高中數(shù)學 （1.1.3 解三角形的進一步討論）示范教案 新人教A版必修5.doc

1.1.3解三角形的進一步討論從容說課本節(jié)課中，應先通過分析典型例題，幫助學生理解并掌握正弦定理和余弦定理；應指出正弦定理和余弦定理是相通的，凡是能用正弦定理解的三角形，用余弦定理也可以解，反之亦然但解題的時候，應有最佳選擇教學過程中，我們應指導學生對利用正弦定理和余弦定理解斜三角形的問題進行歸類，列表如下：解斜三角形時可用的定理和公式適用類型備注余弦定理a2=b2+c2-2bccosab2=a2+c2-2accosbc2=b2+a2-2bacosc（1）已知三邊（2）已知兩邊及其夾角類型（1）（2）有解時只有一解正弦定理（3）已知兩角和一邊（4）已知兩邊及其中一邊的對角類型（3）在有解時只有一解，類型（4）可有兩解、一解或無解三角形面積公式（5）已知兩邊及其夾角同時應指出，在解斜三角形問題時，經(jīng)常要利用正弦、余弦定理實施邊角轉(zhuǎn)換，轉(zhuǎn)化的主要途徑有兩條：（1）化邊為角，然后通過三角變換找出角與角之間的關系，進而解決問題；（2）化角為邊，將三角問題轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題加以解決一般地，當已知三角形三邊或三邊數(shù)量關系時，常用余弦定理；若既有角的條件，又有邊的條件，通常利用正弦定理或余弦定理，將邊化為角的關系，利用三角函數(shù)公式求解較為簡便總之，關鍵在于靈活運用定理及公式教學重點1.在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用教學難點1.利用正、余弦定理進行邊角互換時的轉(zhuǎn)化方向;2.三角恒等式證明中結(jié)論與條件之間的內(nèi)在聯(lián)系的尋求；3.正、余弦定理與三角形的有關性質(zhì)的綜合運用教具準備 投影儀、幻燈片第一張:課題引入圖片(記作113a)正弦定理:；余弦定理:a2=b2+c2-2bccosa,b2=c2+a2-2cacosb,c2=a2+b2-2abcosc，, ,.第二張:例3、例4(記作113b) 例3已知abc, bd為角b的平分線,求證: abbcaddc. 例4在abc中,求證:a2sin2b+b2sin2a=2absinc.第三張:例5(記作113c) 例5在abc中,bcosa=acosb,試判斷三角形的形狀.三維目標一、知識與技能1.掌握在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；2.三角形各種形狀的判定方法；3.三角形面積定理的應用二、過程與方法通過引導學生分析，解答三個典型例子，使學生學會綜合運用正、余弦定理，三角函數(shù)公式及三角形有關性質(zhì)求解三角形問題三、情感態(tài)度與價值觀通過正、余弦定理，在解三角形問題時溝通了三角形的有關性質(zhì)和三角函數(shù)的關系，反映了事物之間的必然聯(lián)系及一定條件下相互轉(zhuǎn)化的可能，從而從本質(zhì)上反映了事物之間的內(nèi)在聯(lián)系教學過程導入新課師 前面兩節(jié)課,我們一起學習了正弦定理、余弦定理的內(nèi)容,并且接觸了利用正、余弦定理解三角形的有關題型.下面,我們先來回顧一下正、余弦定理的內(nèi)容 (給出幻燈片1.1.3a).從幻燈片大體可以看出,正弦定理、余弦定理實質(zhì)上反映了三角形內(nèi)的邊角關系,運用定理可以進行邊與角之間的轉(zhuǎn)換,這一節(jié),我們將通過例題分析來學習正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能在判斷三角形形狀和證明三角恒等式時的應用.推進新課思考：在abc中，已知a=22cm，b=25cm,a=133，解三角形（由學生閱讀課本第9頁解答過程）從此題的分析我們發(fā)現(xiàn)，在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，在某些條件下會出現(xiàn)無解的情形下面進一步來研究這種情形下解三角形的問題【例1】在abc中，已知a,b,a，討論三角形解的情況.師 分析：先由可進一步求出b；則c =180-(a+b),從而.一般地，已知兩邊和其中一邊的對角解三角形，有兩解、一解、無解三種情況1.當a為鈍角或直角時，必須ab才能有且只有一解；否則無解2.當a為銳角時，如果ab，那么只有一解；如果ab，那么可以分下面三種情況來討論：（1）若absina，則有兩解；（2）若a=bsina，則只有一解；（3）若absina，則無解（以上解答過程詳見課本第9到第10頁）師 注意在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，只有當a為銳角且bsinaab時，有兩解；其他情況時則只有一解或無解（1）a為直角或鈍角（2）a為銳角【例2】在abc中，已知a =7,b=5,c =3，判斷abc的類型分析：由余弦定理可知a2=b2+c2a是直角abc是直角三角形，a2b2+c2a是鈍角abc是鈍角三角形，a2b2+ca是銳角/abc是銳角三角形。（注意：a是銳角/ abc是銳角三角形 ）解：7252+32,即a2b2+c2，abc是鈍角三角形 教師精講1利用正弦定理和三角形內(nèi)角和定理，可以解決以下兩類解斜三角形問題已知兩角和任一邊，求其他兩邊和一角已知兩邊和其中一邊的對角，求另一邊的對角（從而進一步求出其他的邊和角）2正弦定理，可以用來判斷三角形的形狀，其主要功能是實現(xiàn)三角形中邊角關系轉(zhuǎn)化例如：在判斷三角形形狀時，經(jīng)常把a、b、c分別用2rsina、2rsinb、2rsinc來代替3.