2014年寒假 自主招生班型導(dǎo)學(xué)2物理部分-運(yùn)動(dòng)學(xué) 力與牛頓定律

2014 年寒假自主招生班型導(dǎo)學(xué) （第 二 次） （物理） 資料說明 本導(dǎo)學(xué)用于學(xué)員在實(shí)際授課之前，了解授課方向及重難點(diǎn)。同時(shí)還附上部分知識(shí)點(diǎn)的詳細(xì)解讀。每個(gè)班型導(dǎo)學(xué)共由 4 次書面資料構(gòu)成。此次發(fā)布的為第 二 次導(dǎo)學(xué)，后面的第 三次導(dǎo)學(xué)，將于 2013 年 12 月 15 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司還會(huì)發(fā)布相應(yīng)班型的詳細(xì)授課大綱，敬請(qǐng)關(guān)注。 自主招生郵箱： 數(shù)學(xué)競(jìng)賽郵箱： 物理競(jìng)賽郵箱： 化學(xué)競(jìng)賽郵箱： 生物競(jìng)賽郵箱： 理科精英郵箱： 清北學(xué)堂集中 培訓(xùn)課程 導(dǎo)學(xué)資料 （ 2014 年寒假集中培訓(xùn) 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/12-2-1A 2013-12-5 發(fā)布 清北學(xué)堂教學(xué)研究部 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 1 頁 2014 年寒假自主招生班型導(dǎo)學(xué) （物理 1） 導(dǎo)學(xué)內(nèi)容大綱 . 3 重點(diǎn)與難點(diǎn) . 5 導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn) . 6 1. 運(yùn)動(dòng)學(xué) . 6 1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng) . 6 1.2 分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng) . 6 1.3 斜拋運(yùn)動(dòng) . 6 1.4 圓柱螺旋線、阿基米德螺線、擺線、漂移螺線 . 7 1.5 v-t 圖求解運(yùn)動(dòng)問題 . 7 2. 力與牛頓定律 . 7 2.1 摩擦力 . 7 2.2 慣性系與非慣性系 . 8 2.3 常見慣性力 . 8 2.4 視重、超重和失重 . 8 3. 物體的平衡 . 8 3.1 共點(diǎn)力作用下物體的平衡 . 8 3.2 物體平衡的種類 . 9 4. 動(dòng)量 . 9 4.1 質(zhì)心參考系 . 9 4.2 反沖運(yùn)動(dòng) . 9 5. 機(jī)械能 . 9 5.1 引力勢(shì)能 . 9 5.2 質(zhì)點(diǎn)及均勻球殼殼內(nèi)和殼外的引力勢(shì)能公式 . 10 5.3 彈簧的彈性勢(shì)能 . 10 5.4 碰撞、恢復(fù)系數(shù) . 10 6. 天體運(yùn)動(dòng) . 10 6.1 開普勒定律 . 10 6.2 軌道形狀 . 11 6.3 三個(gè)宇宙速度 . 11 7. 機(jī)械振動(dòng) . 12 7.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng) . 12 7.2 單擺、等效擺長 . 13 7.3 波動(dòng)方程 . 13 7.4 波的疊加、干涉和衍射 . 13 7.5 多普勒效應(yīng)及應(yīng)用 . 14 8. 熱學(xué) . 14 8.1 分子動(dòng)理論的基本觀點(diǎn) . 14 8.2 溫度和氣體壓強(qiáng)的微觀解釋 . 14 8.3 分子力、動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能 . 15 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 2 頁 8.4 理想氣體狀態(tài)方程 . 15 8.5 熱力學(xué)第一定律 . 16 8.6 熱力學(xué)第二定律 . 16 8.7 物態(tài)變化 . 16 8.8 熱傳遞 . 16 導(dǎo)學(xué)習(xí)題 . 17 1. 運(yùn)動(dòng)學(xué) . 17 2. 力與牛頓定律 . 18 3. 物體的平衡 . 20 4. 動(dòng)量 . 21 5. 機(jī)械能 . 22 6. 天體運(yùn)動(dòng) . 23 7. 機(jī)械振動(dòng) . 23 8. 熱學(xué) . 24 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 3 頁 導(dǎo)學(xué) 內(nèi)容大綱 1.運(yùn)動(dòng)學(xué) 相對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)速度 伽里略速度變換：絕對(duì)速度 =相對(duì)速度 +牽連速度 分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng) 斜拋運(yùn)動(dòng) 圓柱螺旋線、阿基米德螺線、擺線、漂移螺線 v-t 圖求解運(yùn)動(dòng)問題 2.力與牛頓定律 滑動(dòng)摩擦力、動(dòng)摩擦因數(shù)、摩擦角、靜摩擦力、最大靜摩擦力 慣性系 非慣性系 慣性力 (離心力、地轉(zhuǎn)偏向力 ) 視重、超重和失重 3.物體的平衡 共點(diǎn)力作用下物體的平衡 力矩平衡 重心 物體平衡的種類 4.動(dòng)量 沖量、動(dòng)量、動(dòng)量定理 質(zhì)點(diǎn)與質(zhì)點(diǎn)組的動(dòng)量定理 動(dòng)量守恒定律 反沖運(yùn)動(dòng)及火箭 5.機(jī)械能 功和功率 動(dòng)能和動(dòng)能定理 重力勢(shì)能 質(zhì)點(diǎn)及均勻球殼殼內(nèi)和殼外的引力勢(shì)能公式 (不要求導(dǎo)出 ) 彈簧的彈性勢(shì)能 功能原理 機(jī)械能守恒定律 碰撞、恢復(fù)系數(shù) 6.天體運(yùn)動(dòng) 在萬有引力作用下物體的運(yùn)動(dòng) 開普勒定律 行星和人造天體的圓軌道和橢圓軌道運(yùn)動(dòng) 引力勢(shì)能 三個(gè)宇宙速度 7.機(jī)械振動(dòng) 機(jī)械波 簡(jiǎn)諧振動(dòng)周期、振幅、頻率、位移、速度、加速度、恢復(fù)力、能量 單擺、等效擺長 波的函數(shù) 波的疊加、干涉和衍射 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 4 頁 多普勒效應(yīng)及應(yīng)用 8.熱學(xué) 分子動(dòng)理論的基本觀點(diǎn) 阿伏伽德羅常數(shù) 溫度和氣體壓強(qiáng)的微觀解釋 分子力 分子動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能 理想氣體狀態(tài)方程 U 型管類型題 熱力學(xué)第一定律 理想氣體的內(nèi)能 熱力學(xué)第一定律在理想氣體等容、等壓、等溫和絕熱過程中的應(yīng)用 熱力學(xué)第二定律 物態(tài)變化 熱傳遞 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 5 頁 重點(diǎn) 與 難點(diǎn) 本次導(dǎo)學(xué)主要涉及模塊為力學(xué)和熱學(xué)。力學(xué)部分按照研究?jī)?nèi)容劃分，主要包括運(yùn)動(dòng)學(xué)、靜力學(xué)、動(dòng)力學(xué)等內(nèi)容，是歷次自主招生考試以及高考中的重點(diǎn) ， 對(duì) 2013 年華約、北約、卓越三個(gè)聯(lián)盟的自主招生真題分析顯示，力學(xué)部分所占比例分別為 35%、 62.5%、 48%， 熱學(xué)部分所占比例分別為 10%、 4%、 4%。