數(shù)值分析第二版張鐵編習(xí)題答案.ppt

1-1.下列各數(shù)都是經(jīng)過(guò)四舍五入得到的近似值 ,試分別指出它們的絕對(duì)誤差限,相對(duì)誤差限和有效數(shù)字的位數(shù).,x1=5.420,x2=0.5420,x3=0.00542,x4=6000,x5=0.6105.,一.習(xí)題1（第10頁(yè)）,解 絕對(duì)誤差限分別為: 1=0.510-3,2=0.510-4,3=0.510-5,4=0.5,5=0.5104 .,相對(duì)誤差限分別為: r1=0.510-3/5.420=0.00923%, r2=0.00923%,r3=0.0923%,4=0.0083%,5=8.3%.,有效數(shù)位分別為: 4位,4位,3位,4位,1位.,1-2.下列近似值的絕對(duì)誤差限都是0.005,試問(wèn)它們有幾位有效數(shù)字. a=-1.00031,b=0.042,c=-0.00032,解 有效數(shù)位分別為: 3位,1位,0位.,1-3.為了使101/2的相對(duì)誤差小于0.01%,試問(wèn)應(yīng)取幾位有效數(shù)字?,解 因?yàn)?01/2=3.162=0.316210,若具有n位有效數(shù)字,則其絕對(duì)誤差限為0.5 101-n ,于是有,r=0.5101-n/3.1620.5101-n/30.01%,因此只需n=5.即取101/2=3.1623,解 x1=28+27.982=55.982,x2=1/x1=0.017863,1-4.求方程x2-56x+1=0的兩個(gè)根,使它們至少具有四位有效數(shù)字,2-2(1).用列主元Gauss消元法解方程組,解,二.習(xí)題2 (第50頁(yè)),回代得解: x3=1, x2=-1, x1=0,2-3(1).對(duì)矩陣A進(jìn)行LU分解,并求解方程組Ax=b,其中,解,，所以,2-4.對(duì)矩陣A進(jìn)行LDM分解和Crout分解，其中,解,2-5.對(duì)矩陣A進(jìn)行LDLT分解和GGT分解，并求解方程組Ax=b，其中,解,2-6(1).給定方程組,a.用Cramer法則求其精確解. b.用Gauss消元法和列主元Gauss消元法求解,并比較結(jié)果.(用兩位浮點(diǎn)計(jì)算).,解 a.x=-1/-0.99=1.010101,y=-0.98/-0.99=0.989899,b.用Gauss消元法,2-8.用追趕法求解方程組:,回代得解: y=1, x=0.,再用列主元Gauss消元法,回代得解: y=1, x=1.,解,2-10.證明下列不等式: (1)x-yx-z+z-y; (2)|x-y|x-y;,證明 (1)x-y=(x-z)+(z-y)x-z+z-y,(2) 因?yàn)?x=(x-y)+yx-y+y,所以 x-yx-y ,同理可證 y-xx-y,于是有 |x-y|x-y .,2-11.設(shè)為一向量范數(shù),P為非奇異矩陣,定義xp= Px, 證明xp 也是一種向量范數(shù).,證明 (1)xp=Px0,而且Px=0Px=0x=0,(3)x+yp=P(x+y)=Px+PyPx+Py=xp+yp,(2)xp=P(x)=Px=|Px=|xp,所以xp是一種向量范數(shù).,2-12.設(shè)A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣,定義xA=,證明A是一種向量范數(shù).,證明 由Cholesky分解有A=GGT,所以xA,=GTx2,由上題結(jié)果知xA是一向量范數(shù).,2-16.對(duì)任意矩陣范數(shù),求證:,證明 (1)因?yàn)锳=AEAE ,所以E1.,(2)1E=AA-1AA-1 ,故,2-17.