2012論文模板論文格式范文.doc

莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂 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衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇 襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁 蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈罿羋蚈羄羈莀蒁袀羇蒃蚇螆肇膂葿螞肆芅蚅羀肅莇蒈羆肄蕿螃袂肅艿薆螈肂莁螂蚄肁蒃薄羃肁膃螀衿膀芅薃螅腿莈螈蟻膈薀薁肀膇芀莄羆膆莂蠆袂膅蒄蒂螈膅膄蚈蚄膄芆蒀羂芃荿蚆袈節(jié)蒁葿螄芁膁蚄螀芀莃蕆聿艿蒅螂羅艿薇薅袁羋芇螁螇襖荿薄蚃羃蒂蝿羈羂膁薂袇羂芄螇袃羈蒆蝕蝿羀薈蒃肈 晉晉 中中 學學 院院 本科畢業(yè)論文 設計 題題 目目 勢阱中粒子運動的能級和波函數(shù) 院院 系系 物理與電子工程學院 專專 業(yè)業(yè) 物理學 姓姓 名名 康霄莎 學學 號號 0609114212 學習年限學習年限 2006 年 9月至2010 年 6 月 指導教師指導教師 宮建平 教授 申請學位申請學位 理學學士 2010 年 5 月 27 注意右端對 齊 對齊后 將此線去掉 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 1 一維勢壘 一維散射中的幾率密度 學生 宮建平 指導教師 宮建平 摘 要 利用數(shù)值計算方法研究了粒子在一維 方形 勢壘中運動時的粒子的幾 率分布 并給出了幾率密度圖 從這些圖我們可以清楚的看出不同能量的粒子在 方形 勢壘散射時的幾率分布情況 并討論了透射系數(shù) 反射系數(shù)與勢壘寬度的關系 關鍵詞 幾率密度 勢壘 幾率密度 階梯勢 勢壘 幾率密度階梯勢 勢壘 幾率密度 階梯勢 勢壘 頁面設置 上 2 75 厘米 下 2 75 厘米 左 2 8 厘米 右 2 5 厘米 頁眉 1 9 厘米 頁腳 2 2 厘米 行距固定值22磅 頁眉左對齊 小 五號楷體 大標題 采用二號黑體 居中 單倍行距 段前 輸一空行 此空行段前 段后不空行 段后空0 5 行 不超過20個字 副標題 副標題一般不超過 28個字 采用三號宋體 居中 單倍行距 段前空 0行 段后空0 5行 可略 摘要 二字之間空一字符 兩空 格 采用四號黑體頂格 并與內容 空一字符 兩空格 摘要內容用小 四號宋體 行距采用固定值22磅 在論文主體之前用 200 500 字扼要介 紹論文的內容及結構 采用的方法和 得到的主要結果 內容提要的概括性 要強 姓名 采用三號宋體 居中 單倍行距 段前 空0行 段后空1行 中 間空二格 關鍵詞 三字用四號黑體 頂格與上面內容空 一行 關鍵詞用小四號宋體 如一行放不下占兩 行時要采用懸掛縮進 調整懸掛縮進量與上一 行的關鍵詞對齊 各關鍵詞后加分號后空一格 最后一詞不加分號 行距采用固定值22磅 要求 依次列出 3 6 個關鍵詞 此頁不標頁碼 目錄另起一 頁 用插入分節(jié)符的方法 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 2 one dimensional square potentials one dimensional square potentials author s name jianping gong tutor jianping gong abstract in this paper we outline the quantitative calculation of the stationary states of the particle we limit ourselves to one dimensional models we shall give the results of this calculation for a certain number of simple cases and discuss their physical implications we study the motion of a particle in a square potential whose rapid spatial variation for certain values of introduce purely quantum effects we consider the quantum