（全國(guó)版）2019版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第2章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第4講 冪函數(shù)與二次函數(shù)學(xué)案.doc

第4講冪函數(shù)與二次函數(shù)板塊一知識(shí)梳理自主學(xué)習(xí) 必備知識(shí)考點(diǎn)冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)1五種冪函數(shù)圖象的比較2冪函數(shù)的性質(zhì)比較 必會(huì)結(jié)論1一元二次不等式恒成立的條件(1)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是(2)ax2bxc0(a0)恒成立的充要條件是2二次函數(shù)表達(dá)式的三種形式(1)一般式：yax2bxc(a0)(2)頂點(diǎn)式：ya(xh)2k(其中a0，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)(3)兩根式：ya(xx1)(xx2)(其中a0，x1，x2是二次函數(shù)的圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo))考點(diǎn)自測(cè) 1判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯(cuò)誤的打“”)(1)冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,1)和(0,0)()(2)二次函數(shù)yax2bxc(xr)，不可能是偶函數(shù)()(3)二次函數(shù)yax2bxc，xa，b的最值一定是.()(4)當(dāng).板塊二典例探究考向突破考向冪函數(shù)的圖象與性質(zhì)例1(1)函數(shù)f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)，且在x(0，)上為增函數(shù)，則實(shí)數(shù)m的值是()a1 b2 c3 d1或2答案b解析f(x)(m2m1)xm是冪函數(shù)m2m11m1或m2.又x(0，)上是增函數(shù)，所以m2.(2)2016全國(guó)卷已知a2，b4，c25，則()abac babc cbca dcab答案a解析因?yàn)閍24，c255，函數(shù)yx在(0，)上單調(diào)遞增，所以45，即ac，又因?yàn)楹瘮?shù)y4x在r上單調(diào)遞增，所以44，即ba，所以bac.故選a.觸類旁通冪函數(shù)的圖象特征(1)對(duì)于冪函數(shù)圖象的掌握只要抓住在第一象限內(nèi)三條線分第一象限為六個(gè)區(qū)域，即x1，y1，yx分區(qū)域根據(jù)0,01的取值確定位置后，其余象限部分由奇偶性決定(2)在比較冪值的大小時(shí)，必須結(jié)合冪值的特點(diǎn)，選擇適當(dāng)?shù)暮瘮?shù)，借助其單調(diào)性進(jìn)行比較【變式訓(xùn)練1】(1)已知冪函數(shù)f(x)(n22n2)xn23n(nz)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，且在(0，)上是減函數(shù)，則n的值為()a3 b1 c2 d1或2答案b解析由于f(x)為冪函數(shù)，所以n22n21，解得n1 或n3，經(jīng)檢驗(yàn)只有n1符合題意故選b.(2)2018昆明模擬設(shè)a20.3，b30.2，c70.1，則a，b，c的大小關(guān)系為()aacb bcabcabc dcba答案b解析由已知得a80.1，b90.1，c70.1，構(gòu)造冪函數(shù)yx0.1，x(0，)，根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性，知cab.考向求二次函數(shù)的解析式例2已知二次函數(shù)f(x)滿足f(2)1，f(1)1，且f(x)的最大值是8，試確定此二次函數(shù)的解析式解解法一：(利用一般式)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)由題意得解得所求二次函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.解法二：(利用頂點(diǎn)式)設(shè)f(x)a(xm)2n(a0)f(2)f(1)，拋物線的對(duì)稱軸為x.m.又根據(jù)題意函數(shù)有最大值8，n8.yf(x)a28.f(2)1，a281，解得a4，f(x)4284x24x7.解法三：(利用兩根式)由已知f(x)10兩根為x12，x21，故可設(shè)f(x)1a(x2)(x1)(a0)，即f(x)ax2ax2a1.又函數(shù)有最大值f(x)max8，即8.解得a4或a0(舍)所求函數(shù)的解析式為f(x)4x24x7.觸類旁通確定二次函數(shù)解析式的方法根據(jù)已知條件確定二次函數(shù)解析式，一般用待定系數(shù)法，選擇規(guī)律如下：【變式訓(xùn)練2】已知二次函數(shù)f(x)滿足f(1x)f(1x)，且f(0)0，f(1)1，求f(x)的解析式解解法一：(一般式)設(shè)f(x)ax2bxc(a0)，則f(x)x22x.解法二：(兩根式)對(duì)稱軸方程為x1，f(2)f(0)0，f(x)0的兩根分別為0,2.可設(shè)其解析式為f(x)ax(x2)又f(1)1，可得a1，f(x)x(x2)x22x.