證明: (1)如果A為正交矩陣,則Cond2(A)=1;,(2)如果A為對(duì)稱(chēng)正定矩陣,則Cond2(A)=1/n,1和n分別為A的最大和最小特征值.,證明 (1)A正交,則ATA=AAT=E,Cond2(A)=A2A-12=1.,(2)A對(duì)稱(chēng)正定,ATA=A2, A2=1. A-12=1/n.,(3)A-1-B-1=A-1(B-A)B-1A-1B-1A-B,三.習(xí)題3 (第75頁(yè)),3-2.討論求解方程組Ax=b的J迭代法和G-S迭代法的收斂性.其中,解 (1) J迭代法的迭代矩陣為,得(2+5/4)=0,即1=0,2= ,3= ,故(B)=,所以J迭代法不收斂.,(2)類(lèi)似可得(B)=0,(G)=2, 故J迭代法收斂,G-S迭代法不收斂.,所以,(G)=1/2, 故G-S迭代法收斂.,G-S迭代法的迭代矩陣為:, 得(2+1)2=0,故(G)=1/2.,3-3.用J迭代法和G-S迭代法求解方程組,J迭代法有x(1)=(1.2,1.5,2)T, x(1)-x(0)=2,取初始近似x(0)=(0,0,0)T,問(wèn)各需迭代多少次才能使誤差x(k)-x*10-6.,解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩陣分別為,G-S迭代法有x(1)=(1.2,1.35,2.11)T, x(1)-x(0)=2.11,B=1/3=0.33333 , G=1/4=0.25,易得:(B)=|,(G)=2.故當(dāng)|1時(shí)兩種方法都收斂.,3-4.用J迭代法和G-S迭代法求解方程組Ax=b,其中,J迭代法:,取k=14.,G-S迭代法:,取k=11.,問(wèn)取何值時(shí)這兩種迭代法是收斂的?,解 J迭代法和G-S迭代法的迭代矩陣分別為,3-7.給定方程組,計(jì)算結(jié)果如下:,取x(0)=(1.01,1.01)T,分別用J迭代法和G-S迭代法求解,問(wèn)是否收斂?若收斂哪一種方法收斂得快?,解 (1)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分別為,計(jì)算結(jié)果如下:,可見(jiàn),J迭代法和G-S迭代法均不收斂.,(2)J迭代法和G-S迭代法的迭代格式分別為,可見(jiàn),J迭代法和G-S迭代法均收斂,且G-S迭代法收斂的快.,實(shí)際上, (B)=31/21 ,(G)=31.,實(shí)際上,(B)=1/31/2(G)=1/3.,3-8.判定求解下列方程組的SOR方法的收斂性.,解 直接可驗(yàn)證系數(shù)矩陣A是負(fù)定矩陣,所以-A是對(duì)稱(chēng)正定矩陣,故當(dāng)02時(shí),SOR方法收斂.,3-9.給定方程組,試建立一個(gè)收斂的迭代格式,并說(shuō)明收斂的理由.,解 可建立如下形式的迭代格式,因?yàn)榈仃嚍?所以此迭代法收斂.,四.習(xí)題4 (第102頁(yè)),4-1.證明方程1-x-sinx=0在0，1內(nèi)有一個(gè)根，使用二分法求誤差不大于0.510-4的根需要計(jì)算多少步?,解 記(x)=1-x-sinx,則(x)在0,1連續(xù),(0)=10, (1)=-sin10,故方程在0,1內(nèi)有根,又(x)=-1-cosx0, x0,1,所以方程在0,1內(nèi)僅有一個(gè)根.,可見(jiàn),需要計(jì)算14步.,由于,所以k4/log2=13.29,4-3.比較使用下述方法求方程ex+10x-2=0的正根，準(zhǔn)確到三位小數(shù)所需要的計(jì)算量:,(1) 在區(qū)間0,1內(nèi)用二分法;,(2) 用迭代法,取x0=0.,解 (1)由,(2) 迭代法的迭代函數(shù)為(x)=(2-ex)/10, |(x)|= ex/10e/101,取L=e/10,且x1=0.1,由,k3/log2=9.97 ,所以需要計(jì)算10步.,可得,所以,只需迭代5步.,可得,若取L=e0.1/10,可得k2.46,所以只需迭代3次.,4-4.