mechanics of x a particle which encounters the potential step with and we 0 eu 0 0eu next study more complicated potential form the rectangular potential barrier we draw as a function of by numerical calculation from this figure we 2 x can see clearly an important difference between classical mechanics and quantum mechanics keywords probability density potential steps potential barriers classical mechanics quantum mechanics 英文標題用三號 times new roman 粗體 段前打一空行 段 后空 0 行 單倍行距 居中 abstractabstract 用小三號 times new roman 加粗 段前空 0 行 段 后空 1 行 與內容空一字符 兩 空格 abstract 內容用四號 times new roman 體 段后 空 1 行 行距采用固定值 22 磅 keywords keywords 用小三號號 times new roman 加粗頂格 內容用四號 times new roman 段前 空 0 行 行距采用固定值 22 磅 采用懸掛縮進 約 9 2 字符 與上面的內容對齊 單詞后加分號后打一 個空格 然后再寫下一個詞 最后一個詞不用分號 英文副標題用小三號 times new roman 粗體 單倍行距 居中 學生指導教師用四號 times new roman 單倍行距 居中 段后空一 行 冒號后打一空格 學生姓名和指 導教師間打兩空格 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 目 錄 引引 言言 1 1 勢壘模型與量子力學方程勢壘模型與量子力學方程 2 1 1 勢壘模型 2 1 1 1 勢壘模型 2 1 1 1 1 勢壘模型 2 1 2 量子力學方程與邊界條件 3 2 階梯勢壘散射階梯勢壘散射 5 2 1 模型與方程 5 2 2 0 eu 的情況 6 2 3 0 eu 的情況 8 2 4 0 u 的情況 9 3 方形勢壘散射方形勢壘散射 12 3 1 模型與方程 12 3 2 0 eu 情況 12 3 3 0 eu 情況 15 3 4 0 eu 情況 16 總總 結結 17 致致 謝謝 17 目錄前空一行 三號 黑體 居中 1 25倍行距 目錄兩字間空四格 與正文空一行 引言總結第幾章等一級標題用小 三號 宋體加粗 頂格 單倍行 距 章標號用阿拉伯數(shù)字 數(shù)字用 times new roman字體 二級標 題不加粗 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 注注 釋釋 17 參考文獻參考文獻 17 附錄附錄 19 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 1 引引 言言 一維勢壘散射問題屬于量子力學非束縛定態(tài)的基本問題 幾乎所有的量子力學著 作中均作為主要內容加以闡述 1 5 對該問題深入討論可以初步掌握經(jīng)典力學與量子 力學所給出的粒子的穿越勢壘的不同行為的基本特征 但是大部分都是著重描述粒子 在勢壘存在時的穿過勢壘的透射系數(shù)或被勢壘反射回來的反射系數(shù) 而對于勢壘存在 時微觀粒子的幾率分布的情況卻描述較少 由其對于勢壘中粒子的幾率分布情況更是很 少涉及 并且一些書中 1 2 給出粒子穿越勢 壘時的波動圖像存在問題 如圖 0 1 因為對 于非束縛定態(tài)問題粒子的波函數(shù)是復函數(shù) 一般情況下很難在二維圖像中表示 如果說 這里給出的是粒子的幾率分布圖像 那么由于穿過勢壘后波函數(shù)一般形式是 ikx e 所以幾率分布顯然應該是一常數(shù) 并不存在任何的波動 為了能夠對粒子在穿越勢 2 壘時的幾率分布有一個清晰的認識 我們分別對粒子穿越階梯形勢壘和方形勢壘的不 同情況下的幾率分布通過計算機數(shù)值計算給出了相應的幾率密度圖像 本文討論的階梯勢壘與方形勢壘由于模型簡單 數(shù)學計算相對容易而使得物理圖 像清晰 對于深入理解粒子穿越勢壘時的物理圖像有一深刻正確的了解可以起到一定 的作用 圖 0 1 粒子穿越勢壘時的波動圖 像 