解法三：(頂點(diǎn)式)由已知，可得頂點(diǎn)為(1,1)，可設(shè)其解析式為f(x)a(x1)21.又由f(0)0，可得a1，f(x)(x1)21x22x.考向二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)命題角度1二次函數(shù)的單調(diào)性例3已知函數(shù)f(x)x22ax3，x4,6(1)求實(shí)數(shù)a的取值范圍，使yf(x)在區(qū)間4,6上是單調(diào)函數(shù)；(2)當(dāng)a1時(shí)，求f(|x|)的單調(diào)區(qū)間解(1)由于函數(shù)f(x)的圖象開口向上，對(duì)稱軸是xa，所以要使f(x)在4,6上是單調(diào)函數(shù)，應(yīng)有a4或a6，即a6或a4.(2)當(dāng)a1時(shí)，f(x)x22x3，f(|x|)x22|x|3，此時(shí)定義域?yàn)閤4,6，且f(x)f(|x|)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0,6，單調(diào)遞減區(qū)間是4,0命題角度2二次函數(shù)的最值例42016浙江高考已知函數(shù)f(x)x2bx，則“b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的()a充分不必要條件b必要不充分條件c充分必要條件d既不充分也不必要條件答案a解析因?yàn)閒(x)x2bx2，其最小值為f.因?yàn)閒(f(x)f(x)2bf(x)2.因?yàn)閒(x)min，若ff(x)與f(x)的最小值相等，當(dāng)且僅當(dāng)f(x)時(shí)成立，解得b2，所以“b0”是“f(f(x)的最小值與f(x)的最小值相等”的充分不必要條件故選a.命題角度3二次函數(shù)中恒成立問(wèn)題例52018石家莊模擬設(shè)函數(shù)f(x)ax22x2，對(duì)于滿足1x4的一切x值都有f(x)0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案解析由f(x)0，即ax22x20，x(1,4)，得a在(1,4)上恒成立令g(x)22，所以g(x)maxg(2)，所以要使f(x)0在(1,4)上恒成立，只要a即可觸類旁通二次函數(shù)的最值及恒成立問(wèn)題(1)解決二次函數(shù)最值問(wèn)題的思路：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端點(diǎn)和中點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合配方法，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類討論的思想即可完成(2)解決二次函數(shù)恒成立問(wèn)題有兩個(gè)解題思路：一是分離參數(shù)，思路的依據(jù)是：af(x)恒成立af(x)max，af(x)恒成立af(x)min；二是不分離參數(shù)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論核心規(guī)律1.冪函數(shù)yx(r)的圖象的特征當(dāng)0時(shí)，圖象過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(1,1)，在第一象限圖象上升；當(dāng)0時(shí)，圖象過(guò)點(diǎn)(1,1)，但不過(guò)原點(diǎn)，在第一象限圖象下降2.在研究一元二次方程根的分布問(wèn)題時(shí)，常借助二次函數(shù)圖象數(shù)形結(jié)合求解，一般從：開口方向；對(duì)稱軸位置；判別式；端點(diǎn)函數(shù)值的符號(hào)四個(gè)方面分析3.在研究一元二次不等式的有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般借助二次函數(shù)圖象及性質(zhì)求解滿分策略1.冪函數(shù)的圖象一定會(huì)出現(xiàn)在第一象限，一定不會(huì)出現(xiàn)在第四象限如果冪函數(shù)與坐標(biāo)軸有交點(diǎn)，則交點(diǎn)一定是原點(diǎn)2.對(duì)于函數(shù)yax2bxc，若它是二次函數(shù)，則必須滿足a0.當(dāng)題目條件中未說(shuō)明a0時(shí)，就要分a0和a0兩種情況討論3.對(duì)于與二次函數(shù)有關(guān)的不等式恒成立問(wèn)題或存在性問(wèn)題，應(yīng)注意進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化.板塊三啟智培優(yōu)破譯高考數(shù)學(xué)思想系列2分類討論破解二次函數(shù)最值問(wèn)題2018廣州模擬已知函數(shù)f(x)x22ax1a在0x1時(shí)有最大值2，求實(shí)數(shù)a的值解題視點(diǎn)函數(shù)的對(duì)稱軸是xa位置不定，并且在不同位置產(chǎn)生的結(jié)果也不相同，所以要對(duì)對(duì)稱軸的位置進(jìn)行分類討論解當(dāng)對(duì)稱軸xa0時(shí)，如圖1所示，當(dāng)x0時(shí)，y有最大值ymaxf(0)1a，所以1a2，即a1，且滿足a1時(shí)，如圖3所示當(dāng)x1時(shí)，y有最大值ymaxf(1)2aa2.a2，且滿足a1，a2.綜上可知，a的值為1或2.