設(shè)(x)=cosx,證明:任取x0,迭代式xk+1=(xk),k= 0,1,2,均收斂于方程x=(x)的根 .,證明 因?yàn)閷?duì)任意x0,都有x1=cosx0-1,1,所以只需證明迭代式在區(qū)間-1,1收斂.,因?yàn)?x)=cosx連續(xù)可導(dǎo),|(x)|=|sinx|sin11,所以(x)是區(qū)間-1,1上的壓縮映射,因此結(jié)論成立.,這里迭代函數(shù)(x)=,解 記(x)=x3+2x-5C0,2,且(0)=-50,所以方程在區(qū)間0,2內(nèi)有根,建立迭代格式,4-5.驗(yàn)證區(qū)間0,2是方程x3+2x-5=0的有根區(qū)間,并建立一個(gè)收斂的迭代格式,使對(duì)任何初值x00,2都收斂,并說(shuō)明理由.,由于,01(x),所以(x)是區(qū)間0,2上的壓縮映射,故迭代式收斂.,證明 這里(x)=x-(x),由于對(duì)任意(0,2/M),均收斂于(x)=0的根 .,4-7.給定函數(shù)(x),設(shè)對(duì)一切x,(x)存在且0m(x) M,證明對(duì)任意(0,2/M),迭代式,2 , x0,2,且 |(x)|=,2/31 , x0,2,-1=1-2(x)=1-(x)1,所以|()|1,故迭代法收斂.,解 將x=(x)化為x=-1(x),建立迭代格式xk+1=-1(xk),取x0=4.5,實(shí)際計(jì)算時(shí)用格式xk+1=+arctanxk ,k=0,1,2,計(jì)算結(jié)果如下,4-8.已知x=(x)在a,b內(nèi)僅有一個(gè)根,而當(dāng)xa,b時(shí),|(x)|k1,試問(wèn)如何將x=(x)化為適于迭代的形式?將x=tanx化為適于迭代的形式,并求在x=4.5附近的根.,由于|-1(x)|=1/|(x)|1/k1,故迭代法收斂.,將x=tanx化為x=arctanx,建立格式xk+1=arctanxk ,已得到精確到小數(shù)點(diǎn)后6位的近似值x5=4.493409.,的一個(gè)近似值,用Newton迭代法求,取x0=1.3,計(jì)算結(jié)果如下,4-10.已知1.3是,解 對(duì)方程(x)=x4-3=0建立Newton迭代格式,則有,所以取x3=1.3160740,已精確到小數(shù)點(diǎn)后6位.,的更好近似值, 要求準(zhǔn)確到小數(shù)點(diǎn)后五位.,4-12.用Newton迭代法于方程xn-a=0,和1-a/xn=0,(a 0),分別導(dǎo)出求,的迭代公式,并求,由于,解 迭代格式分別為,所以對(duì)(1)有,4-13.證明迭代公式：xk+1=xk(xk2+3a)/(3xk2+a),k=0, 1,2,是求,對(duì)(2)有,證明 設(shè),的三階方法.,則有: =(2+3a)/(32+a),故 2=a , 即,又由于,所以有,因此是三階方法.,五.習(xí)題5 (第131頁(yè)),5-1.用Gerschgorin圓盤(pán)定理估計(jì)下列矩陣的特征值.,解 (1)三個(gè)圓盤(pán)為|-1|0.2,|-2|0.4,|-3|0.3.是相互獨(dú)立的,因此,三個(gè)特征值分別為;,(2)三個(gè)圓盤(pán)為|-4|2,|-2|1,|-9|2.前兩個(gè)圓盤(pán)連通,后一個(gè)獨(dú)立,因此, 1,2,落在前兩個(gè)圓盤(pán)的連通區(qū)域內(nèi), 7311.,0.811.2 , 1.622.4 , 2.733.3,5-5.求矩陣A按模最大和最小特征值.