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第8章正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)分析 重點 相位差 正弦量的相量表示 復阻抗復導納 相量圖 用相量法分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 正弦交流電路中的功率分析 8 1正弦量的基本概念 一 正弦量 按正弦規(guī)律變化的量 瞬時值表達式 i t Imsin wt y 波形 周期T period 和頻率f frequency 頻率f 每秒重復變化的次數(shù) 周期T 重復變化一次所需的時間 f 1 T 單位 Hz 赫 茲 單位 s 秒 1 幅值 amplitude 振幅 最大值 Im 反映正弦量變化幅度的大小 2 角頻率 angularfrequency w 每秒變化的角度 弧度 反映正弦量變化快慢 二 正弦量的三要素 3 初相位 initialphaseangle y 反映了正弦量的計時起點 wt y 表示正弦量隨時間變化的進程 稱之為相位角 它的大小決定該時刻正弦量的值 當t 0時 相位角 wt y y 故稱y為初相位角 簡稱初相位 它表示了正弦量的起點 2 t 單位 rad s 弧度 秒 i t Imsin wt y 同一個正弦量 計時起點不同 初相位不同 0 2 2 一般規(guī)定 三 同頻率正弦量的相位差 phasedifference 設u t Umsin wt yu i t Imsin wt yi 則相位差即相位角之差 j wt yu wt yi yu yi j 0 u領先 超前 Ij角 或i落后 滯后 uj角 u比i先到達最大值 j 0 i領先 超前 u j 角 或u落后 滯后 i j 角 i比u先到達最大值 恰好等于初相位之差 j 0 同相 j 180o 反相 規(guī)定 y 180 特殊相位關系 p 2 u領先ip 2 不說u落后i3p 2 i落后up 2 不說i領先u3p 2 同樣可比較兩個電壓或兩個電流的相位差 8 2周期性電流 電壓的有效值 周期性電流 電壓的瞬時值隨時間而變 為了衡量其大小工程上采用有效值來表示 電流有效值定義為 瞬時值的平方在一個周期內積分的平均值再取平方根 物理意義 周期性電流i流過電阻R 在一周期T內吸收的電能 等于一直流電流I流過R 在時間T內吸收的電能 則稱電流I為周期性電流i的有效值 有效值也稱均方根值 root meen square 簡記為rms 1 周期電流 電壓有效值 effectivevalue 定義 W2 I2RT 同樣 可定義電壓有效值 2 正弦電流 電壓的有效值 設i t Imsin t 同理 可得正弦電壓有效值與最大值的關系 若一交流電壓有效值為U 220V 則其最大值為Um 311V U 380V Um 537V 工程上說的正弦電壓 電流一般指有效值 如設備銘牌額定值 電網(wǎng)的電壓等級等 但絕緣水平 耐壓值指的是最大值 因此 在考慮電器設備的耐壓水平時應按最大值考慮 測量中 電磁式交流電壓 電流表讀數(shù)均為有效值 注意區(qū)分電壓 電流的瞬時值 最大值 有效值的符號 1 復數(shù)A表示形式 A a jb 8 3正弦量的相量表示 一 復數(shù)及運算 兩種表示法的關系 或 2 復數(shù)運算 則A1 A2 a1 a2 j b1 b2 1 加減運算 直角坐標 若A1 a1 jb1 A2 a2 jb2 加減法可用圖解法 2 乘除運算 極坐標 除法 模相除 角相減 例1 乘法 模相乘 角相加 則 解 例2 3 旋轉因子 復數(shù)ejq cosq jsinq 1 q A ejq相當于A逆時針旋轉一個角度q 而模不變 故把ejq稱為旋轉因子 解 上式 ejp 2 j e jp 2 j ejp 1故 j j 1都可以看成旋轉因子 幾種不同 值時的旋轉因子 兩個正弦量 i1 i2 i3 無論是波形圖逐點相加 或用三角函數(shù)做都很繁 