這些比例表明力學(xué)部分 在自主招生考試中占據(jù)相當(dāng)大的比例，而熱學(xué)部分肯定有所涉及。力學(xué)部分 的 重要 考點(diǎn)有 天體運(yùn)動(dòng) 、 運(yùn)動(dòng)的合成與分解 、動(dòng)量與能量 以及不同物理情景的受力分析。 其中，由于電磁學(xué)部分經(jīng)常會(huì)涉及到計(jì)算 帶電粒子以及導(dǎo)體在電場(chǎng)、磁場(chǎng)以及重力復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)軌跡 ，以及 通電導(dǎo)線在磁場(chǎng)中的受力分析以及運(yùn)動(dòng)情況分析 ，這些部分是自主招生考試中的難點(diǎn)。熱學(xué)部分的重要考點(diǎn)是 理想氣體狀態(tài)方程 和 熱力學(xué)第一定律 ，其中難點(diǎn)為 等容過程 、 等壓過程 、 等溫過程 、 絕熱過程 等過程的 內(nèi)能變化情況，比較復(fù)雜且容易混淆，是熱學(xué)部分的難點(diǎn) 。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 6 頁 導(dǎo)學(xué) 知識(shí)點(diǎn) 1. 運(yùn)動(dòng)學(xué) 1.1 相對(duì)運(yùn)動(dòng) 任何物體的運(yùn)動(dòng)都是相對(duì)于一定的參照系而言的，相對(duì)于不同的參照系，同一物體的運(yùn)動(dòng)往往具有不同的特征、不同的運(yùn)動(dòng)學(xué)量。 通常將相對(duì)觀察者靜止的參照系稱為靜止參照系；將相對(duì)觀察者運(yùn)動(dòng)的參照系稱為運(yùn)動(dòng)參照系。物體相對(duì)靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為絕對(duì)運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為絕對(duì)速度和絕對(duì)加速度；物體相對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系的運(yùn)動(dòng)稱為相對(duì)運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為相對(duì)速度和相對(duì)加速度；而運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)靜止參照系的運(yùn)動(dòng)稱為牽連運(yùn)動(dòng)，相應(yīng)的速度和加速度分別稱為牽連速度和牽連加速度。 絕對(duì)運(yùn)動(dòng)、相對(duì)運(yùn)動(dòng)、牽連運(yùn)動(dòng)的速度關(guān)系是：絕 對(duì)速度等于相對(duì)速度和牽連速度的矢量和。 =+vvv絕 對(duì) 相 對(duì) 牽 連 ，也稱為伽里略速度變換。 這一結(jié)論對(duì)運(yùn)動(dòng)參照系是相對(duì)于靜止參照系作平動(dòng)還是轉(zhuǎn)動(dòng)都成立。 當(dāng)運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)靜止參照系作平動(dòng)時(shí)，加速度也存在同樣的關(guān)系： 當(dāng)運(yùn)動(dòng)參照系相對(duì)靜止參照系作轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)，這一關(guān)系不成立。 1.2 分運(yùn)動(dòng)與合運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)的合成與分解是矢量的合成與分解的一種。運(yùn)動(dòng)的合成與分解一般包括位移、速度、加速度等的合成與分解。運(yùn)動(dòng)的合成與分解的特點(diǎn)主要有： 運(yùn)動(dòng)的合成與分解總是與力的作用相對(duì)應(yīng)的； 各個(gè)分運(yùn)動(dòng)有互不相干的 性質(zhì)，即各個(gè)方向上的運(yùn)動(dòng)與其他方向的運(yùn)動(dòng)存在與否無關(guān)，這與力的 獨(dú)立作用原理 是對(duì)應(yīng)的； 位移等物理量是在一段時(shí)間內(nèi)才可完成的，故他們的合成與分解要講究等時(shí)性，即各個(gè)運(yùn)動(dòng)要取相同時(shí)間內(nèi)的位移； 瞬時(shí)速度等物理量是指某一時(shí)刻的，故它們的合成分解要講究瞬時(shí)性，即必須取同一時(shí)刻的速度。 兩直線運(yùn)動(dòng)的合成不一定就是直線運(yùn)動(dòng)，這一點(diǎn)同學(xué)們可以證明。如： 兩勻速直線運(yùn)動(dòng)的合成仍為勻速直線運(yùn)動(dòng)； 兩初速為零（同一時(shí)刻）的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合成仍為初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)； 在同一直線上的一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)和一個(gè)初速為零的勻變速運(yùn)動(dòng)的 合運(yùn)動(dòng)是一個(gè)初速不為零的勻變速直線運(yùn)動(dòng)，如：豎上拋與豎下拋運(yùn)動(dòng)； 不在同一直線上的一個(gè)勻速運(yùn)動(dòng)與一個(gè)初速為零的勻加速直線運(yùn)動(dòng)的合成是一個(gè)曲線運(yùn)動(dòng)，如：斜拋運(yùn)動(dòng)。 1.3 斜拋運(yùn)動(dòng) 物體以一定的初速度拋出后，若忽略空氣阻力，且物體的運(yùn)動(dòng)在地球表面附近，它的運(yùn)動(dòng)高度遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于地球半徑，則在運(yùn)動(dòng)過程中，其加速度恒為豎直向下的重力加速度。因此，拋體運(yùn)動(dòng)是一種加速度恒定的曲線運(yùn)動(dòng)。 根據(jù)運(yùn)動(dòng)的疊加原理，拋體運(yùn)動(dòng)可看成是由兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)疊加而成。常用的處理方法是 :牽連相對(duì)絕對(duì) aaa 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 7 頁 將拋體運(yùn)動(dòng)分解為水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的勻變速直線運(yùn)動(dòng)。 1.4 圓柱螺旋線、阿基米德螺線、擺線、漂移螺線 圓柱螺旋線 ：在圓柱表面上形成的曲線。圓柱表面上一動(dòng)點(diǎn)繞圓柱的軸線作等速回轉(zhuǎn)運(yùn)動(dòng) ,同時(shí)沿圓柱的軸線方向作等速直線運(yùn)動(dòng)，此動(dòng)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡為圓柱螺旋線。 阿基米德螺線 ：亦稱 “等速螺線 ”。當(dāng)一點(diǎn) P 沿動(dòng)射線 OP 以等速率運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，該射線又以等角速度繞點(diǎn) O 旋轉(zhuǎn)，點(diǎn) P 的軌跡稱為 “阿基米德螺線 ”。 