（應用數學專業(yè)論文）三類生態(tài)模型解的漸近性研究.pdf

三類生態(tài)模型解的漸近性研究 余勝平 摘要本文通過構造l y a p u n o v 函數和泛函及遞歸序列，利用微分不等式等方 法，運用l y a p u n o v 定理、代數理論、比較原理、b a r b a l a t s 引理、連續(xù)性定理等理 論研究了三類生態(tài)模型解的漸近性，其中包括模型正平衡態(tài)的全局吸引性和全局 漸近穩(wěn)定性以及模型的一致持久生存性、正周期解的存在性和正概周期懈的存在 惟一性及穩(wěn)定性等解的性態(tài) 在具體的生態(tài)問題中，為了實際需要，須人為地改變種群規(guī)模的平衡態(tài)，一 種有效的辦法是在模型中引入反饋控制變量本文第一部分研究了一類具有反饋 控制的三種群捕食一競爭模型，通過利用l y a p u n o v 函數方法得到了模型正平衡點 全局漸近穩(wěn)定的充分條件；當考慮時滯因素時，通過構造遞歸序列和l y a p u n o v 泛 函的方法得到了模型正平衡點全局吸引和全局漸近穩(wěn)定的充分條件，得到的定理 結論說明在一定的條件下時滯對模型的全局吸引性無影響 現實世界中，群體的出生、生長與死亡或種群間的競爭、捕食與合作等一系 列過程都非常復雜，通常并不能用簡單的線性關系來反映，而是通過比較復雜的 功能反應函數來描述，而且被捕食種群或弱勢群體總是會借助于避難所的保護而 生存本文第二部分研究了一類具有避難所的比率型非自治三種群捕食者食餌 模型，首先利用微分不等式和l y a p t m o v 函數方法及b a r b a l a t 引理得到了模型一致 持久生存和全局漸近穩(wěn)定的充分條件然后利用b r o u w e r 不動點原理得到了該模 型周期系統正周期解存在惟一且全局漸近穩(wěn)定的充分條件最后對更具普遍意義 的概周期現象，通過構造輔助系統和l y a p u n o v 函數得到了系統正概周期解存在惟 一且全局漸近穩(wěn)定的充分條件在該模型中，由于避難所的存在，食餌的生存空 間被擴大了 在通常的競爭系統中，往往假設競爭者無論年齡大小，形體大小都具有相同 的競爭力，然而在自然界中幾乎所有動物的生長都要經歷幼年和成年兩個階段， 而且種群在不同的年齡階段其生理機能( 出生率、死亡率、競爭率等) 的差別比 較顯著如幼年種群沒有生育能力、死亡率較高、競爭力較弱，而成年種群不僅 有生育能力，而且生存能力較強，常常有能力與別的種群競爭生存區(qū)域內的有限 資源再者生態(tài)系統常會受到季節(jié)變遷、食物來源及動物配偶習慣等諸多因素的 影響為了反映這種生理現象和變化規(guī)律，本文第三部分研究了一類具有階段結 構和時滯的非自治生態(tài)模型，利用a s c o l i a r z e l a 定理和拓撲度理論及重合度理論中 的連續(xù)性定理得到了該模型存在正周期解的充分條件 關鍵詞：全局吸引性全局漸近穩(wěn)定性持久生存正周期解 a s y m p t o t i cp r o p e r t yr e s e a r c hf o r t h r e ek i n d so f e c o l o g i c a lm o d e l s s h e n g p u i gy u a b s t r a c ti nt h i sp a p e r ，t h ea s y m p t o t i cp r o p e r t yo ft h r e ee c o l o g i c a ls y s t e m si ss t u d i e db yc o n s t r u c t i n gl y a p u n o v f u n c t i o na n dl y a p u n o vf u n c t i o n a l ，e s t a b l i s h i n gr e e u r s i v e l ys e q u e n c e sa n de m p l o y i n gd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e se t c ，a n du s i n gl y a p u n o vt h e o r e m ，c o m p a r i s o nt h e o r e m ，b a r b a l a t s l e m m a ，t h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c ed e g r e et h e o r ye t c h e r e ，t h es y s t e m sa s y m p t o t i c p r o p e r t yi n c l u d e st h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo ft h es o l u t i