每章后另起一頁 用 插入分頁符的方法 引言 每章題目 總結 格式 上面輸入一空行 居 中 三號黑體加粗 單倍 行距與段后空0 5行 級 別為標題1 首行縮進兩字符 小四號宋體 對只有單行公式 或無公式的段落如 行距一般采用固定 ikx e 值22磅 此值為了頁面美觀可適當調整 引文文獻號用上標 加方括號標出 論文中的插圖 除示意圖可用word軟 件中的繪圖工具繪制外 函數(shù)圖應用專 門繪圖軟件繪制 所有插圖要按章統(tǒng)一 編號 并與文中對應 每幅圖要有簡要說 明 說明文字用五號字 行距采用最小值 0磅 數(shù)字用times new roman字體 文字用宋體 位于插圖下方中央 圖的大 小要適中 當圖較小時一般置于版面右 側 注意與左側空出0 5厘米 插圖中所 插字符應用公式編輯器編好后 轉成圖 片格式 其字符大小為10 5磅 在解釋文 字中所用的數(shù)學字符也要用公式編輯 插入 字號大小為10 5磅 引言一般包括課題問題的提出 前人在該問題有關領域已經(jīng)做過的工 作和成果的概述 本課題的內容和采 用的方法 本論文的結構說明等 正文從引言開始起 編頁碼 統(tǒng)一采用單 面打印 頁碼右對齊 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 2 1 勢壘模型勢壘模型與量子力學方程與量子力學方程 1 1 勢壘模型勢壘模型 1 1 1 勢壘模型勢壘模型 1 1 1 1 勢壘模型勢壘模型 如果空間中有兩個區(qū)域 并且在這兩個區(qū)域內粒子的勢能都比它在這兩個區(qū)域的 分界面上的勢能小 我們就說 這兩個區(qū)域是由一個勢壘分隔開的 圖 1 1 所示的一維勢壘可以作為一 維勢壘最簡單的例子 縱軸上標出勢能 它是粒子的坐標的函數(shù) 在 u xx 點上勢能具有極大值 整個空間 0 x 0 u 在這一點上分為兩個區(qū)域 x 和 在這兩個區(qū)域內 0 xx 0 xx m uu 如果我們根據(jù)經(jīng)典力學來考察粒子在場 中的運動 我們馬上可以說明 勢壘 的意義 粒子的總能量等于e 1 1 2 2 p eu x 式中為粒子的動量 為它的質量 從 1 1 解出動量 我們得到p 1 2 2 p xeu x 上式中的符號應該根據(jù)粒子的運動方向來選擇 如果粒子的能量大于勢壘的 e m u 高度 則當粒子的初始動量時 粒子可以毫無阻礙地從左邊向右邊通過勢0p 壘 而當粒子的初始動量時 粒子通過勢壘的方向正好相反 0p 假設粒子是從左向右運動的 其總能量小于 于是在某一點 勢能e m u 1 x 粒子將停止下來 它的全部動能轉化為勢能 因而運動將向相 1 u xe 1 0p x 反的方向進行 是反轉點 因此 當時 從左邊來的粒子不能穿過勢能極大 1 x m eu 值的區(qū)域 因而便不能進入第二個區(qū)域去 相似地 如果粒子是從右向 0 xx 0 xx 左運動的 而且 則它便不能進入第二個反轉點后面的區(qū)域去 因為在點 m eu 2 x 2 x 上 參閱圖 1 1 因此對于所有能量小于的粒子來說 勢壘都是一個 2 u xe m u 不透明 的壁壘 相反地 對于能量大于的粒子 勢壘則是 透明 的 這也 m u 就說明了 勢壘 這個名稱的來源 u x m eu m eu m eu x 0 x o 圖 1 1 一維勢壘 1 x 2 x 數(shù)字與標題間空一格 數(shù)字用times new roman字體 文字用黑體加粗 字號均為三號 居中 二級標題級別為標題2 格式左對齊首行縮進2 字符 或1 7字符 與正文首行對齊即可 數(shù)字用 times new roman字體 文字用黑體加粗 字號均為四 號 數(shù)字與文字空一格 單倍行距 如在章標題下或位 于本頁第一行 段前空0行 段后空0 5行 如在文中位 置時采用段前空1行 段后空0 5行 三級標題級別為標題3 格式左對齊首行縮進2 字符 數(shù)字用times new roman字體 文字用宋體加 粗 字號均為小四號 數(shù)字與文字空一格 單倍行距 如 在章標題下或位于本頁第一行 段前空0行 段后空 0 5行 如在文中位置時采用段前空1行 段后空0 5 行 四級標題級別為標題4 格式左對齊首行縮進2 字符 數(shù)字用times new roman字體 文字用宋體加 粗 字號均為小四號 數(shù)字與文字空一格 單倍行距 如 在章標題下或位于本頁第一行 段前空0行 段后空 0 5行 如在文中位置時采用段前空1行 段后空0 5 行 一般不要用四級 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 