2 光學諧振腔理論.ppt

2 1光學諧振腔本征模式的概念2 1 1本征模式與自再現(xiàn)變換 第2章諧振腔理論 本征模式是所研究諧振腔中能夠存在的 不隨時間改變的 具有特定的場振幅分布的電磁場 不同的諧振腔有不同的本征模式 相位條件 駐波條件 往返一周其相位的增加為2 的整數(shù)倍 振幅條件 本征模式的場振幅分布不變 往返渡越后仍能再現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)光場分布為自再現(xiàn)模 本征模式在腔內(nèi)往返一周所受到的作用 是自再現(xiàn)變換討論的諧振腔是開腔 幾何理論 是以光學變換矩陣為基礎 討論諧振腔的穩(wěn)定性條件 衍射理論的主要內(nèi)容則是從菲涅耳 基爾霍夫衍射積分公式出發(fā) 建立起諧振腔自再現(xiàn)模所滿足的積分方程 通過求解積分方程討論各類諧振腔的模式特點 2 1 2穩(wěn)定諧振腔本征模式的橫模與縱模 為在腔內(nèi)形成穩(wěn)定的振蕩 要求光波因干涉而得到加強 即光波在腔內(nèi)往返一周的總相移應等于2 的整數(shù)倍 2 1 1 2 1 3 與正整數(shù)q有關(guān)的模式稱為諧振腔的縱模 與正整數(shù)m l有關(guān)的模式稱為諧振腔的橫模 相鄰縱模的頻率間隔為 2 1 6 2 1 5 相鄰橫模的頻率間隔為 2 1 8 球面反射鏡的光學變換矩陣為 2 2諧振腔的特點 對凸面鏡 只要R取負即可 對平面反射鏡 R取 2 2 1諧振腔往返一周的變換矩陣 設光線從M1反射鏡出發(fā) 坐標為 T1 光線在腔內(nèi)往返一周的總的變換矩陣應是 2 2 1 式中Rl R2分別為M1與M2的曲率半徑 如果光線在球面諧振腔內(nèi)往返n次 則它的光學變換短陣就應該是往返矩陣T的n次方 按照矩陣理論n次往返矩陣 n次往返后的光線坐標有 2 2 2 2 2 4 2 2 3 2 2 2光學諧振腔的穩(wěn)定性條件 如果光線在共軸球面諧振腔內(nèi)能夠往返任意次而不橫向逸出腔外 這樣的諧振腔我們就稱為穩(wěn)定諧振腔 簡稱穩(wěn)定腔 否則就稱為非穩(wěn)腔 只要n次往返矩陣Tn的元素An Bn Cn Dn對于任意大的n值均保持為有限大小 就可以認為這樣的諧振腔就是穩(wěn)定腔 一 穩(wěn)定性條件 值為實數(shù) cos 的值隨n的增大只能在 1與 1之間變化 從而使An Bn Cn Dn的數(shù)值以及rn 1與 n 1的數(shù)值隨n的增大也只能發(fā)生振蕩式的變化 只要反射鏡的鏡面橫向尺寸足夠大 就可以保證近軸光線能在腔內(nèi)往返無限多次而不會從側(cè)面橫向逸出 反之 若 值不是實數(shù) 由于有虛部 必然導致An Bn Cn Dn以及rn 1與 n 1的值都隨n增大而增大 這樣一來 傍軸光線在腔內(nèi)往返有限次后便可逸出腔外 由上述分析可知 值為實數(shù)且不等于0或 時 諧振腔為穩(wěn)定腔 值有虛部時 諧振腔為非穩(wěn)腔 等于0或 時 諧振腔是臨界腔 由 的計算公式 2 2 4 不難得出上述結(jié)論的數(shù)學描述 穩(wěn)定腔 2 2 5 非穩(wěn)定腔 臨界腔 為了得到穩(wěn)定性條件的更為簡明的形式 引入諧振腔的下述幾何參數(shù) 2 2 8 共軸球面諧振腔的穩(wěn)定性條件可敘述如下 當 2 2 7 非穩(wěn)定腔 臨界腔 凹面R取正 凸面R取負 穩(wěn)定腔 從上邊的穩(wěn)定性條件推導過程可以看出 往返矩陣T和n次往返矩陣Tn均與光線的初始坐標參數(shù)無關(guān) 但可能與光線的往返行進次序有關(guān) 2 2 1 式給出的A B C D表達式是光線由M1從出發(fā)往返一周而計算出來的 如果令光線由M2出發(fā)往返一周 則T矩陣的各元素具體表達形式將有所不同 