因同頻的正弦量相加仍得到同頻的正弦量 所以 只要確定初相位和有效值 或最大值 就行了 于是想到復數(shù) 復數(shù)向量也包含一個模和一個幅角 因此 我們可以把正弦量與復數(shù)對應起來 以復數(shù)計算來代替正弦量的計算 使計算變得較簡單 角頻率 有效值 初相位 二 正弦量的相量表示 i1 i2 i3 1 正弦量的相量表示 造一個復函數(shù) 沒有物理意義 若對A t 取虛部 是一個正弦量 有物理意義 對于任意一個正弦時間函數(shù)都可以找到唯一的與其對應的復指數(shù)函數(shù) A t 包含了三要素 I w 復常數(shù)包含了I A t 還可以寫成 加一個小圓點是用來和普通的復數(shù)相區(qū)別 強調它與正弦量的聯(lián)系 同時也改用 相量 而不用 向量 是因為它表示的不是一般意義的向量 而是表示一個正弦量 稱為正弦量i t 對應的相量 正弦量的相量表示 相量的模表示正弦量的有效值相量的幅角表示正弦量的初相位 同樣可以建立正弦電壓與相量的對應關系 已知 例1 試用相量表示i u 解 相量圖 相量和復數(shù)一樣可以在平面上用向量表示 例2 試寫出電流的瞬時值表達式 解 我們用向量和一個正弦時間函數(shù)對應看看它的幾何意義 請看演示 ej t為一模為1 幅角為 t的相量 隨t的增加 模不變 而幅角與t成正比 可視其為一旋轉相量 當t從0 T時 相量旋轉一周回到初始位置 t從0 2 2 相量運算 1 同頻率正弦量相加減 故同頻的正弦量相加減運算就變成對應的相量相加減運算 這實際上是一種變換思想 可得其相量關系為 例 同頻正弦量的加 減運算可借助相量圖進行 相量圖在正弦穩(wěn)態(tài)分析中有重要作用 尤其適用于定性分析 首尾相接 2 正弦量的微分 積分運算 微分運算 積分運算 相量微分 相量積分 3 相量法的應用 求解正弦電流電路的穩(wěn)態(tài)解 微分方程的特解 例 一階常系數(shù)線性微分方程 自由分量 齊次方程解 Ae R Lt 強制分量 特解 Imsin wt yi 解 用相量法求 取相量 小結 相量法只適用于激勵為同頻正弦量的非時變線性電路 相量法可以用來求強制分量是正弦量的任意常系數(shù)線性微分方程的特解 即可用來分析正弦穩(wěn)態(tài)電路 8 4電阻 電感和電容元件上電壓和電流的相量關系 一 電阻 時域形式 相量形式 相量模型 有效值關系 UR RI 相位關系 u i u i同相 相量關系 瞬時功率 波形圖及相量圖 瞬時功率以2 交變 但始終大于零 表明電阻始終是吸收 消耗 功率 二 電感 時域形式 相量形式 相量模型 相量關系 1 相量關系 感抗的物理意義 1 表示限制電流的能力 U XLI LI 2 fLI 2 感抗和頻率成正比 相量表達式 XL L 2 fL 稱為感抗 單位為 歐姆 BL 1 L 1 2 fL 感納 單位為S 同電導 2 感抗和感納 功率 波形圖 瞬時功率以2 交變 有正有負 一周期內剛好互相抵消 三 電容 時域形式 相量形式 相量模型 有效值關系 IC wCU 相位關系 i u 90 i超前u90 相量關系 令XC 1 wC 稱為容抗 單位為W 歐姆 BC wC 稱為容納 單位為S 頻率和容抗成反比 w 0 XC 直流開路 隔直 w XC 0高頻短路 旁路作用 功率 波形圖 容抗與容納 瞬時功率以2 交變 有正有負 一周期內剛好互相抵消 相量表達式 8 5復阻抗 復導納及其等效變換 1 復阻抗與復導納 正弦激勵下 單位 阻抗模 阻抗角 復導納Y 對同一二端網(wǎng)絡 2 R L C元件的阻抗和導納 1 R 2 L 3 C 單位 S 3 RLC串聯(lián)電路 用相量法分析R L C串聯(lián)電路的阻抗 由KVL 其相量關系也成立 Z 復阻抗 R 電阻 阻抗的實部 X 電抗 阻抗的虛部 Z 復阻抗的模 阻抗角 關系 或 具體分析一下R L C串聯(lián)電路 Z R j wL 1 wC Z j wL 1 wC X 0 j 0 電路為感性 電壓領先電流 