o n s ，t h eg l o b a ls t a b i l i t yo ft h es o l u t i o n s ，t h e u n i f o r mp e r s i s t e n c e ，t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ep e r i o d i cs o l u t i o n se t c i ns o m es p e c i f i ce c o l o g i c a lq u e s t i o n s ，i ti s n e c e s s a r yt oc h a n g et h es p e c i e se q u i l i b r i u mb y m a n k i n df o rt h ep r a c t i c a lr e a s o n s a sw ea l lk n o w ，i ti sa ne f f e c t i v em e t h o dt oi n t r o d u c ef e e d b a c k c o n t r o l si n t ot h em o d e l i nt h ef i r s ts e c t i o no ft h i sp a p e r ，w es t u d yac l a s st h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r p r e y - c o m p e t i t i o ns y s t e mw i t hf e e d b a c kc o n t r o l s t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h eg l o b a l l ya s y m p - t o t i c a ls t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r ed e r i v e db yl y a p u o vf u n c t i o nm e t h o d a n dt h es u f f i c i e n t c o n d i t i o n so ft h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a la t t r a c t i n gp o s i t i v ee q u i l i b r i u ma n dt h eg l o b a l l ya s y m p t o t i c a ls t a b l ep o s i t i v ee q u i l i b r i u ma r er e s p e c t i v e l yd e r i v e df u rt h es y s t e mw i t hd e l a y sb y e s t a b l i s h i n g r e c u r s i v e l ys e q u e n c e sm e t h o da n dl y a p u n o v f u n c t i o nm e t h o d t h ec o n c l u s i o nw eo b t a i n e dr e v e a l s t h eg l o b a l l ya t t r a c t i v i t yo ft h ep o s i t i v ee q u i l i b r i u mi sn o ta f f e c t e db yt h ed e l a y s i nr e a l w o r l d ，as e r i e s o f p r o c e s s e s ：s p e c i e sb i r t h ，g r o w t ho r d e a t h ，p r e d a t o r - p r e y , c o m p e t i t i o n o r c o o p e r a t i o na m o n gs p e c i e se t c a r ev e r yc o m p l i c a t e d t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h e md i en o ta l w a y s l i n e a rb u ta r ea l lk i n d so ff u n c t i o n a lr e s p o n s i v ef u n c t i o n sm o r e o v e r ，t h ep r e yo ri n f e r i o rs p e c i e s e x i s t sb ym e a n so ft h es h e l t e ro ft h er e f u g e s i nt h