但可以證明 對于一定幾何結(jié)構(gòu)的共軸球面腔來說 A十D 則是一個不變量 與光線的往返行進次序無關(guān) 因此 上述討論的共軸球面腔各穩(wěn)定性條件都是普遍適用的 穩(wěn)區(qū)圖 1 平行平面腔 2 半共焦腔 3 半共心腔4 對稱共焦腔5 對稱共心腔 穩(wěn)定區(qū) 陰影區(qū) 其它區(qū)域則為非穩(wěn)區(qū) 無陰影區(qū) 兩區(qū)域的邊界線為臨界線 最后需要說明的是 我們這里所謂的腔的穩(wěn)定性 只是指傍軸光線能否在腔內(nèi)往返無限多次而不橫向逸出 也就是指無源腔內(nèi)傍軸光束的幾何損耗的高低 并不是指有源腔在滿足起振的閾值條件下 諧振腔的工作狀態(tài)是否穩(wěn)定 由于穩(wěn)定腔的幾何損耗小 所以對增益不高的工作物質(zhì)容易起振 而非穩(wěn)腔的幾何損耗大 在中 小功率的激光器中很少采用 但是 對于增益較高的工作物質(zhì) 它仍然可以起振 并且同樣可以穩(wěn)定地工作 一些典型腔 2 2 3光學諧振腔的損耗 平均單程功率損耗 光子壽命 R 品質(zhì)因數(shù)Q1 平均單程損耗指數(shù)因子 光從諧振腔一端傳輸?shù)搅硪欢说钠骄鶈纬虛p耗指數(shù)因子 定義為 2 2 10 2 2 11 吸收和散射反射衍射透射的單程損耗 假設腔內(nèi)其他的所有損耗用平均單程損耗指數(shù)因子a表示 初始強度為I0的光 在腔內(nèi)往返一周經(jīng)兩個鏡面反射后 其強度I1為 因此 當r1 1 r2 1時有 2 2 12 2 2 13 2 腔內(nèi)光子平均壽命 物理意義 光強從初始值I0衰減到I0的1 e所用時間 光在腔內(nèi)往返m次后的光強為 當諧振腔腔長與激光工作物質(zhì)長度不相等時 L 的計算方法為 2 2 15 2 2 14 2 2 16 光強可表示為 V為傳播速度 所以 上式表明 由于損耗的存在 腔內(nèi)光子數(shù)密度將隨時間按指數(shù)函數(shù)衰減 腔內(nèi)N0個光子的平均壽命就等于 R 即 2 2 17 2 2 18 若腔內(nèi)各種損耗所引起的腔壽命分別為 Ri 則腔的總壽命為 3 諧振腔品質(zhì)因素Q定義 如果腔內(nèi)同時存在幾種損耗 每種損耗對應的腔Q值分別為Qi 則總Q值為 2 2 20 2 2 22 為腔內(nèi)儲存的總能量 P為單位時間損耗的能量 2 2 19 4 無源腔本征模帶寬 腔內(nèi)光強隨時間變化 其對應的光場可表示為 經(jīng)付里葉變換 得無源腔本征縱模的頻譜為 求出從最大值I 0 下降一半所對應的兩個頻率之間的間隔 就是本征縱模的線寬 2 2 23 2 2 24 5 菲涅耳數(shù) 定義 1 衍射光在腔內(nèi)的最大往返次數(shù) 往返偏移量為2x 設從鏡面中心開始傳播的光線 往返m次后逸出腔外 則有 2 從一面鏡子的中心看另一面鏡子的菲涅耳半波帶數(shù) 3 單程衍射損耗率的倒數(shù) 2 3諧振腔的衍射理論 本節(jié)首先給出理想開腔的模型 孔闌傳輸線 在此基礎上引入穩(wěn)態(tài)場分布 自再現(xiàn)模的概念 一 孔闌傳輸線 用孔闌傳輸線模擬諧振腔 光場在諧振腔內(nèi)形成穩(wěn)定分布主要是光的衍射作用所致 諧振腔的其它損耗 如光的吸收 散射等只是使得橫截面上各點的場按同樣比例衰減 對場的空間分布不發(fā)生什么影響 如果需要考慮這些損耗時 可在孔闌傳輸線的每一個孔面上加一個衰減濾光片即可 若諧振腔的反射鏡不是平面鏡 而是球面鏡的話 可以在每個孔闌處裝上相應焦距的透鏡 這樣孔闌傳輸線實際上變成透鏡波導 二 自再現(xiàn)模 經(jīng)過足夠多次的往返渡越后 場分布不再受衍射作用的影響 形成一種穩(wěn)定的場分布 這種穩(wěn)態(tài)場經(jīng)一次往返后 