wL 1 wC X 0 j 0 電路為容性 電壓落后電流 wL 1 wC X 0 j 0 電路為電阻性 電壓與電流同相 畫相量圖 選電流為參考向量 wL 1 wC 三角形UR UX U稱為電壓三角形 它和阻抗三角形相似 即 例 已知 R 15 L 0 3mH C 0 2 F 求i uR uL uC 解 其相量模型為 則 UL 8 42 U 5 分電壓大于總電壓 相量圖 4 RLC并聯(lián)電路 由KCL Y 復導納 G 電導 導納的實部 B 電納 導納的虛部 Y 復導納的模 導納角 關系 或 Y G j wC 1 wL Y j wC 1 wL B 0 j 0 電路為容性 i領先u wC 1 wL B 0 j 0 電路為感性 i落后u wC 1 wL B 0 j 0 電路為電阻性 i與u同相 畫相量圖 選電壓為參考向量 wC 1 wL 0 RLC并聯(lián)電路同樣會出現(xiàn)分電流大于總電流的現(xiàn)象 5 復阻抗和復導納的等效互換 一般情況G 1 RB 1 X 若Z為感性 X 0 則B 0 即仍為感性 同樣 若由Y變?yōu)閆 則有 8 6基爾霍夫定律的相量形式和電路的相量模型 1 基爾霍夫定律的相量形式 同頻率的正弦量加減可以用對應的相量形式來進行計算 因此 在正弦電流電路中 KCL和KVL可用相應的相量形式表示 上式表明 流入某一節(jié)點的所有正弦電流用相量表示時仍滿足KCL 而任一回路所有支路正弦電壓用相量表示時仍滿足KVL 2 電路的相量模型 phasormodel 時域列寫微分方程 相量形式代數(shù)方程 時域電路 相量模型 相量模型 電壓 電流用相量 元件用復數(shù)阻抗或導納 3 相量圖 1 同頻率的正弦量才能表示在同一個向量圖中 2 反時針旋轉角速度 3 選定一個參考相量 設初相位為零 例 上例中選 R為參考相量 用途 利用比例尺定量計算 定性分析 小結 1 求正弦穩(wěn)態(tài)解是求微分方程的特解 應用相量法將該問題轉化為求解復數(shù)代數(shù)方程問題 2 引入電路的相量模型 不必列寫時域微分方程 而直接列寫相量形式的代數(shù)方程 3 引入阻抗以后 可將所有網(wǎng)絡定理和方法都應用于交流 直流 f 0 是一個特例 8 7用相量法分析電路的正弦穩(wěn)態(tài)響應 電阻電路與正弦電流電路相量法分析比較 可見 二者依據(jù)的電路定律是相似的 只要作出正弦電流電路的相量模型 便可將電阻電路的分析方法推廣應用于正弦穩(wěn)態(tài)的相量分析中 例1 已知Z1 10 j6 28 Z2 20 j31 9 Z3 15 j15 7 求Zab 同直流電路相似 阻抗串并聯(lián)的計算 解 畫出電路的相量模型 瞬時值表達式為 解畢 列寫電路的回路電流方程和節(jié)點電壓方程 例3 解 回路法 節(jié)點法 法一 電源變換 解 例4 法二 戴維南等效變換 例5 用疊加定理計算電流 求開路電壓 求等效電阻 解 已知平衡電橋Z1 R1 Z2 R2 Z3 R3 jwL3 求 Zx Rx jwLx 由平衡條件 Z1Z3 Z2Zx得 R1 R3 jwL3 R2 Rx jwLx Rx R1R3 R2 Lx L3R1 R2 例6 解 已知 Z 10 j50W Z1 400 j1000W 例7 解 已知 U 115V U1 55 4V U2 80V R1 32W f 50Hz求 線圈的電阻R2和電感L2 畫相量圖進行定性分析 例8 解 用相量圖分析 例9 移相橋電路 當R2由0 時 解 當R2 0 q 180 當R2 q 0 8 8正弦電流電路中的功率 無源一端口網(wǎng)絡吸收的功率 u i關聯(lián) 1 瞬時功率 instantaneouspower 第一種分解方法 第二種分解方法 第一種分解方法 第二種分解方法 p有時為正 有時為負 p 0 電路吸收功率 p 0 電路發(fā)出功率 UIcos 1 cos2 t 為不可逆分量 UIsin sin2 t為可逆分量 瞬時功率實用意義不大 一般討論所說的功率指一個周期平均值 