擺線 ：一個(gè)圓沿一直線緩慢地滾動(dòng)，則圓上一固定點(diǎn)所經(jīng)過的軌跡稱為擺線。 漂移螺線 ：同一平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)與勻速圓周運(yùn)動(dòng)疊加形成的曲線。 1.5 v-t 圖求解運(yùn)動(dòng)問題 巧用 v-t 圖像，可以使一些運(yùn)動(dòng)學(xué)問 題的求解簡(jiǎn)單明了，還可以解決一些運(yùn)用公式法無能為力的問題。運(yùn)用 v-t 圖像解題，首先要搞清圖像的意義，圖象代表速度隨時(shí)間的變化規(guī)律，圖像上某點(diǎn)的斜率代表對(duì)應(yīng)時(shí)刻的加速度的大小，圖像與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積代表位移的大小，兩圖像的交點(diǎn)僅表示這時(shí)刻，兩物體的速度相同。 2. 力與牛頓定律 2.1 摩擦力 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體之間存在相對(duì)滑動(dòng)的趨勢(shì)（就是說：假如它們之間的接觸是 “光滑的 ”，將發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)）時(shí)，產(chǎn)生的摩擦力為 靜摩擦力 ，其方向與接觸面上相對(duì)運(yùn)動(dòng)趨勢(shì)的指向相反，大小視具體情況而定，由平衡條件或從動(dòng)力學(xué)的運(yùn)動(dòng)方程解算出來 ， 最大靜摩擦力 為 式中 稱為 靜摩擦因數(shù) ，它取決于接觸面的材料與接觸面的狀況等， N 為兩物體間的正壓力。 當(dāng)兩個(gè)相互接觸的物體之間有相對(duì)滑動(dòng)時(shí)，產(chǎn)生的摩擦力為 滑動(dòng)摩擦力 。滑動(dòng)摩擦力的方向與相對(duì)運(yùn)動(dòng)的方向相反 ,其大小與兩物體間的正壓力成正比。 為 滑動(dòng)摩擦因數(shù) ，取決于接觸面的材料與接觸面的表面狀況，在通常的相對(duì)速度范圍內(nèi)，可看作常量。在接觸物的材料和表面粗糙程度相同的條件下，靜摩擦因數(shù) 略大于動(dòng)摩擦因數(shù) 。在通常情況下， 可不加區(qū)別。 令靜摩擦因數(shù) 等于某一角 的正切值，即 ，這個(gè) 角就稱為摩擦角。在臨界摩擦（將要發(fā)生滑動(dòng)狀態(tài)下） , 。支承面作用于物體的沿法線方向的彈力 N 與最大靜摩擦力 的合力 F（簡(jiǎn)稱全反力）與接觸面法線方向的夾角等于摩擦角。 Nf 0max 0Nf 0 與00 tg0 tgNf 0max maxf清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 8 頁 2.2 慣性系 與 非慣性系 牛頓第一定律不成立 的參考系叫非慣性參考系，簡(jiǎn)稱 非慣性系 ，如加速運(yùn)動(dòng)的小車、考慮自轉(zhuǎn)時(shí)地球等。 非慣性系相對(duì)慣性系有加速度，因此相對(duì)慣性系沒有加速度的物體對(duì)非慣性系有加速度，因此在非慣性系看來認(rèn)為物體受到了一種 方向與非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度相反 的力，這種力叫慣性力： amF 慣 ， m 為物體質(zhì)量， a 為非慣性系相對(duì)于慣性系的加速度。 慣性力 不是真實(shí)存在 的，因此 沒有反作用力 。引入慣性力后非慣性系中動(dòng)力學(xué)方程與慣性系 形式相同 。 2.3 常見 慣性力 離心力： 是一種虛擬力，它使旋轉(zhuǎn)的物體遠(yuǎn)離它的旋轉(zhuǎn)中心。在一個(gè)非慣性參考系下觀測(cè)到的一個(gè)慣性力，和向心力的反作用力。 科里奧利力：以地球這個(gè)轉(zhuǎn)動(dòng)物體為參照系所加入的慣性力，它的水平分量總是指向運(yùn)動(dòng)的右側(cè)，即指向相對(duì)速度的右側(cè)。例如速度自北向南，科里奧利力則指向西方。這種長年累月 的作用，使得北半球河流右岸的沖刷甚于左岸，因而比較陡峭。雙軌鐵路的情形也是這樣。在北半球，由于右軌所受壓力大于左軌，因而磨損較甚。南半球的情況與此相反，河流左岸沖刷較甚，而雙線鐵路的左軌磨損較甚。 2.4 視重、超重和失重 加速度有向上的分量時(shí)，物體對(duì)支持物的壓力或?qū)覓煳锏睦Γ匆曋兀┐笥谥亓?超重。常見運(yùn)動(dòng)形式為加速上升或減速下降。當(dāng)加速度有向下的分量時(shí)，物體對(duì)支持物的壓力或?qū)覓煳锏睦Γ匆曋兀┬∮谖矬w的重力 失重。常見運(yùn)動(dòng)形式為：加速下降或減速上升。當(dāng)物體加速下降或減速上升時(shí)加速度為重力加速度 g 時(shí)，物體對(duì)支持物的壓力或?qū)覓煳锏睦Γㄒ曋兀榱?完全失重。 注：超重、失重現(xiàn)象中物體所受的重力并沒有發(fā)生變化。 3. 物體的平衡 3.1 共點(diǎn)力作用下物體的平衡 共點(diǎn)力平衡條件為合力為零，即 0i iF ，分量形式為 0i ixF ， 0i iyF 。物體受三個(gè)不平行的力作用平衡時(shí)，三力必為共點(diǎn)力。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 9 頁 3.2 物體平衡的種類 物體一般的受力平衡條件為合力為零且合力矩為零，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩為零的含義是對(duì)任意轉(zhuǎn)軸（支點(diǎn)）合力矩為零。 物體的平衡可分為穩(wěn)定平衡、不穩(wěn)定平衡和隨遇平衡三類。 穩(wěn)定平衡 ：當(dāng)物體 稍稍偏離 平衡位置時(shí)，有力或力矩使其回到平衡位置。 不穩(wěn)定平衡 ：當(dāng)物體 稍稍偏離 平衡位置時(shí)，有力或力矩使其偏離繼續(xù)增大。 隨遇平衡 ：當(dāng)物體偏離平衡位置時(shí)，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，能 在新的位置再次平衡 。 平衡類型的判斷方法有受力（力矩）分析法、重心升降法和支面判斷法。 受力（力矩）分析法 ：偏離平衡位置時(shí)，所受外力指向平衡位置，穩(wěn)定平衡；外力背離平衡位置，不穩(wěn)定平衡；外力為零，隨遇平衡。 重心升降法 ：偏離平衡位置時(shí)，重心升高，穩(wěn)定平衡；重心降低，不穩(wěn)定平衡；重心高度不變，隨遇平衡。 支面判斷法 ：有支面物體平衡時(shí) 重力作用線過支面 。偏離平衡位置時(shí)，重力作用線仍過支面，穩(wěn)定平衡；重力作用線不過支面，不穩(wěn)定平衡。 4. 動(dòng)量 4.1 質(zhì)心參考系 以質(zhì)點(diǎn)組的質(zhì)心為原點(diǎn)，坐標(biāo)軸與靜止慣性參考系平行，這種參考系稱為質(zhì)心參考系或質(zhì)心系。 我們所研究的系統(tǒng)，如果所受的合外力為零，則質(zhì)心 C 在靜止慣性參考系中以恒定速度 cV 作慣性運(yùn)動(dòng)，此時(shí)質(zhì)心參考系也是慣性參考系。如果所受合外力不為零，則質(zhì)心相對(duì)于靜止慣性系作加速運(yùn)動(dòng)，這樣，質(zhì)心參考系就不再是慣性參考系，而是非慣性參考系。 4.2 反沖運(yùn)動(dòng) 反沖運(yùn)動(dòng)：根據(jù)動(dòng)量守恒定律，如果一個(gè)靜止的物體在內(nèi)力的作用下分裂成兩個(gè)部分，一部分向某個(gè)方向運(yùn)動(dòng)，另一部分必然向相反的方向運(yùn)動(dòng)。這個(gè)現(xiàn)象叫做反沖。反沖運(yùn)動(dòng)中，物體受到的反沖作用通常叫做反沖力。 5. 