高中數(shù)學(xué) 第一章 集合與函數(shù)概念 1.3.2 奇偶性教材梳理素材 新人教A版必修1.doc

1.3.2 奇偶性皰丁巧解牛知識(shí)巧學(xué)升華一、函數(shù)奇偶性的定義1.奇函數(shù) 一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做奇函數(shù). 例如：函數(shù)f（x）=x3，它的定義域?yàn)閞，因f（x）=x3，f（-x）=（-x）3=-x3，所以f（-x）=-f（x），即對(duì)于定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=-f（x）.所以它是奇函數(shù).2.偶函數(shù) 一般地，如果對(duì)于函數(shù)f（x）的定義域內(nèi)任意一個(gè)x，都有f（-x）=f（x），那么函數(shù)f（x）就叫做偶函數(shù). 例如：函數(shù)f（x）=x2，它的定義域?yàn)閞，因?yàn)閒（-x）=（-x）2=x2=f（x），即對(duì)于定義域的任意一個(gè)x都有f（-x）=f（x），所以它是偶函數(shù). 要點(diǎn)提示 注意此處空半格函數(shù)的奇偶性是研究f（-x）與f（x）之間關(guān)系的，其中f（-x）是把f（x）解析式中的x換成“-x”而得到的. 因?yàn)閤d，-xd，所以奇偶函數(shù)的定義域必關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 因此判斷函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f（-x）與f（x）的關(guān)系. 函數(shù)包括奇函數(shù)、偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)、既奇又偶函數(shù)四類.二、奇偶函數(shù)的圖象特征1.奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱圖形；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象是以坐標(biāo)原點(diǎn)為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，則這個(gè)函數(shù)是奇函數(shù). 若f（x）為奇函數(shù)，（x，f（x）在圖象上，則（-x，f（-x）即（-x，-f（x）也在f（x）的圖象上.2.偶函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；反之，如果一個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，則這個(gè)函數(shù)是偶函數(shù). 若f（x）為偶函數(shù)，（x，f（x）在圖象上，則（-x，f（-x）即（-x，f（x）也在f（x）的圖象上. 如果知道一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則只要把它的定義域分成關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩部分，得出函數(shù)在一部分上的性質(zhì)和圖象，就可推出函數(shù)在另一部分上的性質(zhì)和圖象. 我們不難發(fā)現(xiàn)，如果奇函數(shù)y=f（x）的定義域內(nèi)有零，則由奇偶函數(shù)的定義知f（-0）=-f（0），即f（0）=-f（0）.f（0）=0. 誤區(qū)警示 注意此處空半格圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)或y軸對(duì)稱，指的是函數(shù)圖象本身，而不是兩個(gè)函數(shù)圖象之間的關(guān)系. 奇函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)則相反.問(wèn)題思路探究問(wèn)題 定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定不是奇偶函數(shù)；定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的一定是奇偶函數(shù).這兩句話對(duì)嗎？思路：定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x）的函數(shù)才是偶函數(shù)或奇函數(shù).其中f（-x）=f（x）f（-x）-f（x）=0=1（f（x）0），f（-x）=-f（x）f（-x）+f（x）=0=-1（f（x）0）， 即可利用f（x）與f（-x）的變形形式去證明它的奇偶性.探究：定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)一定不是奇偶函數(shù)，如函數(shù)f（x）=x4+1，x-1，2.由于它的定義域不關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)1x2時(shí)，-x沒(méi)有定義，所以它不符合奇、偶函數(shù)的定義，故f（x）=x4+1，x-1，2是非奇非偶函數(shù). 定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的函數(shù)也不一定是奇偶函數(shù).如f（x）=x2+x，g（x）=x3+1，它們的定義域都是r，因?yàn)閒（-x）=（-x）2+（-x）=x2-xf（x）-f（x），所以它是非奇非偶函數(shù).同理可證g（x）=x3+1也是非奇非偶函數(shù).