高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))D105對(duì)坐標(biāo)曲面積分.ppt

第五節(jié) 一 有向曲面及曲面元素的投影 二 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 三 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法 四 兩類曲面積分的聯(lián)系 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分 第十章 一 有向曲面及曲面元素的投影 曲面分類 雙側(cè)曲面 單側(cè)曲面 莫比烏斯帶 曲面分上側(cè)和下側(cè) 曲面分內(nèi)側(cè)和外側(cè) 曲面分左側(cè)和右側(cè) 單側(cè)曲面的典型 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 其方向用法向量指向 方向余弦 0為前側(cè) 0為后側(cè) 封閉曲面 0為右側(cè) 0為左側(cè) 0為上側(cè) 0為下側(cè) 外側(cè)內(nèi)側(cè) 設(shè) 為有向曲面 側(cè)的規(guī)定 指定了側(cè)的曲面叫有向曲面 表示 其面元 在xoy面上的投影記為 的面積為 則規(guī)定 類似可規(guī)定 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 二 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的概念與性質(zhì) 1 引例設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的速度場(chǎng)為 求單位時(shí)間流過有向曲面 的流量 分析 若 是面積為S的平面 則流量 法向量 流速為常向量 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 對(duì)一般的有向曲面 用 大化小 常代變 近似和 取極限 對(duì)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的 速度場(chǎng) 進(jìn)行分析可得 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 設(shè) 為光滑的有向曲面 在 上定義了一個(gè) 意分割和在局部面元上任意取點(diǎn) 分 記作 P Q R叫做被積函數(shù) 叫做積分曲面 或第二類曲面積分 下列極限都存在 向量場(chǎng) 若對(duì) 的任 2 定義 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 引例中 流過有向曲面 的流體的流量為 稱為Q在有向曲面 上對(duì)z x的曲面積分 稱為R在有向曲面 上對(duì)x y的曲面積分 稱為P在有向曲面 上對(duì)y z的曲面積分 若記 正側(cè)的單位法向量為 令 則對(duì)坐標(biāo)的曲面積分也常寫成如下向量形式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 3 性質(zhì) 1 若 之間無公共內(nèi)點(diǎn) 則 2 用 表示 的反向曲面 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 三 對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的計(jì)算法 定理 設(shè)光滑曲面 取上側(cè) 是 上的連續(xù)函數(shù) 則 證 取上側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 若 則有 若 則有 前正后負(fù) 右正左負(fù) 說明 如果積分曲面 取下側(cè) 則 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例1 計(jì)算 其中 是以原點(diǎn)為中心 邊長(zhǎng)為a的正立方 體的整個(gè)表面的外側(cè) 解 利用對(duì)稱性 原式 的頂部 取上側(cè) 的底部 取下側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 解 把 分為上下兩部分 思考 下述解法是否正確 例2 計(jì)算曲面積分 其中 為球面 外側(cè)在第一和第八卦限部分 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例3 設(shè)S是球面 的外側(cè) 計(jì)算 解 利用輪換對(duì)稱性 有 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 四 兩類曲面積分的聯(lián)系 曲面的方向用法向量的方向余弦刻畫 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 令 向量形式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例4 位于原點(diǎn)電量為q的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的電場(chǎng)為 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例5 設(shè) 是其外法線與z軸正向 夾成的銳角 計(jì)算 解 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 例6 計(jì)算曲面積分 其中 解 利用兩類曲面積分的聯(lián)系 有 原式 旋轉(zhuǎn)拋物面 介于平面z 0 及z 2之間部分的下側(cè) 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 原式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 內(nèi)容小結(jié) 定義 1 兩類曲面積分及其聯(lián)系 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 性質(zhì) 聯(lián)系 思考 的方向有關(guān) 上述聯(lián)系公式是否矛盾 兩類曲線積分的定義一個(gè)與 的方向無關(guān) 一個(gè)與 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 2 常用計(jì)算公式及方法 面積分 第一類 對(duì)面積 第二類 對(duì)坐標(biāo) 二重積分 1 統(tǒng)一積分變量 代入曲面方程 方程不同時(shí)分片積分 2 積分元素投影 第一類 面積投影 第二類 有向投影 4 確定積分域 把曲面積分域投影到相關(guān)坐標(biāo)面 注 二重積分是第一類曲面積分的特殊情況 轉(zhuǎn)化 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 當(dāng) 時(shí) 上側(cè)取 下側(cè)取 類似可考慮在yoz面及zox面上的二重積分轉(zhuǎn)化公式 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 思考與練習(xí) 1 P167題2 提示 設(shè) 則 取上側(cè)時(shí) 取下側(cè)時(shí) 2 P184題1 3 P167題3 3 機(jī)動(dòng)目錄上頁下頁返回結(jié)束 是平面 在第四卦限部分的上側(cè) 計(jì)算 提示 求出 的法方向余弦 轉(zhuǎn)化成第一類曲面積分 P167題3 3