機(jī)械能 5.1 引力勢(shì)能 引力勢(shì)能，物體 (特別指天體 )在引力場(chǎng)中具有的能叫做引力勢(shì)能，物理學(xué)中經(jīng)常把無窮遠(yuǎn)處定為引力勢(shì)能 的零勢(shì)能點(diǎn)。 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 10 頁 5.2 質(zhì)點(diǎn)及均勻球殼殼內(nèi)和殼外的引力勢(shì)能公式 兩個(gè)相距為 r 的質(zhì)點(diǎn) M 、 m ，其間引力勢(shì)能為 rGMmEp 。若 M 為質(zhì)量均勻半徑為 R 的球殼，則引力勢(shì)能RrRGM mRrrGM mE p 。 5.3 彈簧的彈性勢(shì)能 取彈簧處于原長時(shí)為彈性勢(shì)能零點(diǎn)，當(dāng)彈簧伸長（壓縮） x 時(shí)，彈力 F=-kx，彈力做的功為： 由前面保守力所做功與勢(shì)能變化關(guān)系可知 5.4 碰撞、恢復(fù)系數(shù) 碰撞過程滿足動(dòng)量守恒。碰撞前后物體速度在同一直線為正碰，否則為斜碰。碰撞中無機(jī)械能損失為彈性碰撞，有機(jī)械能損失為非彈性碰撞。當(dāng)碰撞后兩物體速度相同時(shí)，為完全非彈性碰撞。 描述碰撞非彈性程度的量為恢復(fù)系數(shù)，定義為碰撞后分離速度與碰撞前接近速度的比值，即1212 vv vve 。對(duì)彈性碰撞， 1e ，完全非彈性碰撞 0e ，一般非彈性碰撞 10 e 。對(duì)斜碰，取沿碰撞接觸面法線方向的相對(duì)速度為接近速度和分離速度即可。 對(duì)彈性碰撞，使用 1e 及動(dòng)量守恒計(jì)算碰撞后速度，比使用機(jī)械能守恒方便得多。 6. 天體運(yùn)動(dòng) 6.1 開普勒定律 開普勒第一定律：行星圍繞太陽的運(yùn)動(dòng)軌道為橢圓，太陽在橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)上。 開普勒第二定律：行星與太陽的連線在相等的時(shí)間內(nèi)掃過相等的面積。 開普勒第三定律：各行星橢圓軌道半長軸 a 的三次方與軌道運(yùn)動(dòng)周期 T 的平方之比值為相同的常量，即 CTa 23 其中，開普勒第二定律與行星運(yùn)動(dòng)中角動(dòng)量守恒等價(jià)。 221 kxW )0( PP EEW 221kxEP 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 11 頁 6.2 軌道 形狀 將行星繞太陽運(yùn)動(dòng)的 機(jī)械能 記為 E ， E 與三種軌道的對(duì)應(yīng)關(guān)系為： 雙曲線軌道拋物線軌道橢圓軌道圓00/0EEE 6.3 三個(gè)宇宙速度 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物體繞地球公轉(zhuǎn)的最小速度，又稱環(huán)繞速度，即萬有引力恰好提供物體公轉(zhuǎn)所需的向心力，得RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物體脫離地球引力的最小速度，又稱脫離速度。物體恰好脫離地球引力 即 物 體 到 達(dá) 無 窮 遠(yuǎn) 處 時(shí) 速 度 為 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物體脫離太陽系的最小速度，又稱逃逸速度。物體脫離太陽系的過程分為兩步，第一步脫離地球引力，第二步脫離太陽引力。設(shè)脫離地球引力后相對(duì)太陽速度為xv ，類似第二宇宙速度的求法，脫離太陽引力需滿足 021 2 日地太陽R mMGmv x ，解得skm2.422 日地太陽RGMv x 。地球繞太陽公轉(zhuǎn)速度為 skm8.29 ，由伽利略速度變化公式，物體相對(duì)地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球參考系中由機(jī)械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 12 頁 7. 機(jī)械振動(dòng) 7.1 簡(jiǎn)諧振動(dòng) 由于簡(jiǎn)諧振動(dòng)是變加速運(yùn)動(dòng)，討論起來極不方便，為此?？梢胍粋€(gè)連續(xù)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，因?yàn)樗谌我恢睆缴系姆诌\(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)諧振動(dòng)，以平衡位置 O 為圓心，以振幅 A 為半徑作圓，這圓就稱為參考圓，設(shè)有一質(zhì)點(diǎn)在參考圓上以角速度 作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，它在開始時(shí)與 O的連線跟 軸夾角為 ,那么在時(shí)刻 t，參考圓上的質(zhì)點(diǎn)與 O 的連線跟 的夾角就成為 ，它在 軸上的投影點(diǎn)的坐標(biāo) 這就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)方程，式中 是 t=0 時(shí)的相位，稱為初相： 是 t 時(shí)刻的相位。參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的線速度為 ，其方向與參考圓相切，這個(gè)線速度在 軸上的投影是 ） 這也就是簡(jiǎn)諧 振動(dòng)的速度。參考圓上的質(zhì)點(diǎn)的加速度為 ，其方向指向圓心，它在軸上的投影是 ） 這也就是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度： 由牛頓第二定律簡(jiǎn)諧振動(dòng)的加速度為： 因此有 簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期 T 也就是參考圓上質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)周期，所以 以水平彈簧振子為例，彈簧振子的能量由振子的動(dòng)能和彈簧的彈性勢(shì)能構(gòu)成，在振動(dòng)過程中，振子的瞬時(shí)動(dòng)能為： 振子的瞬時(shí)彈性勢(shì)能為： 振子的總能量為： 簡(jiǎn)諧振動(dòng)中，回復(fù)力與離開平衡位置的位移 x 的比值 k 以及振幅 A 都是恒量，即是恒量，因此振動(dòng)過程中，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。 x 0x 0 t x)c o s ( 0 tAx0 0tA x0cos( tAv2A x02 c os( tAaxa 2xmkmFa mk2kmwT 22)(s in2121 2222 tmAmvE K)(c o s2121 2222 tAmkxE p222 2121 kAAmEEE pK 221kAxAO0清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 13 頁 7.2 單擺、等效擺長 一個(gè)質(zhì)量為 m的小球用一輕質(zhì)細(xì)繩懸掛在天花板上的 O點(diǎn)，小球擺動(dòng)至與豎直方向夾角，其受力情況如圖 5-2-6 所示。其中回復(fù)力，即合力的切向分力為 當(dāng) 5時(shí)， OAB 可視為直角三角形，切向分力指向平衡位置 A，且 ，所以 （式中 ） 說明單擺在擺角小于 5時(shí)可近似地看作是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，振動(dòng)的周期為 在一些異型單擺中， 和 g 的含意以及值會(huì)發(fā)生變化。單擺的等效擺長并不一定是擺球到懸點(diǎn)的距離，而是指擺球的圓弧軌跡的半徑。 