典題熱題新題例1 判斷下列函數(shù)的奇偶性.（1）f（x）=x+； （2）f（x）=x2+；（3）f（x）=； （4）f（x）=；（5）f（x）=思路解析：判斷函數(shù)奇偶性的關(guān)鍵是先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，再看f（-x）與f（x）的關(guān)系.解：（1）定義域?yàn)閍=xxr，且x0.對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f（-x）=-x+=-（x+）=-f（x），f（x）=x+為奇函數(shù).（2）定義域?yàn)閍=xxr，且x0.對(duì)定義域內(nèi)的每一個(gè)x，都有f（-x）=（-x）2+=x2+=f（x），函數(shù)f（x）=x2+為偶函數(shù).（3）函數(shù)的定義域?yàn)閍=xx0，關(guān)于原點(diǎn)不對(duì)稱，函數(shù)f（x）=為非奇非偶函數(shù).（4）由得x2=1.x=1.函數(shù)的定義域?yàn)?1，1.于是f（x）=0，x-1，1， 滿足f（-x）=f（x）=0，f（-x）=-f（x）=0.f（x）既是奇函數(shù)，又是偶函數(shù).（5）分段函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，0）（0，+），關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 當(dāng)x0時(shí)，-x0，f（-x）=-（-x）2-1=-（x2+1）=-f（x）； 當(dāng)x0時(shí)，-x0，f（-x）=（-x）2+1=x2+1=-（-x2-1）=-f（x） . 綜上所述，在（-，0）（0，+）上總有f（-x）=-f（x），f（x）是奇函數(shù). 深化升華 注意此處空半格(1)根據(jù)函數(shù)奇偶性的定義判斷，其基本步驟為：先看定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，若函數(shù)沒(méi)有標(biāo)明定義域，應(yīng)先找到使函數(shù)有意義的x的集合，因?yàn)樗桥袛嗪瘮?shù)奇偶性的一個(gè)重要依據(jù)，如果一個(gè)函數(shù)的定義域關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)不對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).再看f（-x）與f（x）的關(guān)系.然后得出結(jié)論.(2)定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，滿足f（-x）=-f（x）=f（x）的函數(shù)既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)，如f（x）=0，xr.(3)分段函數(shù)奇偶性判定方法的關(guān)鍵是搞清x與-x的所在范圍，及其對(duì)應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并且函數(shù)在每一個(gè)區(qū)間上的奇偶性都應(yīng)進(jìn)行判斷，而不能以其中一個(gè)區(qū)間來(lái)代替整個(gè)定義域.例2 (2006遼寧高考)設(shè)f（x）是r上的任意函數(shù)，則下列敘述正確的是（ ）a.f(x)f(-x)是奇函數(shù) b.f(x)|f(-x)|是奇函數(shù)c.f(x)-f(-x)是偶函數(shù) d.f(x)+f(-x)是偶函數(shù)思路解析：據(jù)奇偶函數(shù)性質(zhì)，易判定f(x)f(-x)是偶函數(shù)，f(x)-f(-x)是奇函數(shù)，f(x)|f(-x)|的奇偶性取決于f(x)的性質(zhì)，只有f(x)+f(-x)是偶函數(shù).答案：d例3 已知函數(shù)y=f(x)(xr且x0)，對(duì)于任意兩個(gè)非零實(shí)數(shù)x1、x2，恒有f(x1x2)=f(x1)+f(x2)，試判斷函數(shù)f(x)的奇偶性.思路解析：對(duì)抽象函數(shù)奇偶性的判定，因無(wú)具體的解析式，因此需要利用給定的函數(shù)方程式，對(duì)變量x1、x2賦值，將其變成含有f(x)、f(-x)的式子加以判斷.答案：由題意知f(x)的定義域?yàn)?-，0)(0，+)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱. 令x1=x2=1，得f(1)=f(1)+f(1)，即f(1)=0， 令x1=x2=-1，得f(1)=f(-1)+f(-1)，即f(-1)=0， 取x1=-1，x2=x，得f(-x)=f(-1)+f(x)=f(x)，函數(shù)是偶函數(shù). 深化升華 注意此處空半格不管函數(shù)的表達(dá)式多復(fù)雜或有沒(méi)有給出，判斷奇偶性時(shí)都要先考慮函數(shù)的定義域是不是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.對(duì)于未給出函數(shù)解析式的抽象函數(shù)，判斷奇偶性的關(guān)鍵是尋求f（-x）與f（x）的關(guān)系，為此要給x賦以恰當(dāng)?shù)闹祦?lái)完成.例4 若f（x）是定義在r上的奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x（1-x），求當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f（x）的解析式.