答題啟示二次函數(shù)在區(qū)間上的最值問(wèn)題，可分成三類：對(duì)稱軸固定，區(qū)間固定；對(duì)稱軸變動(dòng)，區(qū)間固定；對(duì)稱軸固定，區(qū)間變動(dòng).此類問(wèn)題一般利用二次函數(shù)的圖象及其單調(diào)性來(lái)考慮，對(duì)于后面兩類問(wèn)題，通常應(yīng)分對(duì)稱軸在區(qū)間內(nèi)、左、右三種情況討論.跟蹤訓(xùn)練設(shè)函數(shù)f(x)x22x2，xt，t1，tr，求函數(shù)f(x)的最小值解f(x)x22x2(x1)21，xt，t1，tr，函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為x1.當(dāng)t11，即t1時(shí)，函數(shù)圖象如圖(3)所示，函數(shù)f(x)在區(qū)間t，t1上為增函數(shù)，所以最小值為f(t)t22t2.綜上可知，f(x)min板塊四模擬演練提能增分 a級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)12018秦皇島模擬若冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則它的單調(diào)遞增區(qū)間是()a(0，) b0，)c(，) d(，0)答案d解析設(shè)yxa，則2a，a2，yx2其單調(diào)遞增區(qū)間為(，0)故選d.22018武漢模擬如果函數(shù)f(x)x2bxc對(duì)任意的實(shí)數(shù)x，都有f(1x)f(x)，那么()af(0)f(2)f(2) bf(0)f(2)f(2)cf(2)f(0)f(2) df(2)f(0)f(2)f(0)故選a.3若不等式(a2)x22(a2)x40對(duì)一切xr恒成立，則a的取值范圍是()a(，2 b2,2c(2,2 d(，2)答案c解析當(dāng)a20即a2時(shí)，不等式為40，恒成立當(dāng)a20時(shí)，解得2a2，所以a的取值范圍是21時(shí)，恒有f(x)1時(shí)，恒有f(x)1時(shí)，函數(shù)f(x)x的圖象在yx的圖象的下方，作出冪函數(shù)f(x)x在第一象限的圖象，由圖象可知0，得1m0，m10，又x時(shí)，f(x)單調(diào)遞增，f(m1)f(0)0.72017浙江高考若函數(shù)f(x)x2axb在區(qū)間0,1上的最大值是m，最小值是m，則mm()a與a有關(guān)，且與b有關(guān) b與a有關(guān)，但與b無(wú)關(guān)c與a無(wú)關(guān)，且與b無(wú)關(guān) d與a無(wú)關(guān)，但與b有關(guān)答案b解析設(shè)x1，x2分別是函數(shù)f(x)在0,1上的最小值點(diǎn)與最大值點(diǎn)，則mxax1b，mxax2b.mmxxa(x2x1)，顯然此值與a有關(guān)，與b無(wú)關(guān)故選b.由題意可知，函數(shù)f(x)的二次項(xiàng)系數(shù)為固定值，則二次函數(shù)圖象的形狀一定隨著b的變動(dòng)，相當(dāng)于圖象上下移動(dòng)，若b增大k個(gè)單位，則最大值與最小值分別變?yōu)閙k，mk，而(mk)(mk)mm，故與b無(wú)關(guān)隨著a的變動(dòng)，相當(dāng)于圖象左右移動(dòng)，則mm的值在變化，故與a有關(guān)故選b.8已知函數(shù)f(x)x22ax2在5,5上是單調(diào)函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案(，55，)解析f(x)(xa)22a2，圖象的對(duì)稱軸為xa，由題意可知a5或a5，解得a5或a5.92018合肥模擬若函數(shù)f(x) 的定義域?yàn)閞，則a的取值范圍為_答案1,0解析函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閞，所以2 x22axa10對(duì)xr恒成立，即2 x22axa20，x22axa0恒成立，因此有(2a)24a0，解得1a0.102018南昌模擬如果函數(shù)f(x)x2axa在區(qū)間0,2上的最大值為1，那么實(shí)數(shù)a_.答案1解析因?yàn)楹瘮?shù)f(x)x2axa的圖象為開口向上的拋物線，所以函數(shù)的最大值在區(qū)間的端點(diǎn)取得因?yàn)閒(0)a，f(2)43a，所以或解得a1.b級(jí)知能提升12018浙江模擬已知a，b，cr，函數(shù)f(x)ax2bxc.若f(0)f(4)f(1)，則()aa0,4ab0 ba0,2ab0 daf(1)，所以f(x)先減后增，所以a0.選a.2.如圖是二次函數(shù)yax2bxc圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)a(3,0)，對(duì)稱軸為x1.給出下面四個(gè)結(jié)論：b24ac；2ab1；abc0；5a0，即b24ac，正確對(duì)稱軸為x1，即1,2ab0，錯(cuò)誤結(jié)合圖象，當(dāng)x1時(shí)，y0，即abc0，錯(cuò)誤由對(duì)稱軸為x1知，b2a.又函數(shù)圖象開口向下，所以a0，所以5a2a，即5a0.那么f(x)的零點(diǎn)是_；若f(x)的值域是，則c的取值范圍是_答案1和0(0,4解析當(dāng)0xc時(shí)，由x0得x0.當(dāng)2x0時(shí)，由x2x0，得x1，所以函數(shù)零點(diǎn)為1和0.當(dāng)0xc時(shí)，f(x)x，所以0f(x)；當(dāng)2x0時(shí)，f(x)x2x2，所以此時(shí)f(x)2