7.3 波動(dòng)方程 一列橫波以速度 沿 軸正方向傳播，設(shè)波源 O 點(diǎn)的振動(dòng)方程為： 在 軸上任意點(diǎn) P 的振動(dòng)比 O 點(diǎn)滯后時(shí)間 ，即當(dāng) O 點(diǎn)相位為 時(shí)， P 點(diǎn)的相位為 ，由 ， ， ， P 點(diǎn)振動(dòng)方程為 這就是波動(dòng)方程，它可以描述平面簡(jiǎn)諧波的傳播方向上任意點(diǎn)的振動(dòng)規(guī)律。 7.4 波的疊加、干涉和衍射 波的疊加原理：在兩列波的相遇區(qū)域，任何一個(gè)質(zhì)點(diǎn)的位移都等于兩列波分別引起的位移矢量和。注：任意兩列同種波都可疊加。 波的干涉：兩列波疊加時(shí)，某些區(qū)域振動(dòng)加強(qiáng)，某些區(qū)域振動(dòng)減弱，并且振動(dòng)加強(qiáng)和減弱的區(qū)域互相間隔的現(xiàn)象（形成穩(wěn)定的干涉圖樣） 。干涉條件為同一種類的、頻率相同的兩列波。 波的衍射：波傳播過程中，偏離 直線傳播的方向而繞到障礙物或小孔的陰影區(qū)的現(xiàn)象。sin mgF回 lxsinxlmgF 回kxF 回 lmgkglkmT 22 lv x)cos( 0 tAyx vxtp )( 0t 0)( vxt f 2 fv Tlf 0)(c o s vxtAy)22c o s ( 0 xftA )22c o s( 0 xtTA 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 14 頁 發(fā)生明顯衍射的條件：障礙物或孔的尺寸比波長小，或者跟波長差不多。注：（ 1）衍射無需條件；（ 2）波長越大，衍射越明顯 7.5 多普勒效應(yīng)及應(yīng)用 多普勒效應(yīng)是波源和觀察者有相對(duì)運(yùn)動(dòng)時(shí)，觀察者接受到波的頻率與波源發(fā)出的頻率并不相同的現(xiàn)象。遠(yuǎn)方急駛過來的火車鳴笛聲變得尖細(xì)（即頻率變高，波長變短），而離我們而去的火車鳴笛聲變得低沉（即頻率變低，波長變長），就是多普勒效應(yīng)的現(xiàn)象，同樣現(xiàn)象也發(fā)生在私家車鳴響與火車的敲鐘聲。 觀察者 (Observer) 和發(fā)射源 (Source) 的頻率關(guān)系為： 為觀察到的頻率； 為發(fā)射源于該介質(zhì)中的原始發(fā)射頻率； 為波在該介質(zhì)中的行進(jìn)速度； 為觀察者移動(dòng)速度，若接近發(fā)射源則前方運(yùn)算符號(hào)為 + 號(hào) , 反之則為 - 號(hào)； 為發(fā)射源移動(dòng)速度，若接近觀察者則前方運(yùn)算符號(hào)為 - 號(hào)，反之則為 + 號(hào)。 8. 熱學(xué) 8.1 分子動(dòng)理論的基本觀點(diǎn) 一切物體都是由大量的分子組成的，分子間有一定間隙，并有相互作用力，分子總是永不停地?zé)o規(guī)則地運(yùn)動(dòng)著。這就是分子運(yùn)動(dòng)論的基本論點(diǎn)。 1、物體是由大量分子組成的 2、分子永不停息地做無規(guī)則運(yùn)動(dòng) 3、分子之間存在著相互作用力（引力和斥力） 8.2 溫度和氣體壓強(qiáng)的微觀解釋 將 式代入 式后，可以得到氣體分子的平均平動(dòng)動(dòng)能為 這被稱為氣體溫度公式，溫度升高，分子熱運(yùn)動(dòng)的平均平動(dòng)動(dòng)能增大，分子熱運(yùn)動(dòng)加劇。因此，氣體的溫度是氣體分子平均平動(dòng)能的標(biāo)志，是分子熱運(yùn)動(dòng)劇烈程度的量度。 宏觀上測(cè)量的氣體施給容器壁的壓強(qiáng)，是大量氣體分子對(duì)器壁不斷碰撞的結(jié)果。在通常情況下，氣體每秒碰撞 的器壁的分子數(shù)可達(dá) 。在數(shù)值上，氣體的壓強(qiáng)等于單位時(shí)間內(nèi)大量分子施給單位面積器壁的平均沖量。 nkTP KnP 32kTK 2321cm 2310清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 15 頁 其表達(dá)式為 式中 n 是分子數(shù)密度， 是分子 的平均平動(dòng)動(dòng)能， n 和 增大，意味著單位時(shí)間內(nèi)碰撞單位面積器壁的分子數(shù)增多，分子碰撞器壁一次給予器壁的平均沖量增大，因而氣體的壓強(qiáng)增加。 8.3 分子力 、動(dòng)能、勢(shì)能、內(nèi)能 分子之間存在的相互作用力。分子之間同時(shí)存在引力和斥力，它們都隨距離的增大而減小。其合力具體表現(xiàn)為相吸引還是相排斥，取決于分子間的距離。 由于分子間存在相互作用而具有的能量叫做分子勢(shì)能。當(dāng)分子間距離 ( 為分子力為零的位置 )時(shí)，分子力是引力，隨著分子間距離r 的增大，分子勢(shì)能減小，故 處，分子勢(shì)能最小。而在 時(shí)，由于分子間的作用力可略，故分子勢(shì)能變?yōu)榱悖缫詿o窮遠(yuǎn)處為勢(shì)能的零點(diǎn)，定性的分子勢(shì)能曲線可用右圖表示。 物體中所有分子熱運(yùn)動(dòng)的動(dòng)能和分子勢(shì)能的總和稱為物體的內(nèi)能。由于分子熱運(yùn)動(dòng)的平均動(dòng)能跟溫度有關(guān)，分子勢(shì)能跟體積有關(guān)。因此物體的內(nèi)能是溫度和體積的函數(shù)。 理想氣體的分子之間沒有相互作用，不存在分子勢(shì)能。因此理想氣體的內(nèi)能是氣體所有分子熱運(yùn)動(dòng)動(dòng)能的總和，它只跟氣體的分子數(shù)和溫度有關(guān)，與體積無關(guān)。 8.4 理想氣體狀態(tài)方程 理想氣體狀態(tài)方程或稱克拉珀龍方程： 式中 R 稱為摩爾氣體恒量，它表示 1mol 氣體在標(biāo)準(zhǔn)狀況的 的值，其值為 ： 1mol 的任何物質(zhì)含有的粒子數(shù) ，這稱為阿伏伽德羅常數(shù)。設(shè)質(zhì)量為 m、摩爾質(zhì)量為 M 的氣體，其分子數(shù)為 N，則此氣體的摩爾數(shù)為 同時(shí)引用玻耳茲曼常數(shù) k 的物理意義： 1 個(gè)分子在標(biāo)況下的 。 KnP 32221 mK K0rr 0r0rr 010rrRTMmv R TPV TPVKm o lc a IKm o l La t mKm o lJT VPR .1.8 20 00 1231002.6 m oIN AANNMmv / 123 .1038.1/ KJNRk ATPV E 0r r O清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 16 頁 8.5 熱力學(xué)第一定律 當(dāng)系統(tǒng)與外界間的相互作用既有做功又有熱傳遞兩種方式時(shí)，設(shè)系統(tǒng)在初態(tài)的內(nèi)能 ，經(jīng)歷一過程變?yōu)槟B(tài)的內(nèi)能 ，令 。在這一過程中系統(tǒng)從外界吸收的熱量為Q，外界對(duì)系統(tǒng)做功為 W，則 E=W+Q。式中各量是代數(shù)量，有正負(fù)之分。系統(tǒng)吸熱 Q 0，系統(tǒng)放熱 Q 0；外界做功 W 0，系統(tǒng)做功 W 0；內(nèi)能增加 E 0，內(nèi)能減少 E 0。熱力學(xué)第一定律是普遍的能量轉(zhuǎn)化和守恒定律在熱現(xiàn)象中的具體表現(xiàn)。 8.6 熱力學(xué)第二定律 表述 1：不可能制成一種循環(huán)動(dòng)作的熱機(jī)，只從一個(gè)熱源吸取熱量，使之全部變?yōu)橛杏玫墓Γ渌矬w不發(fā)生任何變化。 表述 2：熱量不可能自動(dòng)地從低溫物體轉(zhuǎn)向高溫物體。 8.7 物態(tài)變化 相 :指的是熱學(xué)系統(tǒng)中物理性質(zhì)均勻的部分，一個(gè)相與其他部分之間有一定的分界面隔離開來。