其中,解 用冪法求A的按模最大特征值,計(jì)算公式為:,v(k)=Au(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,計(jì)算結(jié)果如下:,取17=19.301,解 用反冪法求A的按模最小特征值,計(jì)算公式為:,Av(k)=u(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,計(jì)算結(jié)果如下:,取n1/15=4.8686,5-7.利用帶位移的反冪法計(jì)算矩陣的特征值.,解 作位移矩陣B=A-7E ,建立計(jì)算公式:,Bv(k)=u(k-1),k=max(v(k),u(k)=v(k)/k ,k=1,2,.,取初值u(0)=(1,1,1)T,計(jì)算結(jié)果如下:,取7+1/7=6,5-9(2)利用Jacobi方法求矩陣A的所有特征值，其中,解 記,取p=1，q=2，則有,cos=(1+t2)-1/2=0.7071, sin=tcos0.7071,類(lèi)似地有,所以取 17.37228 ,22.99991 ,31.62781,5-10.設(shè)矩陣H=E-2xxT,向量x滿(mǎn)足xTx=1,證明:,(1)H為對(duì)稱(chēng)矩陣,即HT=H; (2)H為正交矩陣,即HTH=E;,(3)H為對(duì)合矩陣,即H2=E.,證明 (1)因?yàn)镠T=(E-2xxT)T=E-2xxT=H,故H對(duì)稱(chēng).,6-1.當(dāng)x=1,-1,2時(shí),(x)分別為0,-3,4,求(x)的二次插值多項(xiàng)式p2(x).,(2)因?yàn)镠TH=(E-2xxT)T(E-2xxT)=E-4xxT+4xxTxxT=E,故H正定.,(3)由(1)和(2)即得,H是對(duì)合矩陣.,六.習(xí)題6 (第180頁(yè)),解法一. 基函數(shù)法:,p2(x)=l0(x)y0+l1(x)y1+l2(x)y2=-3l1(x)+4l2(x),6-2.設(shè)l2(x)是以xk=x0+kh,k=0,1,2,3為插值節(jié)點(diǎn)的3次插值基函數(shù),求,解法二. 待定系數(shù)法,設(shè)p2(x)=(x-1)(ax+b), 則有,p2(x)=-3l1(x)+4l2(x),2(a-b)=-3, 2a+b=4,解得,a=5/6, b=7/3, 所以,p2(x)=1/6(x-1)(5x+14),6-3.設(shè)l0(x),l1(x),ln(x)是以x0,x1,xn為節(jié)點(diǎn)的n次Lagrange插值基函數(shù),求證:,解,證明 (1)記(x)=xk,則yj=(xj)=xjk,j=0,1,n.于是,6-4.設(shè)(x)C2a,b,且(a)=(b)=0,證明,證明 以a,b為節(jié)點(diǎn)作(x)的線(xiàn)性插值有L1(x)=0,故,(2)記(t)=(t-x)k,則yj=(xj)=(xj-x)k,j=0,1,n.于是,取t=x,則有,其中,|(x)|=|(x)-L1(x)|,6-5.利用y=,的近似值,并由誤差公式給出誤差界,同時(shí)與實(shí)際誤差作比較.,解 由二次Lagrange插值得:,在x=100,121,144點(diǎn)的函數(shù)值 ,用插值方法求,實(shí)際誤差：,6-8.(x)=x5+4x4+3x+1,求差商20,21,25和20, 21,26.,解 20,21,25=,20,21,26= 0,6-9.設(shè)(x)=x5+x3+1, 取x0=-1,x1=-0.8,x2=0,x3=0.5, x4=1,作出(x)關(guān)于x0,x1,x2,x3,x4的差商表,給出(x)關(guān)于x0,x1,x2,x3的Newton插值多項(xiàng)式,并給出插值誤差.,解 差商表為,Newton插值多項(xiàng)式為:,|R3(x)|=|-1,-0.8,0,0.5,x(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|,6-10.