es e c o n ds e c t i o n w es t u d yac l a s sn o n a u t o n o m o u s r a t i o - d e p e n d e n tt h r e e - s p e c i e sp r e d a t o r - p r e ys y s t e mw i t hr e f u g e s f i r s t l y , t h es u 斑c i e n tc o n d i t i o n sf o r u n i f o r mp e r s i s t e n c ea n dg l o b a l l ya s y m p t o t i e a ls t a b i l i t ya r eo b t a i n e db yu s i n gd i f f e r e n t i a li n e q u a l i t i e sa n dl y a p u n o vf u n c t i o nm e t h o da n db a r b a l a t sl e m m a t h e nt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so f t h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n sa n dp o s i t i v ea l m o s tp e r i o d i cs o l u t i o n sf u rc o r r e s p o n d i n gp e r i o d i c s y s t e ma n da l m o s tp e r i o d i cs y s t e ma r ea l s od i s c u s s e db yu s i n gb r o u w e rf i x e dp o i n tt h e o r e ma n d c o n s t r u c t i n ga u x i l i a r ys y s t e ma n dl y a p o u n o vf u n c t i o n i nt h ec l a s s i c a lc o m p e t i t i v es y s t e m ，i ti sa s s u m e dt h a te a c hi n d i v i d u a lc o m p e t i t o ra d m i t st h e s a m ea b i l i t yt oa t t a c ka n o t h e rc o m p e t i t o r h o w e v e ri nn a t u r a lw o r l d ，a l m o s ta l la n i m a l sh a v eal i f e h i s t o r yt h a tt a k e st h e mt h r o u g ht w os t a g e s ：i m m a t u r ea n dm a t u r e a n dd i f f e r e n ts t a g e sh a v e e v i d e n td i f f e r e n c ea b o u tt h e i rp h y s i o l o g i c a lc h a r a c t e r s ( b i r t h r a t e ，d e a t h r a t e ，c o m p e t i t i o na b i l i t ye t a i i ) f o ri n s t a n c e ，t h ei m m a t u r es p e c i e sc a n n o th a v er e p r o d u c t i v ea b i l i t ya n dc o m p e t i t i o na b i l i t yw h i l e t h em a t u r e s p e c i e sn o to n l yh a v er e p r o d u c t i v ea b i l i t yb u ta l s oh a v em o r ep o w e r f u ls u r v i v a lc a p a c i t y a n dc a nb ei nc o m p e t i t i o nw i t ha n o t h e rs p e c i e sf o rt h ef i n i t er e s o u r c ei nt h ee x i s t e n tr e g i o n a n d e c o l o g i c a ls y s t e m sa r eu s u a l l ya f f e c t e db ys e a s o nv a r i a t i o n f o o d sr e s o u