例如冰和水的混合物中，因?yàn)楸退奈锢硇再|(zhì)不同，故為不同的相，但它們的化學(xué)成份相同。一種化學(xué)成分稱為 “一元 ”，因此冰水混合 物稱為單元二相系，而水和酒精的混合物就是二元單相系。 相變： 不同相之間的相互轉(zhuǎn)變稱為相變。 相變特點(diǎn)：伴隨物態(tài)的變化；要吸收或放出的熱量。 8.8 熱傳遞 內(nèi)能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，或者從物體的一部分轉(zhuǎn)移到同一物體的鄰近部分的過程叫熱傳遞。 熱傳遞的方式有三種：對(duì)流、傳導(dǎo)和輻射 1E2E 12 EEE 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 17 頁 導(dǎo)學(xué) 習(xí)題 1. 運(yùn)動(dòng)學(xué) 例 1 (2011年華約自主招生 ) 如圖 2-11 所示 ,AB桿以恒定角速度繞 A點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng) ,并帶動(dòng)套在水平桿 OC 上的小環(huán) M 運(yùn)動(dòng) 運(yùn)動(dòng)開始時(shí) ,AB 桿在豎直位置 ,則小環(huán) M 的加速度將 ( ) A.逐漸增大 B.先減少后增大 C.先增加后減少 D.逐漸減小 解析 ：如圖所示 ,環(huán)沿 OC 向右運(yùn)動(dòng) ,其速度 v 可分為垂直 AB 的 v1,沿AB 的 v2, 則1 hvrcos ,故環(huán)的速度 12vhv cos cos 環(huán)的加速度 v v (c os )a t (c os ) t 即 23322h x c o sa ( c o s )s in s in 因?yàn)?變小 ,則 a 變大 ,故選 A 例 2(2011 年北京大學(xué) )如圖所示 ,AC 為光滑豎直桿 ,ABC 為構(gòu)成直角的光滑 L 形直軌道 ,B 處有一小圓弧連接可使小球順利轉(zhuǎn)彎 ,并且 ABC 三點(diǎn)正好是圓上三點(diǎn) ,而 AC 正好為該圓直徑 ,如果套在 AC 桿上的小球自 A點(diǎn)靜止釋放 , 分布沿 ABC 軌道和 AC 直軌道運(yùn)動(dòng) ,如果沿 ABC 軌道運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是沿 AC 直軌道運(yùn)動(dòng)所用時(shí)間的 1.5 倍 ,求 的值 解析 ：小球在 AC 段或 ABC 段都只受重力作用運(yùn)動(dòng) ,由勻加速直線運(yùn)動(dòng)求解 設(shè) AC=2R,則小球從 A 到 C 做自由落體運(yùn)動(dòng) ,所需時(shí)間 2 2 g 2 gACt R / R / 小球沿 ABC 運(yùn)動(dòng)時(shí) ,在 AB 方向的加速度為 gcos,所需時(shí)間 22 2gg AB R c o st R /c o s 小球到 B 點(diǎn)時(shí)其速度為 2gcos gBv R / ,在 BC 段所需時(shí)間 1 5 gB C A C A Bt . t t R / 代入21 g sin 2 2B B C B Cv t t R sin可得 tan=4/3 故 =arctan(4/3)53.1 例 3小球在臺(tái)階上以一定初速度水平拋出 ,恰落到第一級(jí)臺(tái)階邊緣 ,反彈后再次落下經(jīng) 0.3s 恰落至第 3 級(jí)臺(tái)階邊界 ,已知每級(jí)臺(tái)階寬度及高度均為 18 cm,取 g=10 m/s且小球反彈時(shí)水平速度不變 ,豎直速度反向 ,但變?yōu)樵俣鹊?1/4. (1)求球拋出時(shí)的高度及距第一級(jí)臺(tái)階邊緣的水平距離 (2)問球是否會(huì)落到第 5 級(jí)臺(tái)階上 ? 說明理由 解析 ： (1)小球從拋出到落在第一級(jí)臺(tái)階邊緣 ,做平拋運(yùn)動(dòng) 設(shè)拋出時(shí)距第一級(jí)臺(tái)階邊緣的水平 A C B 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 18 頁 距離為 s,拋出時(shí)的高度為 H,落到第一級(jí)臺(tái)階邊緣歷時(shí)為 t0 在水平方向以 v0 做勻速直線運(yùn)動(dòng)： 00vt s 在豎直方向初速度為 0 加速度為 g 做自由落體： 0gt /2 H 第一級(jí)臺(tái)階反彈后 ,豎直方向的速度為 10v gt 4/ ，從第一級(jí)臺(tái)階邊緣到第三級(jí)臺(tái)階邊界有： 0 1 1 1 1v t 2h v t gt /2 2h, ,代入 1 1 0t 0 3 s h 0 1 8 m v g t /4. , . , ， 可得 00v 1 2m/s t 0 12s. , . 故小球拋出時(shí)， ,距第一級(jí)臺(tái)階的高度 H 為 0.072m，距第一級(jí)臺(tái)階邊緣的水平距離為0.144m (2)小球經(jīng)第三級(jí)臺(tái)階邊緣反彈后 ,水平速度仍為 v0=1.2m/s,豎直方向速度大小變?yōu)?2 1 1v v gt /4 0 82 5m /s., 大于第一級(jí)臺(tái)階反彈時(shí)豎直方向的速度 ,故小球在被第三級(jí)臺(tái)階反彈后落地點(diǎn)水平方向的距離大于被第一級(jí)臺(tái)階反彈后的距離 如具體計(jì)算 ,則豎直方向通過位移 2h 時(shí) ,由 2 2 2v t gt 2 2h/解得 2t 036s. ,此時(shí)水平方向位移等于 02v t 0 43m 2h.即水平方向已經(jīng)超過了 2 級(jí)臺(tái)階的距離 ,將會(huì)直接落在第 6 級(jí)臺(tái)階上 ,不會(huì)落在第 5 級(jí)臺(tái)階上 2. 力與牛頓定律 例 4為訓(xùn)練宇航員能在失重狀態(tài)下工作和生活 ,需要?jiǎng)?chuàng)造一種失重的環(huán)境 ,在地球表面附近 ,當(dāng)飛機(jī)模擬某些在重力作用下的運(yùn)動(dòng)時(shí) ,就可以在飛機(jī)座艙內(nèi)實(shí)現(xiàn)短時(shí)間的完全失重狀態(tài) ,現(xiàn)要求一架飛機(jī)在速率為 1 500v m/ s 時(shí)進(jìn)入失重狀態(tài)試驗(yàn) ,在速率為 2 1000v m/ s 時(shí)退出失重狀態(tài)試驗(yàn) 重力加速度 210g m/ s 試問 （ ）在上述給定的速率要求下 ,該飛機(jī)需要模擬何種運(yùn)動(dòng) ,方可在一定范圍內(nèi)任意選擇失重時(shí)間的長短 ?試定量討論影響失重時(shí)間長短的因素 （ ）飛機(jī)模擬這種運(yùn)動(dòng)時(shí) ,可選擇的失重狀態(tài)的時(shí)間范圍是多少 ? 