唯一可能的變化只是鏡面上各點的場振幅按同樣比例衰減 各點的相位發(fā)生同樣大小的滯后 我們稱這種存在于鏡面處 且往返渡越后仍能再現(xiàn)的穩(wěn)態(tài)光場分布為自再現(xiàn)模 由于自再現(xiàn)模的形成是多次衍射的結(jié)果 故初始場分布u1的形狀在一定意義上是無關(guān)緊要的 不同的初始場分布u1可得到不同的穩(wěn)態(tài)場分布 這說明開腔的橫模模式是多種的 自再現(xiàn)模形成的物理過程 開腔中的任何振蕩都是從某種偶然的自發(fā)輻射開始的 而自發(fā)輻射遵從統(tǒng)計規(guī)律 故而可以提供各種不同的初始場分布 衍射作用在此起到一種 篩子 的作用 它將所有可能存在的各種自再現(xiàn)模篩選出來 從菲涅耳一基爾霍夫衍射積分公式出發(fā) 然后在此公式的基礎上建立自再現(xiàn)模所滿足的積分方程 2 3 1 開腔模的衍射理論一 菲涅耳 基爾霍夫衍射積分公式 2 3 1 圖 二 自再現(xiàn)模積分方程 假設uj x y 為經(jīng)過j次波越后在某一鏡面上所形成的場分布 uj 1 x y 表示光波再渡越一次腔長距離后 到達另一鏡面所形成的光場分布 按照 2 3 1 式 兩者之間應滿足如下的迭代關(guān)系 圖2 3 為使問題簡化 我們將只考慮對稱開腔的情況 按照自再現(xiàn)模的概念 除了一個表示振幅衰減和相位移動的常數(shù)因子以外 uj 1應能夠?qū)j再現(xiàn)出來 兩者之間應有關(guān)系 2 3 1 2 3 3 式中 是一個與坐標無關(guān)的復常數(shù) 去掉式中光場分布函數(shù)的下標j 用u x y 表示穩(wěn)態(tài)場分布函數(shù) 則自再現(xiàn)模積分方程為 便可得到自再現(xiàn)模所滿足的積分方程為 令1 對于一般的激光諧振腔來說 3 6 2 3 5 需要兩個模參數(shù)來區(qū)分這些不同的橫模 2 3 6 三 積分方程解的物理意義 積分方程 2 3 5 的解包括兩個方面 本征函數(shù)u x y 本征值 1 本征函數(shù)一般為復函數(shù) 模代表對稱開腔任一鏡面上的光場振幅分布 幅角則代表鏡面上光場的相位分布 不同橫模的場分布函數(shù)也不一樣 橫模 存在于腔內(nèi)的每一種橫向場分布 用模序數(shù)m和l描述 軸對稱鏡穩(wěn)定球面腔 則m和l分別表示沿鏡面直角坐標系的水平和豎直坐標軸的激光場節(jié)線數(shù) 圓形鏡穩(wěn)定球面腔中 m表示沿角向有m條節(jié)線 l表示沿徑向有l(wèi)條節(jié)線 加上橫模參數(shù)m和l 表明單程衍射功率損耗與橫模式有關(guān) ml 越小 ml就越大 2 本征值 一般也是個復數(shù) 模反映了自再現(xiàn)模在腔內(nèi)單程渡越時所引起的功率損耗 損耗包括衍射損耗和幾何損耗 今后就簡稱它為單程衍射損耗 單程功率損耗 用對稱開腔中的自再現(xiàn)模來表示為 2 3 8 本征值幅角與自再現(xiàn)模腔內(nèi)單程渡越后所引起的總相移有關(guān) 2 3 3 而自再現(xiàn)模在對稱開腔中單程渡越所產(chǎn)生的總相移定義為 由 2 3 3 式 我們可以寫出 另外 自再現(xiàn)模在對稱開腔中的單程總相移一般并不等于由腔長L所決定的幾何相移kL 腔內(nèi)單程渡越時相對于幾何相移的單程附加相移 或簡稱為單程相移 當 0時表示有附加相位超前當 0時表示有附加相位滯后 由前兩式可寫出 這說明本征值的幅角還與單程附加相移有關(guān) 并且不同的橫模單程附加相移也不同 當腔內(nèi)存在激活物質(zhì)時 為了使自再現(xiàn)模在往返傳播過程中能形成穩(wěn)定的振蕩 必須滿足所謂的諧振條件 四激光諧振腔的諧振頻率和激光縱模 1 諧振條件 駐波和激光縱模為在腔內(nèi)形成穩(wěn)定的振蕩 要求光波