《極值與最值》PPT課件.ppt

2020 2 9 微積分 多元極值與最值 1 上課 手機關(guān)了嗎 2 一元極值 1 定義 2 必要條件 x0為f x 的極值點 駐點 即 但 極值點駐點 不可導(dǎo)點 極值嫌疑點 注 條件不充分 x0是f x 的極值點且存在 3 充分條件 一 二 4 求單調(diào)區(qū)間及極值步驟 一元最值 1 閉區(qū)間 a b 上連續(xù)函數(shù)的最值 2 連續(xù)函數(shù)f x 在 a b 內(nèi)唯一極值點即為最值點 3 最值實際問題 8 6多元函數(shù)的極值與最值 多元函數(shù)極值 1 定義設(shè)z f x y 在點 x0 y0 某鄰域有定義 若對該鄰域內(nèi)異于 x0 y0 在點 x y 都有f x0 y0 f x y f x0 y0 f x y 則稱f x y 在 x0 y0 處取得極大 極小 值 x0 y0 稱為極大 極小 值點 極大值與極小值統(tǒng)稱為極值 極大值點與極小值點統(tǒng)稱為極值點 極值概念是個局部概念 例 1 z 3x2 4y2 在點 0 0 有極大值 3 z xy 在點 0 0 有極小值 在點 0 0 無極值 2 極值點必要條件 定理1若f x y 在 x0 y0 處存在偏導(dǎo)數(shù)且取得極值 由一元函數(shù)極值存在的必要條件可得 證f x y 在 x0 y0 處取得極值 則f x y0 在x x0處取得極值 類似有 2 駐點未必是極值點 3 偏導(dǎo)數(shù)不存在的點 也可能是極值點 注 1 使偏導(dǎo)數(shù)都為0的點稱為駐點 例 h x y xy在 0 0 點 則 例 在 0 0 點 3 極值點充分條件 定理2若f x y 在 x0 y0 某鄰域內(nèi)有一階 二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù) x0 y0 是f x y 的駐點 記 則 1 B2 AC0極小值 2 B2 AC 0 f x0 y0 不是極值 3 B2 AC 0 無法下結(jié)論 需用定義判別 求極值 點 步驟 1 求駐點及偏導(dǎo)數(shù)不存在的點 極值嫌疑點 2 若無不可導(dǎo)點 可考慮用二階導(dǎo)數(shù)判別 否則用定義 將上述點函數(shù)值與各自鄰域內(nèi)點函數(shù)值比較 解 例1 求函數(shù)f x y x3 y3 3x2 3y2 9x的極值 駐點 3 0 3 2 1 0 1 2 注意配對 3 0 B2 AC 12 6 0 故不是極值點 3 2 B2 AC 12 6 0 A 0 故 函數(shù)有極大值f 3 2 31 1 0 B2 AC 12 60 故 函數(shù)有極小值f 1 0 5 1 2 B2 AC 12 6 0 故不是極值點 2020 2 9 微積分 多元極值與最值 7 例2 討論函數(shù)z x3 y3及z x2 y2 2在點 0 0 是否取得極值 解 顯然 0 0 都是它們的駐點 z x3 y3在 0 0 點鄰域內(nèi)的取值可能為正 負(fù)及零 因此z 0 0 不是極值 并且在 0 0 都有 B2 AC 0 當(dāng)x2 y2 0時 z x2 y2 2 z 0 0 0 2020 2 9 微積分 多元極值與最值 8 二 多元函數(shù)最值 1 定義區(qū)域D上連續(xù)函數(shù)z f x y x0 y0 D 若對任意 x y D f x0 y0 f x y 則稱f x0 y0 為f x y 在D上的最大 小 值 x0 y0 為最大 小 值點 最大值與最小值統(tǒng)稱為最值 最大值點與最小值點統(tǒng)稱為最值點 最值概念是一個整體概念 2 求最值 點 將D內(nèi)駐點 偏導(dǎo)數(shù)不存在的點與邊界上點的函數(shù)值比較 取最大 小 者 特別地 實際問題唯一駐點即為所求最值點 2020 2 9 微積分 多元極值與最值 9 解 例體積為2的長方體箱子 有蓋 如何安排長 寬 高可使用料最省 V 2 3 設(shè)長 寬分別為x y 則高為2 xy 用料A 2 xy y 2 xy x 2 xy 2 xy 2 x 2 y 據(jù)題意 所用材料面積的最小值一定存在 并在開區(qū)域x 0 y 0內(nèi)取得 x0 y0 為唯一駐點 必為最小值點 即當(dāng)長 寬 高均為時 所用材料最省 P293例2 例3 2020 2 9 微積分 多元極值與最值 10 三 條件極值 拉格朗日乘數(shù)法 附有限制條件的極值問題稱為條件極值問題 例求表面積為a2而體積為最大的長方體的體積 解法一 求V xyz x 0 y 0 z 0 在限制條件 下的最大值 由 代入V x y z 轉(zhuǎn)化為求 x 0 y 0 的最大值 有時從限制條件里解出一個變量不易 須另找方法 2020 2 9 11 則問題等價于一元函數(shù)z f x x 的極值問題 故極值點必滿足 如方法一所述 設(shè) x y 0可確定隱函數(shù)y x 記 故有 拉格朗日乘數(shù)法 問題 求函數(shù)z f x y 在條件 x y 0下的極值 極值點必滿足 2020 2 9 微積分 多元極值與最值 12 引入輔助函數(shù) 輔助函數(shù)F稱為拉格朗日 Lagrange 函數(shù) 利用拉格朗日函數(shù)求極值的方法稱為拉格朗日乘數(shù)法 則極值點滿足 注 拉格朗日乘數(shù)法可推廣到多個自變量和多個約束條件的情形 由問題的實際意義知解方程組所得的唯一極值可疑點即為所求條件極值的最值點 2020 2 9 微積分 多元極值與最值 13 解法二 設(shè) 唯一的極值點 也是最大值點 故 表面積為a2的長方體中 以棱長為的正方體的體積最大 最大體積為 P296例5 14 例企業(yè)在兩個相互分割的市場上出售同一產(chǎn)品 兩市場的需求函數(shù)分別是p1 18 2Q1 p2 12 Q2 其中p1和p2分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的價格 單位 萬元 噸 Q1和Q2分別表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售量 即需求量 單位 噸 該企業(yè)生產(chǎn)這種產(chǎn)品的總成本函數(shù)是C 2Q 5 其中Q表示該產(chǎn)品在兩個市場的銷售總量 即Q Q1 Q2 1 如果該企業(yè)實行價格差別策略 試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量和價格 使該企業(yè)獲得最大利潤 2 如果該企業(yè)實行價格無差別策略 試確定兩個市場上該產(chǎn)品的銷售量及其統(tǒng)一的價格 使該企業(yè)的總利潤最大化 并比較兩種價格策略下的總利潤大小 15 解 1 2Q12 Q22 16Q1 10Q2 5 令 解得Q1 4 Q2 5 因駐點 4 5 唯一 且實際問題一定存在最大值 故最大值必在駐點處達(dá)到 所以最大利潤為 L 4 5 2 42 52 16 4 10 5 5 52 萬元 L R C p1Q1 p2Q2 2Q 5 此時p1 10 萬元 噸 p2 7 萬元 噸 16 2 若實行價格無差別策略 則p1 p2 即 有約束條件 令 解得Q1 5 Q2 4 2 最大利潤L 2 52 42 16 5 10 4 5 49 萬元 此時p1 p2 8 萬元 噸 2Q1 Q2 6 構(gòu)造拉格朗日函數(shù)