3 為了進一步理解勢壘這個概念 我們想象一個質量為 在圖 1 2 所表示的那種 力函數(shù)作用下的粒子 xl 0u x 0 u x xxl 2 m u uxl 2 m uu x lx m uu 0 u x 在橫坐標為和的兩個點之間 粒子受到一個力的作用 此力的指向與l x f 軸的單位矢量相反ox x e 2 m x u fe 在這個區(qū)域之外 勢能 或為一常數(shù) m u xu 0u x 而力等于零 在時刻 以速度 在橫 0 t 0 v 坐標為的點處接近這一區(qū)域的粒子由于的作用而減速 由此得運動方程 x f 2 000 4 m u xttvttl 只有當方程 2 000 4 m u lttvttl 具有實根時 粒子才能到達橫坐標為的點 這就要求 l 2 0 1 2 m vu 如果不是這樣 粒子的能量小于e m u 1 3 2 0 1 2 m evu 這個粒子就不可能到達勢能變化區(qū)的端點 因而粒子要被反射回來 并重新向反向運 動 使趨于零 而保持值不變 力就變的無限大 作用區(qū)變得無限薄 方程 1 3 所表 示的結果依舊成立 因為它與寬度無關 1 2 量子力學方程與邊界條件量子力學方程與邊界條件 如果我們談的是微觀粒子在微觀場中的運動 也就是在談到不能略去量子效應的 u x m u x l o 圖 1 2 一維勢壘粒子受力分析 l ex l 論文中的公式統(tǒng)一用word軟件中的公式編輯器書寫 主 要公式要按章統(tǒng)一進行編號并與論文中的敘述一致 編號 數(shù)字用times new roman字體 右對齊 未編號的公式要居 中 如單行公式行距采用固定值22磅 多行公式行距采用 最小值0磅 為了頁面統(tǒng)一 所有正文內容 文字圖表均就在此線 框內 最上 下 面的線及左右線與頁面標志對齊 注 意要使內容與橫線的內側線對齊 如果首行為多行 公式 應在公式前插入一空行 此空行的行距為固定 值5磅 當下端內容與下面的內側線有空白時 要行 當調整本面中的行距使之對齊 另起一頁時除外 二級標題級別為標題2 格式左對齊首行縮進2 字符 或1 8字符 與正方首行對齊即可 數(shù)字用 times new roman字體 文字用黑體加粗 字號均 為四號 數(shù)字與文字空一格 單倍行距 如在章標 題下或位于本頁第一行 段前空0行 段后空0 5 行 如在文中位置時采用段前空1行 段后空0 5 行 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 4 運動時 在勢壘附近發(fā)生的現(xiàn)象就完全不同了 在這種情況下 與經(jīng)典力學的結論相 反 能量大于勢壘高度的粒子有一部分為勢壘反射 而能量小于的粒子也有e m u m u 一部分會穿過勢壘 在量子力學里 必須知道波函數(shù) 因此必須要解薛定諤方程 1 4 22 2 2 iu x tx 一維散射問題是一個非束縛態(tài)問題 與時間無關 而是正的 因此令 u xe 1 5 e it x tx e 由此得到 1 6 22 2 2 d u xe dx 按照勢能的形式 方程 1 6 一般需要分成幾個部分求解 將上式改寫成如下形式 u x 1 7 2 2 2 0 d k dx 1 8 2222 11 22 22 kekk nxeu x 為了確定波函數(shù)要滿足的邊界條件 我們把和看作是 的緩變函數(shù) 在 u x n xx 圖 1 2 中為方便取 于是 在點附近對方程 1 7 求積分 我們得到0l 0 x 2 2 2 0 d dxkdx dx 即 2 22 1 2 0 d dxknxdx dx 由此得 1 9 22 1 knxdx 當取極限時 我們得到一個邊界條件0 1 10 0 0 其次 根據(jù)波函數(shù)的連續(xù)性的普遍要求 我們有第二個邊界條件 1 11 0 0 因為在點并沒有任何特殊之處 所以條件 1 10 和 1 11 在任一點都能得到滿足 0 x 實際上上述邊界條件在任何勢能函數(shù)躍變的地方均可以滿足 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 5 2 階梯勢壘散射階梯勢壘散射 2 1 模型與方程模型與方程 本章中 我們將討論體系勢能在無限遠處為有限的情況 這時粒子可以在無限遠處 出現(xiàn) 波函數(shù)在無限遠處不為零 由于沒有無限遠處波函數(shù)為零的約束 體系能量可以 取任意值 即能級組成連續(xù)譜 這類問題屬于粒子被勢函數(shù)散射的問題 粒子從無限遠 處來 被勢場散射后又到無限遠處去 在這類問題中 