2 平均功率 averagepower P u i 功率因數(shù)角 對無源網(wǎng)絡 為其等效阻抗的阻抗角 cos 功率因數(shù) P的單位 W 瓦 一般地 有0 cosj 1 X 0 j 0 感性 滯后功率因數(shù) X 0 j 0 容性 超前功率因數(shù) 例 cosj 0 5 滯后 則j 60o 電壓領先電流60o 平均功率實際上是電阻消耗的功率 亦稱為有功功率 表示電路實際消耗的功率 它不僅與電壓電流有效值有關 而且與cosj有關 這是交流和直流的很大區(qū)別 主要由于電壓 電流存在相位差 4 視在功率 表觀功率 S 反映電氣設備的容量 3 無功功率 reactivepower Q 表示交換功率的最大值 單位 var 乏 Q 0 表示網(wǎng)絡吸收無功功率 Q 0 表示網(wǎng)絡發(fā)出無功功率 Q的大小反映網(wǎng)絡與外電路交換功率的大小 是由儲能元件L C的性質決定的 5 R L C元件的有功功率和無功功率 PR UIcos UIcos0 UI I2R U2 RQR UIsin UIsin0 0 對電阻 u i同相 故Q 0 即電阻只吸收 消耗 功率 不發(fā)出功率 PL UIcos UIcos90 0QL UIsin UIsin90 UI 對電感 u領先i90 故PL 0 即電感不消耗功率 由于QL 0 故電感吸收無功功率 PC UIcos Uicos 90 0QC UIsin UIsin 90 UI 對電容 i領先u90 故PC 0 即電容不消耗功率 由于QC 0 故電容發(fā)出無功功率 6 電感 電容的無功補償作用 當L發(fā)出功率時 C剛好吸收功率 則與外電路交換功率為pL pC 因此 L C的無功具有互相補償?shù)淖饔?7 交流電路功率的測量 單相功率表原理 電流線圈中通電流i1 i 電壓線圈串一大電阻R R L 后 加上電壓u 則電壓線圈中的電流近似為i2 u R2 指針偏轉角度 由M確定 與P成正比 由偏轉角 校準后 即可測量平均功率P 使用功率表應注意 1 同名端 在負載u i關聯(lián)方向下 電流i從電流線圈 號端流入 電壓u正端接電壓線圈 號端 此時P表示負載吸收的功率 2 量程 P的量程 U的量程 I的量程 cos 表的 測量時 P U I均不能超量程 已知 電動機PD 1000W U 220V f 50Hz C 30 F 求負載電路的功率因數(shù) 例 解 例 三表法測線圈參數(shù) 已知f 50Hz 且測得U 50V I 1A P 3W 解 8 9復功率 1 復功率 有功 無功 視在功率的關系 有功功率 P UIcosj單位 W 無功功率 P UIsinj單位 var 視在功率 S UI單位 VA 功率三角形 阻抗三角形 電壓三角形 電壓 電流的有功分量和無功分量 以感性負載為例 根據(jù)定義 發(fā)出無功 電抗元件吸收無功 在平均意義上不做功 反映了電源和負載之間交換能量的速率 無功的物理意義 復功率守恒定理 在正弦穩(wěn)態(tài)下 任一電路的所有支路吸收的復功率之和為零 即 此結論可用特勒根定理證明 一般情況下 已知如圖 求各支路的復功率 例 解一 解二 2 功率因數(shù)提高 設備容量S 額定 向負載送多少有功要由負載的阻抗角決定 P Scosj cosj 1 P S 75kW cosj 0 7 P 0 7S 52 5kW 一般用戶 異步電機空載cosj 0 2 0 3滿載cosj 0 7 0 85 日光燈cosj 0 45 0 6 1 設備不能充分利用 電流到了額定值 但功率容量還有 2 當輸出相同的有功功率時 線路上電流大I P Ucosj 線路壓降損耗大 功率因數(shù)低帶來的問題 解決辦法 并聯(lián)電容 提高功率因數(shù) 改進自身設備 分析 補償容量的確定 綜合考慮 提高到適當值為宜 0 9左右 功率因數(shù)提高后 線路上電流減少 就可以帶更多的負載 充分利用設備的能力 再從功率這個角度來看 并聯(lián)C后 電