兩端為任意橢圓的盤旋面展開CAD.pdf

1998年 第 4期 工程 圖學(xué)學(xué)報 OFE N G I N E E R ING GRA PHICS 1998 N 0 4 兩端為任意橢圓的盤旋面展開C AD 天津大學(xué) 謝有才杜玉明 天津經(jīng)濟技術(shù)開發(fā)區(qū) 謝瑞男 摘要本文提出用切平面遙近法構(gòu)造兩端 為任意橢 國的盤旋面 介紹 了這種曲 面展開的計算原理和繪制方法 進而提供了利用該方法設(shè)計的繪圖程序所繪制的展開 圖例 關(guān)鍵詞盤旋面 橢園 展開 遙進法 0 引言 動平 面運動 時 始終與處于不 同平面內(nèi)的兩橢圓相切 則兩橢圓上相應(yīng)切 點的連線即組成 一盤旋面 切點連線為其素線 盤旋面是可展曲面 生產(chǎn)實際中應(yīng)用很廣泛 如各種變形接頭 容器 機器罩殼等都可 以全部或部分設(shè)計成盤旋面 本文通過對這種曲面的分析 設(shè)計了一種 可用計算機繪制其展開 圖的方法 1 盤旋面的參數(shù) 近似盤旋面的建立 圖 近似盤旋面的構(gòu)成 第 4 期 謝有才等 兩端為任意橢 國的盤旋面展開CAD 才才才 攫攫攫淤 淤 一一井渺導(dǎo)導(dǎo) 如圖 1 所示 盤旋面底橢圓O和頂橢圓0 1分別位于平面P 和Q上 兩平面 的夾角為 交線為J K 分別 以 o 為原點建立直角坐標(biāo)系 一 xyz o 一x Ylz 其中 一 x Y O 一XIY 坐標(biāo) 面分別在P Q平面內(nèi) 且OY 0 1Yl軸平行于J K 圖2中畫出了它 們的投影圖 圖的右邊是將頂橢圓0 1連同坐標(biāo)系 一x Y z 繞J K 旋轉(zhuǎn)至水平并向右平 移后 的水平投影 反映橢圓0 1的實形 投影圖中的坐標(biāo)系如圖中所示 設(shè)橢圓O的長半軸長 度為 a 與o x 軸的夾角為p 短半軸長度為b 設(shè)橢圓0 1的長 半軸 長度為c 與ox軸 即 與 0 1xl軸 的夾角為Y 短半軸長度為d 橢 圓0 1的中心在坐標(biāo)系 一x Yz 中的坐標(biāo)為 g 9 2 h 以上參數(shù)確定唯一的盤旋面 1 2 盤旋面的近似構(gòu)成法 盤旋面可用以下方法近似構(gòu)成 如圖 所示 過橢圓 上任一點M 作切線交JK于E 過E o作橢圓01的切線 切點為N 這樣形成盤旋面的一個切平面MoE oN 線段M oN 為盤 旋面的一條素線 按 以上方法 過橢圓 上點M M2 作盤旋面的切平 面M EIN MZ 工程圖學(xué)學(xué)才民19 98年 EZNZ 將 相鄰兩 切平面的交線11 1 nnl 作為盤旋面 的素線 代替 原素線M oN MIN I 組成近似盤旋面 這實際上是 以盤旋面的外切 四邊形1 1 H ln n H 1 1 111 1 1 代替原盤旋面 四邊形的數(shù)量越多越接近盤旋面 將這些四邊形依次展開 即是盤旋面的展開 圖 2 盤旋面解析分析 上述近似盤旋面的底 部和頂部 都是折線 或封閉多邊 形 將折線轉(zhuǎn)折 點在坐標(biāo)系 xyz 中 的坐標(biāo)計算出來 即可 求組成近似盤旋面的各四邊 形的實形 2 1 求底部折線轉(zhuǎn)折點坐標(biāo) 在圖2中 按橢圓長短軸方 向新設(shè)坐標(biāo)系 一 xZ yZ 卜x 3y3 設(shè)切點m m l m 2 對應(yīng)的 e 角為 e el 02 一 令橢圓 在m 點的切線為魚些旦 其他點切線也同樣 方法 名 在坐標(biāo)系 一 xZyZ 中 切線m 的方程為 x eo s氏 y sin 民 一 二 l 切線m l的方程為 x cos民 y sin 以 二一 l 由以上兩式解得切線m m l 的交點1的坐標(biāo) x21 y 2 2 即 xZ I二 a sin 氏 一sin 0 0 sin 只一 sin 0 0 b e o s0 0一e os 只 sin 只一sin 0 0 經(jīng)坐標(biāo)變 換得點1對應(yīng)的空 