diǎn)就得到頻率分布折線圖。樣本容量越大，用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布就越精確。當(dāng)樣本容量增大時，為使所得的頻率分布直方圖更好地反映總體的分布情況，我們往往將劃分的區(qū)間數(shù)相應(yīng)增多，每個區(qū)間的長度則會相應(yīng)減少，這樣得到的頻率折線圖也會越來越接近一條光滑的曲線總體密度曲線，這條曲線就反映了總體的分布情況。總體密度曲線與橫軸圍成的區(qū)域面積=1，并且總體在任意區(qū)間取值的概率等于該區(qū)域的面積。（三）知識應(yīng)用例1、為了了解高二學(xué)生的體能情況，某校抽取部分學(xué)生進(jìn)行一分鐘跳繩次數(shù)測試，將所得數(shù)據(jù)整理后，畫出頻率分布直方圖，圖中從左到右各小長方形面積之比為2:4:17:15:9:3，第二組頻數(shù)為12.（1）第二組的頻率是多少？樣本容量是多少？（2）若次數(shù)在110以上（含110次）為達(dá)標(biāo)，試估計(jì)該學(xué)校全體高二學(xué)生的達(dá)標(biāo)率是多少？（3）在這次測試中，學(xué)生跳繩次數(shù)的中位數(shù)落在哪個組內(nèi)？請說明理由。解：（1）由于頻率分布直方圖以面積的形式反映了數(shù)據(jù)落在各組內(nèi)的頻率大小，因此第二組的頻率為：；因?yàn)榈诙M頻率=第二組頻數(shù)樣本容量，所以樣本容量為；（2）由圖可估計(jì)該學(xué)校高二學(xué)生的達(dá)標(biāo)率約為 ； （3）由已知可得各組的頻數(shù)依次為6,12,51,45,27,9，所以前三組的頻數(shù) 之和為69，前四組的頻數(shù)之和為114，所以跳繩次數(shù)的中位數(shù)落 在第四組內(nèi)。例2、某種產(chǎn)品的質(zhì)量以其質(zhì)量指標(biāo)值衡量，質(zhì)量指標(biāo)越大表明質(zhì)量越好，且質(zhì)量指標(biāo)值大于或等于102的產(chǎn)品為優(yōu)質(zhì)品現(xiàn)用兩種新配方（分別稱為a配方和b配方）做試驗(yàn)，各生產(chǎn)了100件這種產(chǎn)品，并測量了每產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值，得到時下面試驗(yàn)結(jié)果：a配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)82042228b配方的頻數(shù)分布表指標(biāo)值分組90，94）94，98）98，102）102，106）106，110頻數(shù)412423210（1）分別估計(jì)用a配方，b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率；（2）已知用b配方生產(chǎn)的一種產(chǎn)品利潤y（單位：元）與其質(zhì)量指標(biāo)值t的關(guān)系式為，計(jì)算生產(chǎn)100件b產(chǎn)品獲得的利潤。解析：（1）由試驗(yàn)結(jié)果知，用a配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)的平率為，所以用a配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.3。由試驗(yàn)結(jié)果知,用b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品中優(yōu)質(zhì)品的頻率為，所以用b配方生產(chǎn)的產(chǎn)品的優(yōu)質(zhì)品率的估計(jì)值為0.42。（2）用b配方生產(chǎn)的100件產(chǎn)品中，其質(zhì)量指標(biāo)值落入?yún)^(qū)間的頻數(shù)分別為4，54，42，因此生產(chǎn)100件b產(chǎn)品獲得的利潤為4（-2）+542+424=268。（五）課堂小結(jié)1、這節(jié)課進(jìn)一步學(xué)習(xí)了頻率分布直方圖的畫法，并利用頻率分布直方圖估計(jì)數(shù)據(jù)的總體分布?？傮w分布指的是總體取值的頻率分布規(guī)律，由于總體分布不易知道，因此我們往往用樣本的頻率分布去估計(jì)總體的分布。2、總體密度曲線。（六）分層作業(yè)1、課本第23頁 習(xí)題14 1、22、課本第6970頁 復(fù)習(xí)參考題一 a組63、閱讀課本第41頁 標(biāo)準(zhǔn)差的用途第二課時練習(xí)課1、從某小學(xué)隨機(jī)抽取100名同學(xué)，將他們的身高（單位：厘米）數(shù)據(jù)繪制成頻率分布直方圖（如圖）。由圖中數(shù)據(jù)可知a 。若要從身高在 120 , 130），130 ，140) , 140 , 150三組內(nèi)的學(xué)生中，用分層抽樣的方法選取18人參加一項(xiàng)活動，則從身高在140 ，150內(nèi)的學(xué)生中選取的人數(shù)應(yīng)為 。答案：0.030 32、將容量為n的樣本中的數(shù)據(jù)分成6組，繪制頻率分布直方圖。