設(shè)(x)=x4+2x3+5, 在區(qū)間-3,2上, 對(duì)節(jié)點(diǎn)x0= -3,x1=-1,x2=1,x3=2,求出(x)的分段三次Hermite插值多項(xiàng)式在每個(gè)小區(qū)間xi,xi+1上的表達(dá)式及誤差公式.,解 在-3,-1上,由y0=32,y1=4,y0=-54,y1=2,h=2,得,N3(x)=-1+5.8016(x+1)-4.752(x+1)(x+0.8),+2.79(x+1)(x+0.8)x,5|(x+1)(x+0.8)x(x-0.5)|,H3(x)=320(x)+41(x)-540(x)+21(x),令0(x)=(x+1)2(ax+b),可得a=1/4,b=1,所以,0(x)=(x+1)2(x+4)/4,同理可得:,0(x)=(x+3)(x+1)2/4,1(x)=-(x+3)2x/4,1(x)=(x+3)2(x+1)/4,H3(x)=8(x+1)2(x+4)-(x+3)2x,-13.5(x+3)(x+1)2+0.5(x+3)2(x+1),=-6x3-22x2-24x-4,所以有,誤差為,R(x)=(x+3)2(x+1)2,類(lèi)似地,在區(qū)間-1,1上有,H3(x)=2x3+2x2+4,R(x)=(x+1)2(x-1)2,H3(x)=,寫(xiě)到一起就是,R(x)=,在區(qū)間1,2上有,H3(x)=8x3-13x2+12x+1,R(x)=(x-1)2(x-2)2,-6x3-22x2-24x-4 , -3x-1,2x3+2x2+4 , -1x1,8x3-13x2+12x+1 , 1x2,(x+3)2(x+1)2 , -3x-1,(x+1)2(x-1)2 , -1x1,(x-1)2(x-2)2 , 1x2,6-12.確定a，b，c使函數(shù),是一個(gè)三次樣條函數(shù)。,解 因?yàn)镾(x)是分段三次多項(xiàng)式,故只需S(x)C20,3,由 1=S(1-0)=S(1+0)=c ,得 c=1,所以,當(dāng)a=b=3,c=1時(shí),S(x)是三次樣條函數(shù).,6-13.確定a，b，c,d,使函數(shù),由 3=S(1-0)=S(1+0)=b ,得 b=3,由 6=S(1-0)=S(1+0)=2a ,得 a=3,是一個(gè)三次樣條函數(shù),且S(2)=12.,解 由已知可得: a+b+c+d=2, b+2c+3d=5,2c+6d=8,6d=12, 解之得:a=-1,b=3,c=-2,d=2.,6-19.給出函數(shù)表,解 線(xiàn)性擬合,即形如y=a+bx的擬合曲線(xiàn).構(gòu)造向量,0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, =(0.22,0.8,2,2.5,3.8,4.2)T. 則得正則方程組:,6a+0.5b=13.52,試分別作出線(xiàn)性,二次曲線(xiàn)擬合,并給出最佳均方誤差.,0.5a+2.875b=7.055,解得:,所以,線(xiàn)性擬合曲線(xiàn)為:y=2.078971+2.092353x,最佳均方誤差為:*2= =0.38659,二次擬合,即形如y=a+bx+cx2的擬合曲線(xiàn).構(gòu)造向量,0=(1,1,1,1,1,1)T, 1=(-1,-0.5,0,0.25,0.75,1)T, 2=(1,0.25,0,0.0625,0.5625,1)T，=(0.22,0.8,2,2.5, 3.8,4.2)T.則得正則方程組:,6a+0.5b+2.875c=13.52,0.5a+2.875b+0.3125c=7.055,解得:a=1.94448,b=2.0851,c=0.28191.,二次擬合曲線(xiàn)為:y=1.94448+2.0851x+0.28191x2.,最佳均方誤差為:*2= =0.06943.,2.875a+0.3125b+2.3828125c=6.91375,6-20.