間點I在O一XY Z中的坐標(biāo)為 X 藝 x Z c os 刀一夕 2 sin 刀 xZ sin 刀 y Z c o s 刀 Z 二0 同樣方法可得到其他切線交點n m 在O 一 X Y Z 中的坐標(biāo) 2 2 求頂部折線轉(zhuǎn)折點的坐標(biāo) 底部橢圓 上切點的投影m m l mz 在頂部橢圓o上對應(yīng)切點投影為 n n l n Z 一 如圖2 右 所示 在坐標(biāo)系 一 x y 中 P Q平面交線jk的方程為 x f二g hetg a 切線m 的方程 式為 竺竺蘭竺之業(yè)些竺墊 經(jīng)些望士 之三 絲絲墊 l 1 a b 由以上兩式得j k 與切線m 的交點e 的y坐標(biāo)為 第4期謝有才等 兩端為任意橢圓的盤旋面展開CAD a 加 Q sin隴i成一beo 弟e o編 f bsin氏 編 a eo 載i成 在坐標(biāo)系 0 1一x3 y3中 點 e 的坐標(biāo)為 X3 Ly 3 x c o sy y sln y 一x l slny y c o s廠 設(shè)過 e 點的切線 n 的方程為 y3 二 k匆x s Po 由切線 n 與橢 圓 相切得 2 k 3 o 一 x3 3 士在 訣不忍滅萬 3 22 C一X3 圖3近似盤旋面展開 上式表明過 e 點與 橢圓 0 1相切的線n 有兩條 見圖2右 實際應(yīng)取其 中一條 也就 是要確定k 3 0 的一個值 為此 求出切線 n 在坐標(biāo)系 1一x1 y l中的斜率 k 3 t g y l一k3 ot g y 在圖2中 切線m 與 y 軸相交于 s 點 將 x O代入 1 式 即得到s點的y坐標(biāo) y 由圖2看出 當(dāng) y 為正時 切線m 對應(yīng) 的切線n 兩條 中應(yīng)取斜率k 較小的那 一條 反之 當(dāng) y 為負(fù)時 應(yīng)取 k 值較大者 k 確定后 所對應(yīng)的k 3 0 即確定下來 將 k3 0代入 2 式求出 p 這樣切線 n 在 1一x3 y 3中的方程可 確定 即 2 式 同樣方法可確定切線m l對應(yīng)的切 線 n 的方程 y3 k引 x3 P 4 由 2 4 式求出切線 n 和 n 的交點1 1 x31 y 3 的坐標(biāo) P一Po k扣 一 k 3 k o P一k3 一Po k o 一k 1 由坐標(biāo)變換得點 對應(yīng)的空間點I 見圖1 在坐標(biāo)o 一 XY Z 中的坐標(biāo)為 x 3姚1 一 日1 L T 一一 凡 兒1 1 1 1 e s e s J 9 1 g Z h COSaCOS尹 sin 尹 一 Slnac o s尹 一 c o sasln尹 C O S尸 slnaSln 尸 r e e e s s e e e e e e ee s s ee eL 一一 一l s e 勝 e e e e e eJ 戈 不乙 廣l e s w ee e e e e s e s s e L 同樣可求出點n l n ll 在坐標(biāo)系O一X Yz中的坐標(biāo) 3 盤旋面展開圖 的計算及繪圖 求出頂部和底部折線各頂點在坐標(biāo)系小x y z 中的坐標(biāo)后 就可 由解析幾何公式依次求出 第4期謝有才等 兩端為任意橢圓的盤旋面展開CAD a 加 Q sin隴i成一beo 弟e o編 f bsin氏 編 a eo 載i成 在坐標(biāo)系 0 1一x3 y3中 點 e 的坐標(biāo)為 X3 Ly 3 x c o sy y sln y 一x l slny y c o s廠 設(shè)過 e 點的切線 n 的方程為 y3 二 k匆x s Po 由切線 n 與橢 圓 相切得 2 k 3 o 一 x3 3 士在 訣不忍滅萬 3 22 C一X3 圖3近似盤旋面展開 上式表明過 e 點與 橢圓 0 1相切的線n 有兩條 見圖2右 實際應(yīng)取其 中一條 也就 是要確定k 3 0 的一個值 為此 求出切線 n 在坐標(biāo)系 1一x1 y