若第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率之比為2：3：4：6：4：1，且前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于27，則n等于 ?！敬鸢浮?0【解析】設(shè)第一組至第六組數(shù)據(jù)的頻率分別為，則，解得，所以前三組數(shù)據(jù)的頻率分別是，故前三組數(shù)據(jù)的頻數(shù)之和等于=27，解得n=60。3、課本第36頁 練習(xí)4、某棉紡廠為了解一批棉花的質(zhì)量，從中隨機(jī)抽測了100根棉花纖維的長度(棉花纖維的長度是棉花質(zhì)量的重要指標(biāo))所得數(shù)據(jù)均在區(qū)間5,40中，其頻率分布直方圖如圖所示，則在抽測的100根中，有_根棉花纖維的長度小于20 mm.5、在生產(chǎn)過程中，測得纖維產(chǎn)品的纖度(表示纖維粗細(xì)的一種量)共有100個數(shù)據(jù)，將數(shù)據(jù)分組如下表：分 組頻 數(shù)1.30,1.34)41.34,1.38)251.38,1.42)301.42,1.46)291.46,1.50)101.50,1.54)2合 計(jì)100(1)列出頻率分布表，并畫出頻率分布直方圖；(2)估計(jì)纖度落在1.38,1.50)中的概率及纖度小于1.40的概率是多少；6、為了解學(xué)生身高情況，某校以10 的比例對全校700名學(xué)生按性別進(jìn)行分層抽樣調(diào)查，測得身高情況的統(tǒng)計(jì)圖如下：(1)估計(jì)該校男生的人數(shù)；(2)估計(jì)該校學(xué)生身高在170 185 cm之間的概率； 學(xué) 7、某市2010年4月1日4月30日對空氣污染指數(shù)的監(jiān)測數(shù)據(jù)如下（主要污染物為可吸入顆粒物）: 61,76,70,56,81,91,92,91,75,81,88,67,101,103,95,91, 77,86,81,83,82,82,64,79,86,85,75,71,49,45,（）完成頻率分布表；（）作出頻率分布直方圖；（）根據(jù)國家標(biāo)準(zhǔn)，污染指數(shù)在0 50之間時，空氣質(zhì)量為優(yōu)：在51 100之間時，為良；在101 150之間時，為輕微污染；在151 200之間時，為輕度污染。請你依據(jù)所給數(shù)據(jù)和上述標(biāo)準(zhǔn)，對該市的空氣質(zhì)量給出一個簡短評價.8、某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產(chǎn)情況，隨即抽取該流水線上40件產(chǎn)品作為樣本算出他們的重量（單位：克）重量的分組區(qū)間為（490,，（495,，（510,，由此得到樣本的頻率分布直方圖，如圖4所示 根據(jù)頻率分布直方圖，求重量超過505克的產(chǎn)品數(shù)量9、為了了解一個小水庫中養(yǎng)殖的魚有關(guān)情況，從這個水庫中多個不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質(zhì)量（單位：千克），并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖（如圖所示）（）在答題卡上的表格中填寫相應(yīng)的頻率； 學(xué), , ,x,x, （）估計(jì)數(shù)據(jù)落在（1.15,1.30）中的概率為多少；（）將上面捕撈的100條魚分別作一記號后再放回水庫，幾天后再從水庫的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號的魚有6條，請根據(jù)這一情況來估計(jì)該水庫中魚的總條數(shù)。 第三課時課題引入上節(jié)課，我們介紹了利用樣本的頻率分布可以估計(jì)總體的分布。當(dāng)然，我們也可以利用樣本的數(shù)據(jù)特征估計(jì)總體的數(shù)字特征。（二）探求新知有甲、乙兩種鋼筋，現(xiàn)從中各抽取一個樣本（如下表）檢查它們的抗拉強(qiáng)度（單位： g/mm2），通過計(jì)算發(fā)現(xiàn)，兩個樣本的平均數(shù)均為125。甲110120130125120125135125135125乙115100125130115125125145125 + + . 145請你運(yùn)用所學(xué)的統(tǒng)計(jì)學(xué)的知識，說明哪種鋼筋的質(zhì)量較好？畫出數(shù)據(jù)的條形統(tǒng)計(jì)圖可以發(fā)現(xiàn)，甲樣本的抗拉強(qiáng)度比較集中，乙樣本的抗拉強(qiáng)度相對分散，說明乙樣本沒有甲樣本的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定。從而，我們認(rèn)為乙鋼筋沒有甲鋼筋的抗拉強(qiáng)度穩(wěn)定。 如果兩組數(shù)據(jù)的集中程度差異不大時，從統(tǒng)計(jì)圖中就不易得出結(jié)論。那么，我們可以計(jì)算樣本的方差（標(biāo)準(zhǔn)差）來估計(jì)總體的方差。（三）知識應(yīng)用例1、在1996年美國亞特蘭大奧運(yùn)會上，中國香港風(fēng)帆選手李麗珊，以驚人的耐力和斗志，勇奪金牌，為香港體育史揭開了“突破零”的一頁。