用最小二乘法求一個(gè)形如y=a+bx2的經(jīng)驗(yàn)公式,使與下列數(shù)據(jù)擬合,并計(jì)算均方誤差.,解 這里基函數(shù)為0(x)=1,1(x)=x2,構(gòu)造向量,0=(1,1,1,1,1)T, 1=(361,625,961,1089,1936)T, =(19,32.2,49,73.3,97.8)T.則得正則方程組:,5a+4972b=271.3,4972a+6378484b=343237.5,解得:a=3.33339,b=0.051213.,所求擬合曲線(xiàn)為:y=3.33339+0.051213x2.,最佳均方誤差為:*2= =15.93299,6-22.用最小二乘法求下列方程組的近似解:,解 記,G(x,y)=(2x+4y-11)2+(3x-5y-3)2+(x+2y-6)2+(4x+2y-14)2,就是求G(x,y)的最小值,令,解得: x=2.977413,y=1.225873,7-1.建立右矩形和左矩形求積公式,并導(dǎo)出誤差式.,七.習(xí)題7 (第213頁(yè)),解法. 右矩形公式為：,由于(x)-(a)=(x)(x-a), (x)-(b)=(x)(x-b),左矩形公式為：,所以有,7-2.說(shuō)明中矩形公式的幾何意義,并證明,證明 由Taylor展開(kāi)式有,所以有,7-3.若(x)0,證明用梯形公式計(jì)算定積分所得結(jié)果比準(zhǔn)確值大,說(shuō)明幾何意義.,證明 因?yàn)?x)0,所以y=(x)是凹函數(shù),故結(jié)論成立.,7-5.確定下列積分公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡可能高，并說(shuō)明代數(shù)精度是多少？,解 令公式對(duì)(x)=1,x,x2都精確成立,則有,解得:A-1=A1=h/3,A0=4h/3.,A-1+A0+A1=2h,-hA-1+hA1=0,h2A-1+h2A1=2h3/3,求積公式為:,(x)=x3時(shí),左=右=0,公式也精確成立,(x)=x4時(shí),左=2h5/5,右=2h5/3,公式不精確成立,所以公式的代數(shù)精確為3.,解 令公式對(duì)(x)=1,x,x2都精確成立,則有,解得:,2=2,2x1+3x2-1=0,2x12+3x22+1=2,求積公式為:,(x)=x3時(shí),公式都不精確成立,故代數(shù)精度為2.,解 當(dāng)(x)=1時(shí),左=h，右=h，對(duì)所有都成立。,(x)=x時(shí)有左=右=h2/2，對(duì)所有都成立。,故公式的代數(shù)精度為3.,解 令公式對(duì)(x)=1,x精確成立,則有,(x)=x2時(shí),左=h3/3,右=h3/2-2h3，故取=1/12,則有,(x)=x3時(shí),左=h4/4,右=h4/2-h4/4=h4/4，也精確成立.,(x)=x4時(shí),左=h5/5,右=h5/2-h5/3=h5/6，不精確成立.,A0=2/3,A0x0=0,解得A0=2/3,x0=0. 所以公式為,其代數(shù)精度為1.,7-7.設(shè),解 因?yàn)閨(lnx)|=1/x21, |(lnx)(4)|=6/x46,要|I-Tn|10-3,只要,即n9.13,故取n=10.,IS2=1/12ln1+2ln1.5+ln2+4ln1.25+4ln1.75=0.386260,導(dǎo)出兩點(diǎn)Gauss型求積公式.,若取=10-3,分別求出n使復(fù)化梯形公式Tn,復(fù)化Simpson公式Sn的截?cái)嗾`差滿(mǎn)足: |I-Tn|,及|I-Sn| ,并計(jì)算Sn .,要|I-Sn|10-3,只要,即n1.201,故取n=2.,7-10.