l中的斜率 k 3 t g y l一k3 ot g y 在圖2中 切線m 與 y 軸相交于 s 點 將 x O代入 1 式 即得到s點的y坐標(biāo) y 由圖2看出 當(dāng) y 為正時 切線m 對應(yīng) 的切線n 兩條 中應(yīng)取斜率k 較小的那 一條 反之 當(dāng) y 為負(fù)時 應(yīng)取 k 值較大者 k 確定后 所對應(yīng)的k 3 0 即確定下來 將 k3 0代入 2 式求出 p 這樣切線 n 在 1一x3 y 3中的方程可 確定 即 2 式 同樣方法可確定切線m l對應(yīng)的切 線 n 的方程 y3 k引 x3 P 4 由 2 4 式求出切線 n 和 n 的交點1 1 x31 y 3 的坐標(biāo) P一Po k扣 一 k 3 k o P一k3 一Po k o 一k 1 由坐標(biāo)變換得點 對應(yīng)的空間點I 見圖1 在坐標(biāo)o 一 XY Z 中的坐標(biāo)為 x 3姚1 一 日1 L T 一一 凡 兒1 1 1 1 e s e s J 9 1 g Z h COSaCOS尹 sin 尹 一 Slnac o s尹 一 c o sasln尹 C O S尸 slnaSln 尸 r e e e s s e e e e e e ee s s ee eL 一一 一l s e 勝 e e e e e eJ 戈 不乙 廣l e s w ee e e e e s e s s e L 同樣可求出點n l n ll 在坐標(biāo)系O一X Yz中的坐標(biāo) 3 盤旋面展開圖 的計算及繪圖 求出頂部和底部折線各頂點在坐標(biāo)系小x y z 中的坐標(biāo)后 就可 由解析幾何公式依次求出 第4期謝有才等 兩端為任意橢國的盤旋面展開CAD 4 舉例 圖4是利用所編程序用計算機繪制的展開圖 各圖左方為投影圖 各展開圖的參數(shù)如 下 a a 4 5 a二2 0 b二15 p 10 二1 5 d 10 Y二150 9 1二20 9 2二一 5 h二30 毋 二 一1 0 0 尹m 二2 8 0 0 n 6 0 b Q二4 5 0 a 20 b二15 p 二0 0 e二15 d 10 丫二9 0 0 9 1二20 9 2 二0 h二3 0 尹 二0 0 尹m 二36 0 n二60 5 結(jié)論 兩端為橢圓的非圓柱 圓錐曲面 例如過渡接頭 的展開一般采用分割三角形的近似 展開法 這種方法分割時缺乏規(guī)律性 不便于計算機繪圖 且制件彎折困難 外形不光順 利用本文提供的方法可以避免這些缺點 且速度快 精度高 圓 直線 點可以認(rèn)為是橢圓的特殊形式 因此本文研究的方法也適用于各種圓錐面 橢圓錐面 圓柱面 橢圓柱面及其組合曲面的展開 可以說是這些曲面展開問題的總的解 決 所編程序?qū)@些曲面都通用 參 考文獻 山東工學(xué)院制圖教研室 曲面制圖 濟南 山東科技出版社 197 9 2 汪保華 計算畫法幾何 北京 國防工業(yè) 出版社 1 990 3 H J 巴茨 數(shù)學(xué)公式手冊 北京 科學(xué)出版社 19 8 7 CA DONTHEDE VE LOPMEN TOF TOR SES丫 VHICHT 丫 VOEN DS A R E R A NDOME L LIPSES Xie Y O ue ai D u Y u ming Tia n j 一 n Univer sit y XieR ulna n TE D 一 ATi咧i n A BSTR A CT Int hisPa p er a na PPr o xima t iv eme t h o d勿te ng en i Pla n e s 15 sug g e stedtoeo n st r U c t ator se w h ieh t w oe n d s a r era n d o m elliPse s T h e eo m P u ting Pri nei Ple a nd Pl ot t i ng m ethodo n de v eloPm ent0 ft h e t