余弦定理的主要作用一是解三角形，二是判斷三角形的形狀，它的主要功能是實現(xiàn)邊角之間的轉(zhuǎn)化（1）已知三邊，求三個角（2）已知兩邊和夾角，求第三邊和其他兩角4用方程的思想理解和運用余弦定理，當?shù)仁絘2=b2+c2-2bccosa中含有未知數(shù)時，這便成為方程，式中有四個量，知道三個，便可以解出另一個，運用此式可以求a或b或c或cosa師 下面,我們來看幻燈片上的例題.(給出幻燈片1.1.3b)例題剖析【例3】分析：前面接觸的解三角形問題是在一個三角形內(nèi)研究問題,而角b的平分線bd將abc分成了兩個三角形：abd與cbd,故要證結(jié)論成立,可證明它的等價形式: abbcaddc,從而把問題轉(zhuǎn)化到兩個三角形內(nèi),而在三角形內(nèi)邊的比等于所對角的正弦值的比,故可利用正弦定理將所證繼續(xù)轉(zhuǎn)化為,再根據(jù)相等角正弦值相等,互補角正弦值也相等即可證明結(jié)論.證明:在abd內(nèi),利用正弦定理得,即,在bcd內(nèi),利用正弦定理得,即,bd是角b的平分線,abd=dbcsinabd=sindbc.adb+bdc=180,sinadb=sin(180-bdc)=sinbdc.評述:此題可以啟發(fā)學生利用正弦定理將邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系,并且注意互補角的正弦值相等這一特殊關系式的應用.例題剖析【例4】分析:此題所證結(jié)論包含關于abc的邊角關系,證明時可以考慮兩種途徑:一是把角的關系通過正弦定理轉(zhuǎn)化為邊的關系,若是余弦形式則通過余弦定理;二是把邊的關系轉(zhuǎn)化為角的關系,一般是通過正弦定理.另外,此題要求學生熟悉相關的三角函數(shù)的有關公式,如sin2b=2sinbcosb等,以便在化為角的關系時進行三角函數(shù)式的恒等變形.證明一: (化為三角函數(shù))a2sin2b+b2sin2a=(2rsina)22sinbcosb+(2rsinb)22sinacosa=8r2sinasinb(sinacosb+cosasinb)=8r2sinasinbsinc =22rsina2rsinbsinc=2absinc.所以原式得證.證明二: (化為邊的等式)左邊=a22sinbcosb+b22sinacosa= = 教師精講由邊向角轉(zhuǎn)化,通常利用正弦定理的變形式:a=2rsina,b=2rsinb,c=2rsinc,在轉(zhuǎn)化為角的關系式后,要注意三角函數(shù)公式的運用,在此題用到了正弦二倍角公式sin2a=2sinacosa,正弦兩角和公式sin(a+b)=sinacosb+cosasinb;由角向邊轉(zhuǎn)化,要結(jié)合正弦定理變形式以及余弦定理形式二.三角形的有關證明問題,主要圍繞三角形的邊和角的三角函數(shù)展開,從某種意義上來看,這類問題就是有了目標的含邊和角的式子的化簡問題.【例5】分析:三角形形狀的判斷,可以根據(jù)角的關系,也可根據(jù)邊的關系,所以在已知條件的運用上,可以考慮兩種途徑,將邊轉(zhuǎn)化為角,將角轉(zhuǎn)化為邊,下面,我們從這兩個角度進行分析. 解法一:利用余弦定理將角化為邊.bcosa=acosb,.b2+c2-a2=a2+c2-b2.a2=b2.a=b.故此三角形是等腰三角形.解法二:利用正弦定理將邊轉(zhuǎn)化為角.bcosa=acosb,又b=2rsinb，a=2rsina,2rsinbcosa=2rsinacosb.sinacosb-cosasinb=0.sin(a-b)=0.0a,b,-a-b.a-b=0,即a=b.故此三角形是等腰三角形.評述: (1)在判定三角形形狀時,一般考慮兩個方向進行變形,一個方向是邊,走代數(shù)變形之路,通常是正、余弦定理結(jié)合使用;另一方向是角,走三角變形之路,通常是運用正弦定理.要求學生要注重邊角轉(zhuǎn)化的橋梁正、余弦定理.(2)解法二中用到了三角函數(shù)中兩角差的正弦公式,但應注意在根據(jù)三角函數(shù)值求角時,一定要先確定角的范圍.另外,也可運用同角三角函數(shù)的商數(shù)關系,在等式sinbcosa=sinacosb兩端同除以sinasinb,得cota=cotb,再由0a,b,而得a=b.課堂小結(jié)通過本節(jié)學習,我們熟悉了正、余弦定理在進行邊角關系轉(zhuǎn)換時的橋梁作用,并利用正、余弦定理對三角恒等式進行證明以及對三角形形狀進行判斷,其中,要求大家重點體會正、余弦定理的邊角轉(zhuǎn)換功能.（1）在已知三角形的兩邊及其中一邊的對角解三角形時，有兩解或一解或無解等情形；（2）三角形形狀的判定方法.布置作業(yè)1.在abc中,已知,求證: a2、b2、c2成等差數(shù)列.證明: 由已知得sin(b+c)sin(b-c)=sin(a+b)sin(a-b),cos2b-cos2c=cos2a-cos2b,2cos2b=coos2a+cos2c,2=2sin2b=sin2a+sin2c.由正弦定理,可得2b2=a2+c2,即a2、b2、c2成等差數(shù)列.2.在abc中,a=30,cosb=2si