粒子的能量是預先給定的 考慮在一維空間中運動的粒子 它的勢能在有限區(qū)域內等于常量 0 x 而在區(qū)域內等于零 即 0 00 uu0 x 2 1 0 0 0 0 u xux u xx 我們稱這種勢為階梯勢壘 圖 2 1 具有一定能量的粒子由勢壘左方向右方運動 e 0 x 在經(jīng)典力學中 只有能量大于的粒子才能越過e 0 u 勢壘運動到的區(qū)域 能量小于的粒子運動到勢0 x e 0 u 壘左方邊緣 處 時被反射回去 不能透過勢壘 0 x 在量子力學中 情況卻不是這樣 能量大于的粒e 0 u 子有可能越過勢壘 但也有可能被反射回來 而能量小e 于的粒子有可能被勢壘反射回來 但也有可能貫穿勢 0 u 壘而運動到勢壘右邊的區(qū)域中去 0 x 粒子的波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤方程是 2 2 22 2 0 2 d ex dx 和 2 3 22 0 2 0 2 d uex dx 或改寫成 2 4 2 22 2 0 0 d ex dx 和 2 5 2 0 22 2 0 0 d eux dx 下面我們分兩種情況分別進行討論 u x 0 u o x 圖 2 1 一維階梯勢 壘 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 6 2 2 的情況的情況 0 eu 現(xiàn)在令 2 6 22 120 22 22 kekeu 則得 2 7 2 2 1 2 0 0 d kx dx 和 2 8 2 2 2 2 0 0 d kx dx 容易得出方程 2 7 和 2 8 的解為 2 9 11 1 0 ik xik x aea ex 2 10 22 2 0 ik xik x beb ex 由 1 5 式可知 當 2 9 和 2 10 式中的波函數(shù) 乘上時間因子后 中的 1 2 e it e 1 2 第一項和第二項分別描述的是由左向右傳播的平面波和由右向左傳播的平面波 由于 在處的邊界條件并不足以確定 2 9 和 2 10 中的 4 個未知常數(shù) 為確定這些常數(shù)0 x 我們假設粒子自左向右運動 當為很大的正值時 波函數(shù)應該描述越過 壁頂 并x 沿軸的正方向運動的一個粒子 它的漸近形式必然是x 2 11 2 2 0 ik x bex 即取 由處的邊界條件 0b 0 x 2 12 0201 xx 2 13 0 2 0 1 xx dx d dx d 我們有 2 14 0 aabx 2 15 112 0 k ak ak bx 2 14 和 2 15 兩式給出透射波和反射波振幅與入射波振幅之間的關系如下 2 16 12 12 kka akk 2 17 1 12 2kb akk 由這兩式可以求出透射波和反射波的幾率密度與入射波幾率密度之比 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 7 將入射波 透射波和反射波依次代換下式 1 ik x ae 1 ik x be 1 ik x a e 2 i j 中的 得入射波的幾率流密度為 1111 2 1 2 ik xik xik xik x iddk jaea ea eaea dxdx 透射波的幾率流密度為 2 2 d k jb 反射波的幾率流密度為 2 1 r k ja 透射波的幾率流密度與入射波的幾率流密度之比稱為透射系數(shù) 以表示 這個比值也d 就是貫穿到區(qū)域的粒子在單位時間內流過垂直于方向的單位面積的數(shù)目 與入0 x x 射粒子 在區(qū)域 單位時間內流過垂直于方向的單位面積的數(shù)目之比 由上面的0 xx 結果 有 2 18 2 212 2 1 12 4 d jkbk k d jka kk 反射波幾率流密度與入射波幾率流密度之比稱為反射系數(shù) 以表示 由上面結果 有r 2 19 2 12 22 12 4 11 r ajk k rd j kka 由上兩式可見 和都小于 1 和之和等于 1 這說明入射粒子一部分貫穿勢壘drdr 區(qū)域 另一部分被勢壘反射回去 為畫出粒子分布的幾率密度圖 我們令入射波的0 x 振幅 得到1a 2 20 11 12 1 12 0 ik xik x kk eex kk 2 21 2 1 2 12 2 0 ik x k ex kk 粒子的幾率密度分布如圖 2 2 所示 要注意當 即時 勢壘消失 因此反 12 kk 0 0u 射為零 透射系數(shù) 此時只有入射波而沒有反射波 在 的區(qū)域粒子分1d 0 x 0 x 布的幾率密度相同 如圖 2 3 所示 