在風(fēng)帆比賽中，成績以低分為優(yōu)勝。比賽共11場，并以最佳的9場成績計(jì)算最終的名次。前7場比賽結(jié)束后，排名前5位的選手積分如表所示：排名運(yùn)動員比賽場次總分12345678910111李麗珊（中國香港）3222427222簡度（新西蘭）23611055323賀根（挪威）7844318354威爾遜（英國）55145564445李 （中國）4135927646根據(jù)上面的比賽結(jié)果，我們?nèi)绾伪容^各選手之間的成績及穩(wěn)定情況呢？如果此時讓你預(yù)測誰將獲得最后的勝利，你會怎么看？解析：我們可以分別計(jì)算5位選手前7場比賽積分的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差，分別作為度量各選手比賽的成績及穩(wěn)定情況的依據(jù)，結(jié)果如下表所示：排名運(yùn)動員平均積分（）積分標(biāo)準(zhǔn)差（s）1李麗珊（中國香港）3.141.732簡度（新西蘭）4.572.773賀根（挪威）5.002.514威爾遜（英國）6.293.195李 （中國）6.573.33從表中看出：李麗珊的平均積分及積分標(biāo)準(zhǔn)差都比其他選手的小，也就是說，在前7場的比賽過程中，她的成績最為優(yōu)異，而且表現(xiàn)也最為穩(wěn)定。盡管此時還有4場沒有進(jìn)行，但這里我們可以假定每位運(yùn)動員在各自的11場比賽中發(fā)揮的水平大致相同，因而可以把前7場比賽的成績看作是總體的一個樣本，并由此估計(jì)每位運(yùn)動員最后的比賽成績。從已經(jīng)結(jié)束的7場比賽的積分來看，李麗珊的成績最為優(yōu)異，而且表現(xiàn)最為穩(wěn)定，因此我們有足夠的理由相信她在后面的4場比賽中會繼續(xù)保持優(yōu)異而穩(wěn)定的成績，獲得最后的冠軍。當(dāng)然，事實(shí)也進(jìn)一步驗(yàn)證了我們的預(yù)測，李麗珊正是憑著自己優(yōu)異而穩(wěn)定的表現(xiàn)，稱為香港首位奧運(yùn)金牌得主。例2、某地用隨機(jī)抽樣的方法檢查了630名50歲 60歲的女性血清甘油三脂含量(mg/dl)，頻率分布表如下表所示，分別用頻數(shù)和頻率計(jì)算血清甘油三脂含量的平均值分組頻數(shù)頻率10,40)270.04340,70)1690.26870,100)1670.265100,130)940.149130,160)810.129160,190)420.067190,220)280.044220,250)140.022250,280)40.006280,310)30.005310,340)10.002合計(jì)6301例3、某中學(xué)舉行電腦知識競賽，現(xiàn)將高一參賽學(xué)生的成績整理后分成五組繪制成如圖所示的頻率分布直方圖，已知圖中從左到右的第一、二、三、四、五小組的頻率分布是0.30、0.40、0.15、0.10、0.05.求：（1）成績的眾數(shù)、中位數(shù)；（2）平均成績（四）課堂練習(xí)1、（2011年福建19題改編）某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)x依次為1,2，8，其中x5為標(biāo)準(zhǔn)a，x3為標(biāo)準(zhǔn)b，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)a生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)b生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假定甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)。已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x1的頻率分布表如下所示：（等級）5678p（頻率）040.30.201（1）為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)x2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下： 3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，求等級系數(shù)x2的平均數(shù)。（2）在（1）的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理由。注：產(chǎn)品的“性價比”=； “性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性。解析：（1）由已知得，樣本的頻率分布表如下：345678030202010101用這個樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，可得等級系數(shù)x2的平均數(shù)為4.8。（2）乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因?yàn)榧讖S產(chǎn)品的等級系數(shù)的平均數(shù)等于6，價格為6元/件，