r c ea r i dt h eh a b i to fa n i m a l s p r e g n a n c ye t c i no r d e rt od e s c r i b et h e s ep h y s i o l o g i c a lp h e n o m e n o na n dc h a n g er u l e sr e a l l y , i nt h e t h i r ds e c t i o n ，w es t u d yac l a s sn o n a u t o n o m o u s e c o l o g i c a lm o d e lw i t hs t a g e - s t r u c t u r ea n dd e l a y s b yu s i n ga s c o h - a r z e l at h e o r e m ，t o p o l o g i c a lt h e o r ya n dt h ec o n t i n u a t i o nt h e o r e mo fc o i n c i d e n c e d e g r e et h e o r y ，w eg e ts o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c eo ft h ep o s i t i v ep e r i o d i cs o l u t i o n k e y w o r d s ：g l o b a la t t r a c t i v i t yg l o b a l a z y m p t o t i c a ls t a b i l i t y p e r m a n e n c ep o s i t i v e p e r i o d i cs o l u t i o n s i i i 學位論文獨創(chuàng)性聲明 y7 2 8 5 8 9 本人聲明所呈交的學位論文是我在導師的指導下進行的研究工作及取得的研究成 果。盡我所知，除文中已經注明引用的內容外，論文中不包含其他個人已經發(fā)表或撰 寫過的研究成果。也不包含為獲得陜西師范大學或其它教育機構的學位或證書而使用 過的材料。對本文的研究做出重要貢獻的個人和集體，均已在文中作了明確說明并表 示謝意。 作者簽名：僉盟生日期：蟄籃：生 學位論文使用授權聲明 本人同意研究生在校攻讀學位職闖論文工作前知識產權單位屬陜西師范太學。本 人保證畢業(yè)離校后，發(fā)表本論文或使用本論文成果時署名單位仍為陜西師范大學。學 校有權保留學位論文并匈廈家主管部門或其它指定機構送交論文的電子版_ 和紙質版： 有權將學位論文用于非贏利目的的少量復制并允許論文進入學校圖書館、院系資料室 被查閱；有權將學位論文的內容編入有關數據庫進行檢索：有權將學位論文的標題和 摘要匯編出版。 作者簽名；金星墮墨日期：2 1 叢壘 第一章引言 生物數學的發(fā)展有利于人類更早的發(fā)現和掌握生態(tài)規(guī)律，而且能指導人類更 好地利用自然、改造自然，優(yōu)化資源和環(huán)境管理，因此被廣泛應用于森林開發(fā)、 害蟲綜合防治、預測污染物和有毒物分布、自然景觀和公園管理、生物群落的格 局、作物育種、漁業(yè)管理、人口統計和疾病分析等領域 到目前為止，對單種群的l o g i s t i c 增長的線性反饋控制模型的研究比較完善 ( 啡【4 ) ，對兩種群的具有反饋控制模型的研究已有較多成果( 5 7 1 ) ，但對具有反饋 控制的蘭種群模型的研究結果較少受文獻【7 】的啟發(fā)，本文第二章在文獻【8 的 模型中引入反饋控制變量和時滯，討論了具有反饋控制的捕食競爭系統 掣鈉( t ) f b t 咄t 邢) _ n l = 硎咖a 酬咱u 1 ( f 一圳 魚磐= 酬1 ( t ) a 2 2 t 2 ( t ) - - a 2 3 2 3 ( 壚e ：u 。( t - 訓， 皇! d 塑t - = 蜘( f ) f 6 3 z i ( t ) 。3 2 2 2 ( t ) 一口3 3 黝( t ) 一e 3 船( t 一勺) 】， 掣一目t u 心) 仙州t 一砒 警= 一姚+ a 2 x 2 ( t 一砒 生字= _ 啦蜊+ a a z 3 ( t 一面 當n = o ( i = 1 ，6 ) 時，通過利用l y a p u n o v 函數方法得到了模型正平衡點全局漸近 穩(wěn)定的充分條件；當n o ( i = 1 ，6 ) 時，分別用構造遞歸序列和l y a p u n o v 泛函方 法得到了模型正平衡點全局吸引和全局漸近穩(wěn)定的充分條件 近幾年對捕食系統和競爭系統的研究結果比較豐富( 【1 3 - 1 7 ) ，但對于其中被捕 食種群具有避難所的比率型系統的研究并不多見文獻【1 5 】研究了自治的比率型 捕食系統的持久性與穩(wěn)定性，文獻【1 6 研究了非自治的比率毅捕食者一兩競爭食 餌模獺的動力學行為，文獻【17 i 研究了具有避難所的非自治三種群捕食者食餌 模型考慮到現實世界中被捕食種群總是盡力尋找避難所以逃避被捕食，本文第 三章討論了具有避難所的非自治比率型捕食者兩捕食食餌系統，模型如下 f z ( 對= z t # ) 陋z ( 。