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 8 2 3 的情況 0 eu 此時我們只要令 22 ki 2 22 202 2 2 keui 20 2 2 ue 則我們得到 2 23 11 1 0 ik xik x aea ex 2 24 22 2 0 xx beb ex 由于當時 波函數(shù)應該保持有限 所以應取 2 24 中的 因此有x 0b 2 25 12 12 kia aki 2 26 1 12 2kb aki 此時反射系數(shù)為 2 27 2 2 12 2 12 1 r a jki r jki a 透射系數(shù)為 2 27 2 2 10 d bj dr j a 與經(jīng)典力學不同的是 雖然透射系數(shù)為零 但在區(qū)域找到粒子的幾率并不為零 0 x 如果我們取 則可將波函數(shù)寫作 1a 2 28 11 12 1 12 0 ik xik x ki eex ki 圖 2 3 設 1 2k 2 2k 粒子幾率密度圖 圖 2 2 設 1 2k 2 1k 粒子幾率密度圖 對于兩個圖并排情況 注意兩圖要對齊 說明文 字也要對齊 圖的版式采用上下型 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 9 2 29 2 1 2 12 2 0 x k ex ki 從 2 28 可以看出雖然入射波與反射波的振幅相同 反射系數(shù)為 1 但由于為一復 aa 數(shù) 所以反射波相對于入射波有一相移因子 這與經(jīng)典力學無共同之處 但與光在金屬 表面反射時的情況類似 造成這種原因是因為粒子進入了區(qū)域延誤所致 0 x 由 2 28 和 2 29 式我們可以畫出在和區(qū)域中找到粒子的幾率密度曲線 0 x 0 x 從圖中可以明顯的看出 在找到粒子的幾率隨著的增加而指數(shù)衰減 在的0 x x 2 1 x 區(qū)域內 找到粒子的幾率幾乎可以忽略不計 值得注意的是由于反射波的振幅與入射波的 振幅相同 所以入射波與反射波在的區(qū)域中發(fā)生干涉 使得一些點 這是干0 x 2 0 涉相消的結果 這與時的情況不同 因為在時入射波的強度大于反射波的 0 eu 0 eu 強度 干涉相消的結果只使的區(qū)域中的一些點的幾率密度取極小值 另一點取極大0 x 值 但不會完全為零 當然當時 反射波的振幅接近入射波的振幅 因而那些取極 2 0k 小值的點將趨于零 2 4 0 u 的情況的情況 當勢壘高度趨于無窮大時 即時的解 可以由的情況中令 0 u 0 eu 得到 2 2 30 2 12 12 lim1 kia aki 2 31 2 1 12 2 lim0 kb aki 此時反射系數(shù)為 圖 2 4 設 1 2k 2 1 粒子幾率密度圖 圖 2 5 設 1 2k 2 0 5 粒子幾率密度圖 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 10 2 32 2 2 12 12 lim1 r jki r jki 透射系數(shù)為 2 33 2 lim10 d j dr j 如果我們令 則可將波函數(shù)寫成如下形式 1a 2 34 11 1 0 ik xik x eex 2 35 2 0 0 x 值得注意的是 由 2 34 和 2 35 式給出的波函數(shù)和 在點處波函數(shù)連續(xù) 但 1 2 0 x 波函數(shù)的導數(shù)并不連續(xù) 這是因為在時 在 1 9 式中 0 u 22 1 knxdx 右端的積分在時 由于并不等于零 所以在這種情況下 波函數(shù)仍然保0 n x 持連續(xù)但波函數(shù)的導數(shù)卻不在連續(xù) 我們可以由方程 2 34 和 2 35 給出的波函數(shù)和 繪出在和區(qū)域找 1 2 0 x 0 x 到粒子的幾率曲線圖 2 6 由于此時入射波與反射波的振幅相等 相位相差 顯然在 區(qū)域中入射波與反射波干涉相消會使得一些點的幾率密度為零 0 x 實際上時所給出的粒子幾率分布曲線圖 2 6 是在時的極限 0 u 0 eu 2 情況 為了說明這一點 我們利用方程 2 28 和 2 29 分別取為 和畫出圖 2 2101000 2 7 圖 2 8 和圖 2 9 從圖中可以看出當時與圖 2 6 已經(jīng)很接近 而當取 2 10 2 時圖 2 9 與圖 2 6 已經(jīng)無法區(qū)別 從這里可以理解實際上所謂的情況實際1000 0 u 上是勢壘比粒子能量高的多時的一種理想近似 圖 2 6 當 取 0 u 1 2k 2 時的粒子幾率密度圖 圖 2 7 當 取 