解析：（ ）當(dāng)飛機(jī)做加速度的大小為為重力加速度 g,加速度的方向豎直向下的運(yùn)動(dòng)時(shí) ,座艙內(nèi)的的試驗(yàn)者便處于完全失重狀態(tài) ,這種運(yùn)動(dòng)可以是飛機(jī)模擬無阻力下的自由落體運(yùn)動(dòng)或豎直上拋運(yùn)動(dòng) ,也可以是斜拋運(yùn)動(dòng) 當(dāng)進(jìn)入實(shí)驗(yàn)的速率和退出試驗(yàn)的速率確定后 ,飛機(jī)模擬前兩種運(yùn)動(dòng)時(shí) ,失重時(shí)間的長短都是一定的 ,不可選擇的 當(dāng)飛機(jī)模擬無阻力作用下的斜拋運(yùn)動(dòng)時(shí) ,失重時(shí)間的長短與拋射角有關(guān) ,可在一定范圍內(nèi)進(jìn)行選擇 考察飛機(jī)模擬無阻力作用下的斜拋運(yùn)動(dòng) ,設(shè)開始試驗(yàn)時(shí)的初速度為 1v ,方向與水平方向成 角 ,起始位置為 A 點(diǎn) ,經(jīng)過拋物線運(yùn)動(dòng)在 B 點(diǎn)退出試驗(yàn) 如圖所示 ,以 t 表示試驗(yàn)經(jīng)歷的時(shí)間 ,再退出試驗(yàn)時(shí)的速率為 2v ,則有 21xv vcos （ 1） 21yv v sin gt（ 2） 而 2 2 22 2 2xyv v v （ 3） 由（ 1）（ 2）（ 3）式得 2 2 2 21 1 220g t v g t sin v v （ 4） 解（ 4）式得 2 2 2 21 1 2 1v sin v sin ( v v )t g （ 5） 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 19 頁 由（ 5）式可知 ,當(dāng)進(jìn)入試驗(yàn)時(shí)飛機(jī)的速度 1v 和退出試驗(yàn)時(shí)飛機(jī)的速度 2v 確定以后 ,失重時(shí)間的長短可通過角 來調(diào)節(jié) （ ）當(dāng) 090 時(shí)失重時(shí)間最長 ,由（ 5）式可求的最長失重時(shí)間 150maxts 當(dāng) 090 時(shí) ,失重時(shí)間最短 ,由（ 5）式可求的最短失重時(shí)間 50mints 失重時(shí)間的調(diào)節(jié)范圍在 150s 到 50s 之間 例 5 (華東師范大學(xué)二附中張偉平命制 )如圖所示 ,一塊質(zhì)量為 M長為 l的均勻質(zhì)板放在很長的水平桌面上 ,板的左端有一個(gè)質(zhì)量為 m 的物塊 ,物塊上連接一根很長的細(xì)繩 ,細(xì)繩跨過位于桌面邊緣的定滑輪并與桌面平行 某人以恒定的速度 v 向下拉繩 ,物塊最多只能達(dá)到板的中點(diǎn) ,且此時(shí)板的右端距離桌邊定滑輪足夠遠(yuǎn) ,求： (1)若板與桌面間光滑 ,物塊與板的動(dòng)摩擦因數(shù)及物塊剛到達(dá)板的中點(diǎn)時(shí)板的位移 (2)若板與桌面間有摩擦 ,為使物塊能達(dá)到板右端 ,板與桌面的動(dòng)摩擦因素的范圍 解析 ： (1)板在物塊對(duì)其的摩擦力作用下向右做勻加速運(yùn)動(dòng)直至與物塊速度相同 ,此時(shí) ,物 塊剛到達(dá)板的中點(diǎn) 設(shè)板的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 1t ,物塊與板的動(dòng)摩擦因數(shù)為 1 , 木板加速度為： 11 1mg va Mt即1 1Mvt mg 在此過程中 ,板前進(jìn)的位移為：1112s vt,物塊移動(dòng)的位移為 21s vt ,而212lss, 由此可得： 21=Mvmgl,1 2ls (2)設(shè) 板與桌面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為 2 ,物塊在板上滑行的時(shí)間為 2t , 木板的加速度為 1 2 22 2m g ( M m ) g va Mt, 即：2 12Mvt m g ( m M )g 在此時(shí)間內(nèi) ,物塊需到達(dá)板右端 ,即： 2212s s vt vt l 物 板 帶入 2t 得 22= 2 Mv(m M )gl 由于 2 越大 ,板運(yùn)動(dòng)越慢 ,物塊與板的相對(duì)位移越大 ,所以 , 2 應(yīng)滿足 22 2 Mv( m M )gl 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 20 頁 3. 物體的平衡 例 6如圖 1-1 所示，長為 L 的均勻木桿重 Q，在木桿上離 A 端 L/4 處放有一重為 Q/2 的重物，平衡時(shí)，木桿與水平面的夾角 多大？ 解析：以 O 點(diǎn)為軸，取整體為研究對(duì)象，有 00 6 0 6 0 2 4 2Q L LL c o s c o s Q L c o s c o s （ ） （ ） 得 63arccot( ) 例 7將一小球 m 用細(xì)繩系起，沿半徑為 R 的半球面緩慢拉起，半球面光滑，試分析拉起過程中， m 對(duì)半球壓力及拉力 F 的變化情況 解析：設(shè)半球半徑為 R，滑輪到半球距離為 h 對(duì) m 進(jìn)行受力分析見圖示： _m NQ O m ONR RGQ R hRNGRh: , F O m Omo 其 中 , 其 中恒 定 不 變同 理 在 相 似 三 角 形 中 拉 力 的 變 化 與 中邊 長 線 段 長 度 變 化 相 對(duì) 應(yīng) ， F 逐漸變小 所以 ，將 m 沿半球拉上過程中， m 對(duì)半球壓力不變，拉力變小 例 8 (2010 年北京大學(xué) ) 如圖，一個(gè)質(zhì)量為 M棱邊長為 L 的立方體放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方體向前或向后翻轉(zhuǎn)，立方體不與平面發(fā)生相對(duì)滑動(dòng)，求向前和向后施加力的最小值以及對(duì)應(yīng)的摩擦因數(shù) 設(shè)想立方體開始翻轉(zhuǎn)后 ，施加的外力 F 的大小和方向會(huì)改變，以維持 F 始終為最小值 解析 ：立方體往前或往后翻轉(zhuǎn)，實(shí)際是沿其右下角的棱所做的轉(zhuǎn)動(dòng)，即有固定轉(zhuǎn)動(dòng)軸物體的平衡問題 先考慮向前翻轉(zhuǎn) ， D 點(diǎn)恰離開地面時(shí)最難翻動(dòng)，當(dāng) F 與 AC 垂直時(shí)有最小值 (若 F不垂直與 AC，則 F 的力矩只是其沿 AC 垂直方向的分量 )，設(shè) AC 與水平面夾角為 ，則由合力矩為零可得： 2F2 2ML g cos L 當(dāng)立方體恰能翻轉(zhuǎn)時(shí) 為 45此時(shí) 立方體若能翻轉(zhuǎn)，水平方向的受力方程應(yīng)為 M g F cos F sin 立方體恰能翻轉(zhuǎn)時(shí)，代入 45 ， 24min MFg， 可得 13 在向后翻轉(zhuǎn)時(shí)，以左下角棱為軸，一開始最難翻動(dòng)，考慮 C 點(diǎn)將離地狀態(tài)， D Mg B N f 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 21 頁 MgL2FL ， MgF 此時(shí) Mg1F 22， 4. 動(dòng)量 例 9(2009 年清華大學(xué) )一質(zhì)量為 m，長為 l 的柔軟細(xì)繩自由懸垂，下端恰與一臺(tái)秤秤盤接觸， (如圖所示 )某時(shí)刻放開柔軟細(xì)繩上端，求臺(tái)秤的最大讀數(shù) 解析 ：設(shè) t 時(shí)刻落到秤盤的繩長為 x，此時(shí)繩速 2v gx 在 t t t 時(shí)間內(nèi)，又有 mx 的繩落到秤盤上，由動(dòng)量定理得F t m v xv (忽略微元段繩本身的重力沖量 ) 即 2 2F v( x / t ) v g x 故 3N F gx gx 因而秤盤的最大讀數(shù)為 3mg，即出現(xiàn)在柔繩將要全部掉到秤盤上時(shí) 例 10(2011 年復(fù)旦大學(xué)千分考 )在一根長的水平桿上穿著 5 個(gè)質(zhì)量相同的珠子，珠子可以在桿上無摩擦地運(yùn)動(dòng)，初 始時(shí)若各珠子可以有任意的速度大小和方向，則它們間最多可以碰撞次 A. 4 B. 5 C. 8 D. 10 解析 ：兩個(gè)質(zhì)量相同的圓球在發(fā)生對(duì)心碰撞 (初速度沿球心的連線方向 )時(shí)是完全彈性碰撞，碰后二者的速度發(fā)生交換 給珠子依次編號(hào)為 1， 2， 3， 4， 5.