對(duì)積分,解 區(qū)間0,1上權(quán)函數(shù)為ln(1/x)的正交多項(xiàng)式為:,P0(x)=1, p1(x)=x-1/4, p2(x)=x2-(5/7)x+17/252,令 p2(x)=0 ，解出Gauss點(diǎn)為：,再令公式對(duì)(x)=1,x精確成立,可得,A1+A2=1, A1x1+A2x2=1/4 ,由此解出,所以?xún)牲c(diǎn)Gauss型求積公式為:,7-11.用兩點(diǎn)Gauss型求積公式計(jì)算下列積分的近似值.,解 兩點(diǎn)Gauss-Legendre求積公式為:,所以有,解 兩點(diǎn)Gauss-Laguerre求積公式為:,A1=0.8535533905, A2=0.1464466094,x1=0.5858864376, x2=3.4142135623,所以有,所以有,解 兩點(diǎn)Gauss-Laguerre求積公式為:,A1=A2=0.0.8862269254, -x1=x2=0.7071067811,所以有,解 兩點(diǎn)Gauss-Hermit求積公式為:,7-12.證明下列數(shù)值微分公式：,其中，xj=x0+jh，j=0，1，2。,(x)= (x-x1)(x-x2)(x0)-2(x-x0)(x-x2)(x1)+(x-x0)(x-x1)(x2)/2h2, (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+R2(x0),(2) (x)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2+R2(x),證明 (1)以x0,x1,x2為節(jié)點(diǎn)的二次Lagrange插值為:,+ (x)(x-x0)(x-x1)(x-x2)/6, (x)=(2x-x1-x2)(x0)-2(2x-x0-x2)(x1)+(2x-x0-x1)(x2)/2h2+R2(x), (x0)=-3(x0)+4(x1)-(x2)/2h+h2 ()/3,容易證明 (x1)(x0)-2(x1)+(x2)/h2 對(duì) (x)取次數(shù)不超過(guò)3次的多項(xiàng)式精確成立.,構(gòu)造三次多項(xiàng)式p3(x)使p3(x0)=(x0), p3(x1)=(x1), p3(x2)=(x2), p3(x1)=(x1), 則有,(x)-p3(x)=(4)(x)(x-x0)(x-x1)2(x-x2)/4!,于是有,R2(x1)=(x1)-p3(x1)=(4)()(-2h2)/4!=-(4)()h2/12,所以, (x1)=(x0)-2(x1)+(x2)/h2-(h2/12)(4)(),(3)以x0=-h,x1=0,x2=2h為節(jié)點(diǎn)的二次Lagrange插值為:,(x)= 2x(x-2h)(-h)-3(x+h)(x-2h)(0)+x(x+h)(2h)/6h2,+ (x)x(x+h)(x-2h)/6, (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h+ R2(0), (x)=4(x-h)(-h)-3(2x-h)(0)+(2x+h)(2h)/6h2+R2(x), (0)=-4(-h)+3(0)+(2h)/6h-h2 ()/3,八.習(xí)題8 (第250頁(yè)),8-5.用梯形方法和四階標(biāo)準(zhǔn)R-K方法求解初值問(wèn)題,y+y=0 ， 0x1,y(0)=1,取步長(zhǎng)h=0.1,并與精確解y=e-x相比較.,解 這里(x,y)=-y ,故梯形公式為:,yn+1=yn-0.05(yn+yn+1), 也就是,yn+1=(0.95/1.05)yn,y0=1,四階標(biāo)準(zhǔn)R-K公式為:,K1=-yn, K2=-(yn+0.05K1), K3=-(