一m t 辟) x l ( t ) 】一。z ：。) ( z t 印- h l ( t ) ) z ：( t ) 一竺堅 羔；i 萇j ：；i 迎， k ( f ) = 烈州哪) 柏m ) ( 州曠州糾一吲咖。( f ) 卜 a 2 a ( 麗t ) ( z 2 而( t ) 矸- h 2 面( t ) ) 萬x a 一( t ) ， 卜一刪一。水，+ 銷揣+ 鏷黼， 利用微分不等式和l y a p u n o v 函數方法得到了模型一致持久生存和全局漸近穩(wěn)定的 充分條件然后利用b r o u w e r 不動點原理得到了該模型周期系統正周期解存在惟 一且全局漸近穩(wěn)定的充分條件最后對更具普遍意義的概周期現象，通過構造輔 助系統和l y a p u n o v 函數得到了系統正概周期解存在惟一且全局漸近穩(wěn)定的充分條 件 在以往討論競爭系統的文獻中很多作者都假設每個競爭個體具有相同的競爭 力( 2 2 2 4 】) 而在自然界中，許多種群的生長過程都要經歷幼年和成年兩個階段， 比如海鯨和海豹近年來，也有不少作者研究了具階段結構的數學模型( 2 5 】_ 2 7 ) ， 但研究較符合實際背景的非自治階段結構模型的文獻不多本文第四章考慮如下 非自治兩種群競爭系統的生態(tài)模型 | 圣1 ( ) = n 1 ( t ) z 2 ( t ) 一m ( ) l ( ) 一1 ( ) e j t u 饑忙出z 2 ( 亡一7 1 ) ， l 圣2 ( # ) = o t l ( t ) e - j t q 扣塒。七2 0 n ) 一盧l ( t ) z i ( t ) 一e l ( t ) x 2 ( t ) 一o l ( t ) 口2 ( t ) 珈o ) ， i 雪1 ( t ) = 口2 ( t ) 啦o ) 一他( ) 掣1 ( t ) 一n 2 ( t ) e j t 一1 協扣塒4 2 2 0 n ) ， 【如( t ) = 0 1 2 ( t ) e - - j ：f 2 似州。訛 一龜) 一如( t ) 譴( t ) 一e 2 ( t ) y 2 ( t ) 一n 2 ( t ) y 2 ( t ) z 2 ( t ) 利用重合度理論中的連續(xù)性定理得到了該模型存在正周期解的充分條件 第= 章具有反饋控制的捕食一競爭系統的全局性態(tài) f 挈= 硎吼咄t 刪- - a 1 2 ：c 2 ( t ) - - a 1 3 x 3 ( 圳， 墮= 酬吣m ) - - n 2 2 x 2 ( f ) 咄a 刪】， 1 墮= 酬m ) 咄。刪_ a 3 腳】 給出了系統( t ) 正平衡點全局吸引的充分條件，其中趣，。蒔( f ，j = 1 ，2 ，3 ) 均為正常 數受文獻【7 】的啟發(fā)，本章第二節(jié)對系統( + ) 的釓z 。和蜘分別引入反饋控制變量 u l ，u 2 和討論了比文獻【7 】更為全面的具有反饋控制的捕食競爭系統 掣墮= 刪脅一m ，刪咱z 酬g 1 3 x 3 ( f ) _ 剛刪， 生d 盟t = 。2 ( t ) 6 2 。1 ( t ) 一啦z z ：( t ) - - a 2 3 2 3 ( t ) 一e 2 u 2 ( t ) ， 鬻鈾陽州咖叫曠0 3 3 吲壚郇s ( f ) ， ( 1 1 ) 掣一她+ 口l 酬， ”4 掣；一訛怕洲， 掣= 一懶+ a 3 2 3 ( 蟣 用構造l y a p u n o v 函數的方法討論了( 1 1 ) 正平衡點的全局漸近穩(wěn)定性，得到了比 ( + ) 正平衡點全局漸近穩(wěn)定更為一般的條件，其中b 種o ，吼( i ，= 1 ，2 ，3 ) 均為正 常數本章第三節(jié)討論了具有反饋控制與時滯的捕食競爭系統 ! ! 墨d 盟t = 9 1 ( 茚眵l 一。i 。z - ( 坊一b 1 2 。2 ( 。) 一b 。s z 3 ( ) - - e l “l(fā) ( 一n ) ， 1 d x 2 r ( t ) = 勛( t ) z l ( t ) - - g 2 2 ：c 2 ( f ) - - n 2 3 2 ：3 ( t ) 一e 2 ( t 億) ， 蓑鈾m ) _ a 3 2 吲滬3 3 州螂m 咱) 】i ( 1 2 ) 挈叫t 州+ a l x l ( ) ， ” d u i 2 f ( t 一) = 一，7 2 u 2 ( 。) + 。