由于珠子完全相同，碰撞后速度交換，可以看做是碰后 2 為 1， 1 為 2，相當(dāng)于碰撞后二者保持原先的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變 如果1 的速度大于后面 4 個(gè)珠子任一個(gè)的速度，則 1 的速度會(huì)傳遞給 2345，即發(fā)生 4 次碰撞 同理 2 發(fā)生 3 次， 3 發(fā)生 2 次， 4 發(fā)生 1 次，共 4+3+2+1=10 次 若 5 個(gè)珠子存在速度反向的情況，則珠子必會(huì)相撞，但總的碰撞次數(shù)肯定是小于等于同向的情況 故選 D 例 11(2011 年復(fù)旦大學(xué)千分考 )設(shè)土星質(zhì)量為 5.671026kg，其相對(duì)于太陽的軌道速率為 9.6 km/s，一空間探測(cè)器質(zhì)量為 150 kg，其相對(duì)于太陽的速率為 10.4 km/s，并迎向土星方向飛行 由于土星的引力 ，探測(cè)器繞過土星沿著和原來速度相反的方向離去，則它離開土星后相對(duì)于太陽的速率為 km/s A. 20 B. 29.6 C. 9.6 D. 4.8 解析 ：物體相互作用，交換動(dòng)量和能量的過程都叫碰撞，而碰撞問題都具有動(dòng)量守恒和能量守恒兩大特點(diǎn) 本題中探測(cè)器和土星就是一種無接觸的 “碰撞 ”問題 以太陽為參考系 ，動(dòng)量守恒： m v m v m v m v 土 土 探 探 土 土 探 探 能量守恒： 2 2 2 21 1 1 12 2 2 2 m v m v m v mv 土 土 探 探 土 土 探 探 聯(lián)立可得 2 mm mv v vm m m m土 探 土探 探 土土 探 土 探 因?yàn)樘綔y(cè)器質(zhì)量遠(yuǎn)小于土星質(zhì)量，故 2 2 9 6v v v . km / s 探 探 土 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 22 頁 5. 機(jī)械能 例 12(2011 年華約樣題 )如圖所示，剛性細(xì)直棒長為 2l，質(zhì)量不計(jì)，其一端 O 用光滑鉸鏈與固定轉(zhuǎn)軸連接，在細(xì)棒的中點(diǎn)固定一個(gè)質(zhì)量為 4m 的小球 A，在細(xì)棒的另一端固定一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球 B將棒置于水平位置由靜止開始釋放 ，棒與球組成的系統(tǒng)將在豎直平面內(nèi)作無摩擦的轉(zhuǎn)動(dòng)，則該系統(tǒng)在由水平位置轉(zhuǎn)至豎直位置的過程中 ( ) A.系統(tǒng)的機(jī)械能守恒 B.棒對(duì) AB 兩球都不做功 C.A 球通過棒對(duì) B 球做正功 D.B 球通過棒對(duì) A 球做正功 解析 ：設(shè)棒轉(zhuǎn)過 90時(shí) B 所在平面為零勢(shì)能面 系統(tǒng)從水平位置轉(zhuǎn)至豎直位置的過程中，由機(jī)械能守恒得 2211m 4 m242 22 2BB vvm g l l m g l () 解得 2 6gBvl ，單獨(dú)對(duì) B 球而言21mg 2 W m2 Blv 得 W mgl ，故選 AC 例 13 (2008 年上海交通大學(xué) )有一勁度系數(shù)為 k 的輕質(zhì)彈簧豎直放置，下端懸一質(zhì)量為 m的小球，先使彈簧為原長，而小球恰好與地接觸，再將彈簧上端緩慢提起，直到小球離開地面，在此過程中外力所做的功為 解析 ：小球離地時(shí)，彈簧的伸長量為 mgx k 外力做功 2 2 222W m g h k x / m g h m g / ( k ) 例 14(2007 年北京大學(xué) )長為 6L，質(zhì)量為 6m 的勻質(zhì)繩置于特制的水平桌面上，繩的一端懸垂于桌面外，另一端系有一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為 M 的木塊，如圖所示，木塊在 AB 段與桌面無摩擦，而 BE 段與桌面有摩擦，勻質(zhì)繩與桌面的摩擦可忽略 初始時(shí)刻用手按住木塊使其停在 A 處，繩處于繃緊狀態(tài)， AB BC C D D E L ，放手后，木塊最終停在 C 處，桌面距地面高度大于 6L，求： (1) 木塊剛滑至 B 點(diǎn)時(shí)的速度 v 和木塊與 BE 段的動(dòng)摩擦因數(shù) ； (2) 若木塊在 BE 段與桌面的動(dòng)摩擦因數(shù)變?yōu)?24 lm / ( M ) ，則木塊最終停在何處 ? (3) 是否存在一個(gè) 值，能使木塊從 A 處釋放后，最終停在 E 處，且不再運(yùn)動(dòng)，若能，求出該值，若不能，簡(jiǎn)要說明理由 解析 ： (1)物從 A 運(yùn)動(dòng)到 B 點(diǎn)，由動(dòng)能定理得 22 3 3 2 6 2Bm g L m g . ( L / ) ( M m ) v / , 即得 56B mv glMm 物體從 A 到 C 點(diǎn)，由動(dòng)能定理得 2 4 2mg L ( mg . L ) MgL 即 6m/ M (2)由動(dòng)能定理得 2 2 2mgL ( x / L ) mg ( L x / ) Mg ( x L ) 即 222 13 21 0x Lx L 解得 3x L, 和 35x . L (舍去 ) (3)木塊要停在 E 處需滿足 6 Mg mg 即 6 m/ M 而要木塊滑到 E 點(diǎn)須滿足 清北學(xué)堂集中培訓(xùn)課程導(dǎo)學(xué)資料 北京清北學(xué)堂教育科技有限公司 第 23 頁 6 3 2 3m g . L m g L Mg . L，即 16 3 m/ M 與前面求得結(jié)果矛盾，故沒有滿足要求的 值 6. 天體運(yùn)動(dòng) 例 15(2002 年上海交通大學(xué) )飛船沿半徑為 R 的圓周繞地球運(yùn)動(dòng) ,如果飛船要返回地面 ,可在軌道上某一點(diǎn) A 處將速率降低到適當(dāng)數(shù)值 ,從而使飛船沿著以地心為焦點(diǎn)的橢圓軌道運(yùn)動(dòng) 橢圓與地球表面在 B 點(diǎn)相切如圖 2-10,求飛船由 A 點(diǎn)到 B 點(diǎn)所需的時(shí)間 (已知地球半徑為 0R ,地球表面的重力加速度為 g) 解析 ：由開普勒第三定律得 2 3 2 310 22T / R T / ( R / R / )而 2 2 2 20 4G M m / R m g , G M m / R m R ( / T ), A 到 B 的時(shí)間 1 2t T/ 故 00022( R R ) R Rt Rg 例 16(2007 年上海交通大學(xué) )質(zhì)量為 m 的行星在質(zhì)量為 M 的恒星引力作用下，沿半徑為 r的圓軌道運(yùn)行，要使該行星運(yùn)行軌道半徑增大 1%，外界要做多少功， (行星在恒星引力場(chǎng)中的勢(shì)能 pE GMm/ r ，其中 G 為引力常量 ) 解析：由 22GmM / r mv / r 得 2 22kE m v / G M m / ( r ) 行星的總能量 22pkE E E G M m / ( r ) G M m / r G M m / ( r ) 故 1 1 0 1 1 2 2 0 2W E E E GMm / ( . r ) / r / GMm / ( r ) 例 17 (2002 年復(fù)旦大學(xué) )質(zhì)量為 m 的人造地球衛(wèi)星，在圓軌道上運(yùn)行，運(yùn)行中受到大小恒為 f 的微弱阻力作用，以 r 表示衛(wèi)星軌道的平均半徑， M 表示地球質(zhì)量，求衛(wèi)星在旋轉(zhuǎn)一周過程中： （ 1） 軌道半徑的改變量 r （ 2） 衛(wèi)星動(dòng)能的改變量 kE 解析 ：（ 1）衛(wèi)星受阻力作用，半徑 r 逐漸變小，設(shè)轉(zhuǎn)一周減小 r，則 )2/()2/()(22rrGMmrGMmrrGMmE 而)2( rfWf ， 由EW 得)/(4 3 GMmfrr （ 2） 222kE