0 eu 1 2k 2 2 時的粒子幾率密度圖 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 11 圖 2 8 當 取 0 u 1 2k 2 10 時的粒子的幾率密度圖 圖 2 9 當 取 0 eu 1 2k 2 1000 時的粒子幾率密度圖 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 12 3 方形勢壘散射方形勢壘散射 3 1 模型與方程模型與方程 考慮在一維空間中運動的粒子 它的勢能在有限區(qū)域內等于常量 0 xa 而在這個區(qū)域外等于零 即 0 00 uu 3 1 ax xxu ax uxu 00 0 0 我們稱這種勢為方勢壘 圖 3 1 具有一定能量的粒子由e 勢壘左方向右方運動 0 x 粒子的波函數(shù)所滿足的定態(tài)薛定諤方程是 3 2 ax x e dx d 00 2 22 2 和 3 3 2 0 22 2 0 0 d euxa dx 同第二章一樣我們分兩種情況分別進行討論 3 2 0 eu 情況 與 2 6 式一樣我們定義和將方程 3 2 和 3 3 改寫為 1 k 2 k 3 4 ax x k dx d 00 2 1 2 2 和 3 5 2 2 2 2 0 0 d kxa dx 此處都是大于零的實數(shù) 21 k k 在區(qū)域內 波函數(shù)0 x 3 6 xikxik eaae 11 1 是方程 3 4 的解 在區(qū)域內 方程 3 5 的解是ax 0 3 7 xikxik ebbe 22 2 在區(qū)域內 方程 3 4 的解是ax u x 0 u oa x 圖 3 1 一維方勢壘 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 13 3 8 xikxik ecce 11 3 按照公式 1 5 iet x tx e 定態(tài)波函數(shù)是再分別乘上一個含時間因子 由此看出 3 6 3 8 321 et i e 三式右邊第一項是由左向右傳播的平面波 第二項是由右向左傳播的平面波 在 區(qū)域內 沒有由右向左運動的粒子 因而只應有向右傳播的透射波 不應有向左傳ax 播的波 所以在 3 8 式中必須令 3 9 0 c 在和均可以用波函數(shù)和波函數(shù)導數(shù)的連續(xù)條件 1 8 和 1 9 來確定函數(shù)中的0 xax 其它系數(shù) 由 我們有 0201 xx bbaa 由有 0 2 0 1 xx dx d dx d bkbkakak 2211 由 有 axax 32 aikaikaik ceebbe 122 由有 0 32 xax dx d dx d aikaikaik cekebkbek 122 122 解這一組方程組 可以得出和的關系是a c a 3 10 a ekkekk ekk c aikaik aik 22 1 2 21 2 21 21 4 3 11 22 22 122 22 1212 2sin ik aik a i kkak aa kkekke 3 10 和 3 11 兩式給出透射波和反射波振幅與入射波振幅之間的關系 由這兩式可以 求出透射系數(shù)為 3 12 2 22 12 22 22222 12212 4 sin4 d cjk k d j a kkakk k 反射系數(shù)為 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 14 3 13 2 2222 122 22 22222 12212 sin 1 sin4 r kkak aj rd j a kkakk k 由上兩式可見 和都小于 1 和之和等于 1 這說明入射粒子一部分貫穿勢壘drdr 區(qū)域 另一部分被勢壘反射回去 特別要注意當 時 反射為ax 2 akn 0 1 2 n 零 透射系數(shù) 產(chǎn)生所謂共振透射 此時只有透射波而沒有反射波 1d 從系數(shù)方程解得 2 2 2 112 222 1212 2 112 222 1212 2 2 i ak i ak i ak k kk ba ekkkk ek kk ba ekkkk 令我們得到波函數(shù)的形式為 1 a 3 14 11 22 22 122 1 22 1212 2sin ik xik x ik aik a i kkak ee kkekke 3 15 2 22 22 2 112112 2 222222 12121212 2 2 i ak ik xik x i aki ak k kkek kk ee ekkkkekkkk 3 16 