思路解析：將x0時(shí)f（x）的解析式轉(zhuǎn)化到x0上，這是解決本題的關(guān)鍵.解：由f（x）是奇函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，f（x）=-f（x）=-（-x）1-（-x）=x（1+x）； 當(dāng)x=0時(shí)，f（0）=-f（0），即f（0）=0.當(dāng)x0時(shí)，f（x）=x（1+x）. 深化升華 注意此處空半格判斷分段函數(shù)的奇偶性，對(duì)x在各個(gè)區(qū)間上分別討論，應(yīng)注意由x的取值范圍確定相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后要綜合得出在定義域內(nèi)總有f（-x）=f（x）或f（-x）=-f（x），從而判定其奇偶性.例5 設(shè)f（x）在r上是偶函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上遞增，且有f（2a2+a+1）f（3a2-2a+1），求a的取值范圍.思路解析：要求a的取值范圍，就要布列關(guān)于a的不等式（組），因而利用函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性化“抽象的不等式”為“具體的代數(shù)式”是關(guān)鍵.答案：由f（x）在r上是偶函數(shù)，在區(qū)間（-，0）上遞增知f（x）在（0，+）上遞減.2a2+a+1=2（a+）2+0，3a2-2a+1=3（a-）2+0， 且f（2a2-2a+1）f（3a2-2a+1），2a2+a+13a2-2a+1， 即a2-3a0. 解之得0a3. 深化升華 注意此處空半格該例在求解過(guò)程中，事實(shí)上用到了前面提到的減函數(shù)定義的逆命題，要善于運(yùn)用化歸的思想解決問(wèn)題.例6 （經(jīng)典回放）函數(shù)f（x）=x2+|x-a|+1，xr.（1）討論f（x）的奇偶性；（2）求f（x）的最小值.思路解析：解決此題的關(guān)鍵應(yīng)尋求對(duì)字母a討論的標(biāo)準(zhǔn).討論f（x）的奇偶性，就需要找f（x）、f（-x）的關(guān)系.從而發(fā)現(xiàn)要對(duì)a是否為零展開(kāi)討論.（2）求f（x）的最小值，由絕對(duì)值的定義展開(kāi)對(duì)a的討論，分xa，xa.解：（1）f（x）=x2+|x-a|+1，f（-x）=x2+|x+a|+1.a=0時(shí)，f（x）=f（-x）.此時(shí)f（x）為偶函數(shù).a0時(shí)，f（x）f（-x）且f（x）+f（-x）=2（x2+1）+|x-a|+|x+a|0.f（x）既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù).（2）當(dāng)xa時(shí)，函數(shù)f（x）=x2-x+a+1=（x-）2+a+. 若a，則函數(shù)f（x）在（-，a上單調(diào)遞減，從而函數(shù)f（x）在（-，a上的最小值為f（a）=a2+1； 若a，則函數(shù)f（x）在（-，a上的最小值為f（）=+a，且f（-）f（a）. 當(dāng)xa，函數(shù)f（x）=x2+x-a+1=（x+）2-a+； 若a-，則函數(shù)f（x）在a，+上的最小值為f（-）=-a，且f（-）f（a）. 若a-，則函數(shù)f（x）在a，+）上單調(diào)遞增，從而，函數(shù)f（x）在a，+）上的最小值f（a）=a2+1. 綜上，若a-，則f（x）min=-a. 若-a，則f（x）min=a2+1. 若a，則f（x）min=a+. 深化升華 注意此處空半格分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的重要思想，利用該思想解題過(guò)程中的關(guān)鍵是分類討論的標(biāo)準(zhǔn)和依據(jù).例7 已知f(x)、g(x)均為奇函數(shù)，且f(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+)上有最大值7，則在(-，0)上f(x)的最小值為_(kāi).思路解析：本題根據(jù)已知條件直接去求解是不可取的，因?yàn)閒(x)和g(x)的具體表達(dá)式并沒(méi)有給出，因此充分利用“f(x)、g(x)均為奇函數(shù)”這一條件，構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)來(lái)幫助求解.解：f(x)=af(x)+bg(x)+5在(0，+)上有最大值7，f(x)-5=af(x)+bg(x)在(0，+)上有最大值2. 由于f(x)、g(x)均為奇函數(shù)，所以f(x)-5=af(x)+bg(x)亦為奇函數(shù)，故其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此f(x)-5=af(x)+bg(x)在(-，0)上有最小值-2， 即f(x)=af(x)+bg(x)+5在(-，0)上有最小值3.答案：3 深化升華 注意此處空半格通過(guò)構(gòu)造出一個(gè)輔助函數(shù)，利用兩個(gè)奇函數(shù)的和仍為奇函數(shù)，結(jié)合奇函數(shù)的圖象與性質(zhì)，使問(wèn)題得到巧妙的解決.例8 已知y=f(x)與y=g(x)的圖象如圖: 則f(x)=f(x)g(x)的圖象可能是下圖中的( )思路解析：這是一道函數(shù)圖形題，解題的關(guān)鍵在于從圖形中提煉出數(shù)學(xué)問(wèn)題，并將其轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)條件，再利用該條件解決問(wèn)題.解：由已知圖象可知，