2 2 2 ( 一n ) ， 掣= 一桃+ a 3 x 3 ( t 一斟 其中b ；，n u ，啦，包，哺( i ，j = 1 ，2 ，3 ) 均為正常數，n ( 江l ，6 ) 為非負時滯參數，其生態(tài) 意義是指以前的t 時刻反饋控制變量與種群密度對于相應t 時刻種群密度的變化 3 率與反饋控制變量的變化率的影響為了討論方便起見，本文取r i = r ( i = 1 ，6 ) 采用文獻 7 】中構造遞歸序列的方法討論了( 1 2 ) 正平衡點的全局吸引性，得到了 系統f 1 2 ) 正平衡點全局吸引的充分條件，并通過構造l y a p u n o v 泛函的方法給出了 正平衡點全局漸近穩(wěn)定的充分條件 5 2 2 具有反饋控制的穩(wěn)定性 假設( 1 t ) 的系數滿足 塑墮一 0 ，x a ( o ) o ，“1 ( 0 ) 0 ，亂2 ( o ) 0 ，u 3 ( o ) 0( 2 3 ) 定理2 2 1 ( 1 1 ) 滿足( 2 3 ) 的所有解 z 1 ( f ) ，z 2 0 ) ，z 3 ( t ) ，u l ( t ) ，u 2 ( t ) ，u 3 ( t ) )( 2 4 ) 對任意的t 0 均為正且有界 證明先證對于d o ，( 1 1 ) 滿足( 2 3 ) 的解( 2 4 ) 保持為正的最大存在區(qū)間是 t ，= 【o ，6 ) 否則，可假設 。ej 是第一個滿足下列條件的點 x l ( t 1 ) = 0 ，z 】( t ) 0 ，z 2 ( t ) 0 ，x a ( t ) 0 ，u 1 ( t ) 蘭0 ，u 2 ( t ) 0 ，u a ( t ) 0 ，( f 0 ，t 1 ) ) 由( 1 1 ) 可知，當tej 時 州忙州0 ) e x p z 。 b i - - q l l x l ( 滬吲s ) - - a 1 3 2 3 ( s ) 咱州s ) j 如 故z t ( t 1 ) 0 ，這與 1 的定義矛盾因此，當j 時。l ( f ) 0 類似地可證當e ，時 z 2 ( t ) 0 ，1 3 ( t ) 0 l ( t ) 0 ，u 2 ( t ) 0 ，u a ( t ) 0 4 時 以下證明，：【o ，+ 。) 只須證( 2 4 ) 對任意有限t 0 有界假設在有限點t 2 0 則存在b 使得0 t 3 m a x 。s 野u p 1 ( ) ，石b l + 1 ) 由( 11 ) 可得! ! 擊址z t t 3 i b ，一蚍2 l ( t 3 ) o ( i = 1 ，6 ) 使得 d + w 7 ( t ) 一7 1 z ；l e 蟣( ) 一1 i 一協。；l e 挑【) 一1 1 一加z ；l e 舶( ?！恳? i 一柏j 1 ( t ) j 一7 5j v 2 ( t ) j 一柏j 詒( ) j 由于系統( 1 1 ) 的解為正且有界，故存在o i o ( i = l ，2 ，3 ) 使得x i ( t ) = 。：e ( t 微分中值定理可得z ；炒( 。) 一1j = 2 ：e 岬z j 乳( 0 i 啦脅( 砷 ，其中。；e 口( t ) 介于如( ) 之間令1 = r a i n 7 1 t 3 t 1 ，7 2 a 2 ，柏口3 ，訊，7 6 ，則由( 2 1 3 ) 可得 d + w ( t ) s 一7 ( f i ( ) i + f 馳( ) f + f 始( ) + h ( t ) f + f 也( ) f 十地( t ) ) ( 2 1 2 ) ( 2 1 3 ) 毗，由 和z ； f 2 1 4 ) 注意到( t ) e ( i ”l ( 0 1 + m ( ) i + i ”a ( t ) l + j 口l ( ) l + i 2 ( t ) l + i 3 ( t ) i ) ，其中c = m i n a ，i ： i ，6 結合( 2 1 4 ) ，由l y a p u n o v 定理可得( 2 6 ) 的零解是全局漸近穩(wěn)定的，所以( 1 1 ) 的正平衡點( 味z ；，。；，u ：，u ；，”) 是全局漸近穩(wěn)定的定理證畢 注t 函數 在證明模型( 1 1 ) 正平衡態(tài)的全局漸近穩(wěn)定性時，若構造如下的l y a p u n o v 33 p ( 虬n 3 ) = q k z ；一。；脅( 熹) + q + 。一“壚 0 2 1 j 2 1 其中c 1 ，c 2 ，c s ，c 4 ，g 5 ，島是待定的正常數利用拉塞爾不變原則 9 , p 1 3 8 可以得到模 型( 11 ) 正平衡態(tài)全局漸近穩(wěn)定的不同于定理2 2 2 的充分條件 麗a 2 3 r 3 籌 警， ( n ) 鯉l o ，也，母g ( 【一r ，0 3 ，駐+ ) ，蛇+ = 【0 ，+ 。) ，i = 1 ，2 ，3 利用文獻 1o 中的方法和步驟，可證( 1 2 ) 滿足( 3 1 ) 的解在區(qū)間 o ，+ 。0 ) 上為正且有 界，而且存在惟一的正平衡點 定理2 3 1 假設( 1 2 ) 中的系數滿足下列條件 ( i ) 6 - n t 。篆魂”+ 。3 墮a 3 3 罰”+ e ，魂”， ( i i ) 幻【6 ，一毗皂聯“一吣急魂“一e - 耐d 】去 。2 3 旦0 , 3 3 研d + e 。旌“， ( 3 2 ) ( i i i ) 6 a 6 - 一螄墮6 2 2 亓n 1 口1 3 急耐“一e - 辮”】去 。