1 1 22 12 3 22 1212 4 ik a ik x ik aik a k k e e kkekke 設 勢壘寬度分別為 和分別畫出粒子分布的幾率密度圖 12 2 1kk a123 圖 3 2 取 時粒子幾 12 2 1 1kak 率密度分布 圖 3 3 取 時的粒子 12 2 1 2kak 幾率密度分布 圖 3 4 取 時的粒子 12 2 1 3kak 幾率密度分布 圖 3 5 取 時的粒子 12 2 1 kak 幾率密度分布 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 15 3 2 圖 3 3 圖 3 4 和圖 3 5 其中圖 3 5 對應共振散射的情形 如果我取 而分別令為 1 和 0 1 我們得到圖 3 6 圖 3 7 從兩圖中1 5a 1 2k 2 k 可以看出當 當減小 對應勢壘增高 相應的粒子穿過勢壘的幾率變小 反射幾率增大 反 2 k 射波的強度與入射波的強度接近 所以在的區(qū)域內入射波與反射波干涉相消使得0 x 一些點波函數(shù)的密謀接近零 3 3 0 eu 情況 這時是虛數(shù) 令 2 k 22 ki 則是實數(shù) 2 3 17 1 2 0 2 2 2ue 把換成 前面的計算仍然成立 經(jīng)過簡單計算后 3 10 式可改寫為 2 k 2 i 3 18 1 12 2 22 122122 2 sh2ch ik a ike ca kaika 透射系數(shù)的公式可改寫為d 3 19 22 12 2 22222 12212 4 sh4 k d kak 在 3 14 3 15 和 3 16 式樣中分別令和 12 0 5 2 0 2ak 可畫出在時粒子分布的幾率圖 3 8 和圖 3 9 由圖可以看出當 12 2 2 1ak 0 eu 勢壘變高變寬透射過勢壘粒子的幾率迅速減小 從而同樣使反射的幾率增加 與 的情況類似 這時反射波的強度和入射波的強度接近從而使在的區(qū)域中入 0 eu 0 x 圖 3 6 取 時的粒子 12 2 1 1 5kak 幾率密度分布 圖3 7取 時的粒 12 2 0 1 1 5kak 子幾率密度分布 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 16 射波和反射波的干涉出現(xiàn)相消而使得一些點上找到粒子的幾率接近于零 3 4 情況 0 eu 對于情況 我們選擇較 不透明的勢壘 即滿足 此時有 0 eu 22 0 8u a 1 11 2 22 0 1 22 0 22uee k u 11 1 22 2 0 0 2 22 0 22 1 euue k u 由 3 19 式可以給出和的關系圖 3 10 當時 2 dc a 0 e u 0 eu 當所選參數(shù)滿足時 在圖 3 10 中當時 1 2 0 2 1 2 mu a d 22 0 8u a 0 2d 0 1e u 0 2d 圖 3 10 透射系數(shù)與關系曲線圖d 0 e u 圖 3 8 取 時的粒子 12 2 0 2 k 0 5a 幾率密度分布 圖 3 9 取 時的粒子 12 2 1 2ak 幾率密度分布 晉中學院本科生畢業(yè) 設計 論文 17 總總 結結 我們在本文中對粒子在一維階梯勢壘和方形勢壘的散射中的可能存在的各種情況 作了較詳細的討論 并根據(jù)所給出的波函數(shù)用數(shù)值計算的方法畫了粒子的幾率密度曲 線 在存在階梯勢壘的情況 如果 在的區(qū)域由于入射波與反射波的干涉 0 eu 0 x 效應 幾率密度呈現(xiàn)出隨的變化而波動 而在的區(qū)域由于只有透射波存在 所以x0 x 幾率密度曲線為一直線 幾率密度為一常量 如果 透射系數(shù)為零 在的區(qū) 0 eu 0 x 域由于入射波與反射波振幅相同 干涉相消使得一些點幾率密度為零 而在的x0 x 區(qū)域由于透射波隨著的增加而呈指數(shù)衰減 幾率密度曲線很快單調下降至零 x 在方形勢壘情況 如果有限 則透射波不為零 與階梯勢壘的情況類似 由于在 0 u a 的區(qū)域內只存在透射波 所以幾率密度曲線為一直線 幾率密度為一常量 而在0 x 的區(qū)域由于存在入射波和反射波的干涉效應 使得粒子的幾率密度隨不同而波0 x x 動 并且值得注意的是在方形勢壘區(qū)域內 幾率密度值也并非總是單調地減小 特別是 發(fā)生共振透射時 在勢壘中存在一明顯的幾率密度峰 致 謝 在此真誠的感謝 注 釋 1 文中長度單位取為單位長度 1 2 2 0 u 2 文中波矢單位取為單位波矢 1 2 2 0 u 參考文獻 1 周世勛 量子力學教程 m 北京 高等教育出版社 19