，墮a 2 2 瞬u 十e ?；辍?則對( 1 2 ) 滿足( 3 1 ) 的任一正解( z ( f ) ，z 2 ( t ) ，z 3 ( ) ，u x ( t ) ，u 2 ( t ) ，“3 ( t ) ) ，有 t 魄( z ，( ，z 蚺( ) ，u ，( t ) m ( t ) ，3 ( t ) ) = ( 味喀2 糾，“堿) ， ( 3 - 3 ) 其中弼1 1 = 播，旎1 = 囂恕且o 1 i ，魂1 = “。s 且a s s 且( 1 1 1 證明若( 3 ，2 ) 成立，則條件( 21 ) 滿足，故( 1 2 ) 的正平衡點( 味。；，z ；，“玉“；) 存在惟一由系統( 1 2 ) 的性質和解的正性( 參見文獻 7 ，1 1 】) 可知，對v s - 0 ，j t - 0 ，使得t t l 時，有 z t i t ) x f ”= 魯帕 。( t ) 捌1 = 墮a 2 2 x f l l 黝 趟”= 羔_ i ” 7 u 1 ( ) 等，則當t 矗時，有掣 0 矛盾，所以1 1 = 等即對v e l 0 ，( 3 6 ) 成立 若z - ( t ) 關于皋振動，令 ) 是滿足z ，( ) = 。b _ 。l 。的點列，由( 1 2 ) 可得 掣蜘( 馴( 馴乩m(xù) = 1 , 2 此式與z ，關于點基振動矛盾所以當t t o 時 刪曼殺 ( 37 ) 其中砧 0 是第一個滿足。) = 魯的點 由( 3 6 ) 和( 3 7 ) ，可得( 3 4 ) 中的第一個不等式類似地可證( 3 4 ) 中其它不等式 成立由條件( 3 2 ) 知，可取s l 0 ，t i 0 ，使得t t ，時 b 1 一毗”一a 1 3 磚”一e l 叫1 0 ， 6 2 ( 6 一劬硝”一吣霸“一e ，叫1 ) 去一蚴硝“一e 。叫1 1 o ， ( 3 8 ) b 3 ( b l 一衄趟”一吣x ”一e l 皤1 ) _ 1 一毗列”一e 3 叫1 o u 1 1 取e 2 o 且e 2 0 ， u 1 1 去o 。m 一毗面”一n t a 捌”一e - 叫q ) 擊一咖磚”一e 。川”) 一釓2 坷” o ， ( 3 ，9 ) - 。! 。- 1 。 b a ( b 一毗趔”一劬x l ”一e - 叫”) 去一咖趣“一e 。叫 ) 一e = 。培” o t 當t t 1 + r 時有 掣 州吼咱z x 肚蛐礎“咱u f l 】) - - a l l x l 掣 州( 6 。y ”咱。列“咱噸。嘲， 掣 州瑤”咱。x 卜e s - - 0 3 3 2 ：3 j 8 因此現 1 十r 使得t 三嶼時，有 。，( ) 科”，z 。( t ) 瑤”，z s ( t ) 蠟1 由( 3 i o ) 和( 1 2 ) 可得t 吐+ f 時 唑旦 哪u 、( t ) + n - 塒u 掣 嘞u 2 ( t ) + n 2 y ” 掣 哪刪怕y ；” 由如上微分不等式可知 如 0 ，當t 圯時，有 訓( ：l ，2 ，3 ) j t j v f f 在，即i 如 唣+ r 使得對充分小的 “。( 。) w 1 1 = 詈y l ( ”一詈 o ， u 羽) 皤1 = 薏蟛“一號 0 1 蜊 w 1 = a 喲8 y , 。( ”一爺o 。 將( 3 1 0 ) 中的下界代入( 1 2 ) 式，可得當t 屯+ r 時 ( 3 1 1 ) 生磐 。，t ( b ，一。，。“一m s 磅”一e t w ”) 一蟣t 。- ， 蟲萼i 墮 現 ( b x p l 一。2 。蚶1 一e 2 w 1 ) 一。$ 。) ， d t 蟲巡d t 2 。使得島 圯+ r 使得t 如時，有 研( ) 磷對；( 6 。一。2 瑤”一n 3 y ：1 一q w l ) ) 者+ 8 3 ， 。2 ( t ) x p l ：( b x i ”一d ：3 磅“一e 2 疃”) 亳+ 8 3 ， 黝 啪x 卜8 3 2 蟛“_ e 3 蚋去+ 3 ， 3 - 1 2 州 一：票掣+ 弘( 。 = 2 + 詈， u 3 ( t ) 蚴硝2 + e 。啦 ( 31 3 ) ”n 1 2 x 黔蛐x 弘m ，去 。乳球 取幽 0 且5 4 o ， 去( b l - - a 1 2 x 2 ) - a l a x 5 ”一e - 叫2 ) 壺一。s 硝”一e 。叫2 一。t = 蟛2 。， ( 3 1 4 ) 去陋。( b l - a 1 2 x 2 ) - a l s 硝”一e ，叫2 ) 去一咖墨”一e a 蟛 - - e 4 = 培卻 o 叉當t t 3 + r 時，有 掣 州m 。x 5 = ) _ a l a x ( a 咱喲咱，州 d a 礦a ( t ) z 。訛儼咄s 拶- e 2 咿) 咱。) ， d x a i ( 一t ) z s ( 6 ?？伞耙籲 a 。趣”一e 3 唾2 ) 一嘶。) 貝0 當t 吐2 t 3 + r 時，有 z 1 ( ) h ”，z 2 ( t ) 蟛”，z 3 ( t ) 2 利用( 3 1 5 )