世紀(jì)金榜二輪專題輔導(dǎo)與練習(xí)專題三第三講.ppt

第三講 解三角形的綜合問題,一、主干知識(shí) 實(shí)際問題中的常用角 (1)仰角和俯角： 在視線和水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，在水平線下方的角叫俯角(如圖1),(2)方位角： 指從正北方向_轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角，如B點(diǎn)的 方位角為(如圖2) (3)方向角： 相對(duì)于某正方向的水平角，如南偏東30，北偏西45等 (4)坡度： 坡面與水平面所成的二面角的度數(shù)的正切值,順時(shí)針,二、必記公式 1.正弦定理：,2RsinA,2RsinB,2RsinC,2.余弦定理：,b2+c2-2bccosA,a2+c2-2accosB,a2+b2-2abcosC,3.面積公式： SABC,1.(2013常州模擬)在ABC中，若tan Atan Btan C =123，則A=_. 【解析】因?yàn)閠an Atan Btan C=123，可設(shè) tan A=x,tan B=2x,tan C=3x，tan C=-tan(A+B)= 解得x=1， 所以tan A=1，A= 答案：,2.(2013揚(yáng)州模擬)ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為 a,b,c，a=5,b=7,B=60,則c=_. 【解析】由余弦定理知：b2=a2+c2-2accos B, 即49=25+c2-5c, 解上式，得c=8，負(fù)值舍去. 答案：8,3.(2013湖南高考改編)在銳角ABC中，角A，B所對(duì)的邊長(zhǎng) 分別為a，b.若2asin B= 則角A等于_. 【解析】由2asin B= 得2sin Asin B= sin B, 得sin A= 所以銳角A= 答案：,4.(2013山東高考改編)ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是 a，b，c,若B=2A，a=1，b= 則c=_. 【解析】由B=2A,得sin B=sin 2A，由正弦定理知 即 所以cos A= 所以 所以C=BA= 所以c2=a2+b2=1+3=4， c=2. 答案：2,5.(2013重慶模擬)如圖，在某災(zāi)區(qū)的搜救現(xiàn)場(chǎng)，一條搜救犬從A點(diǎn)出發(fā)沿正北方向行進(jìn)x m到達(dá)B處發(fā)現(xiàn)生命跡象，然后向右轉(zhuǎn)105，行進(jìn)10 m到達(dá)C處發(fā)現(xiàn)另一生命跡象，這時(shí)它向右轉(zhuǎn)135回到出發(fā)點(diǎn)，那么x_ m.,【解析】由題圖可知，ABx，ABC18010575， BCA18013545. 因?yàn)锽C10，BAC180754560， 所以 解得 答案：,熱點(diǎn)考向 1 利用正、余弦定理解斜三角形 【典例1】(1)(2013威海模擬)如圖，在 ABC中，已知B45，D是BC邊上的一 點(diǎn)，AD10，AC14，DC6，則AB的長(zhǎng) 為_.,(2)(2013西城模擬)在ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為 a，b，c.已知 求 的值； 若 求ABC的面積.,【解題探究】 (1)解答本題時(shí)如何求ADB. 提示：求ADB，可先利用余弦定理求出ADC. (2)題目所給等式中含有角和邊，要求 需把邊轉(zhuǎn)化為 角，根據(jù)正弦定理可知轉(zhuǎn)化后 本題中 三角形的面積公式為SABC _.,【解析】(1)在ADC中，AD=10,AC=14,DC=6， 由余弦定理得 = 所以ADC=120,ADB=60. 在ABD中，AD=10,B=45,ADB=60, 由正弦定理得 所以 答案：,(2)由正弦定理得 a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C, 所以 即sin Bcos A-2sin Bcos C=2sin Ccos B-sin Acos B,即有 sin(A+B)=2sin(B+C),即sin C=2sin A,所以,由知: 即c=2a. 又因?yàn)閎=2,所以由余弦定理得： b2=c2+a2-2accos B, 即 解得a=1(負(fù)值舍去),所以c=2. 又因?yàn)?所以 故ABC的面積為,【互動(dòng)探究】題(2)在題設(shè)不變的情況下，若 ABC 的周長(zhǎng)為5，求b的長(zhǎng). 【解析】由知 所以有 即c=2a. 又因?yàn)锳BC的周長(zhǎng)為5,所以b=5-3a. 由余弦定理得：b2=c2+a2-2accos B, 即 解得a=1(a=5舍)，所以b=2.,【方法總結(jié)】解三角形常見類型及解法 在三角形的六個(gè)元素中要知三個(gè)(除三角外)才能求解，常見類 型及其解法見下表：,【變式備選】(2013杭州模擬)在ABC中，角A，B，C的對(duì)邊 分別為a，b，c.已知3cos(BC)16cos Bcos C. (1)求cos A. (2)若a3，ABC的面積為 求b，c. 【解析】(1)由3cos(BC)16cos Bcos C， 得3(cos Bcos Csin Bsin C)1， 即cos(BC) 從而cos Acos(BC),(2)由于0A，cos A 所以sin A 又 即 解得bc6. 由余弦定理a2b2c22bccos A，得b2c213. 解方程組,【典例】1.ABC中內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a，b，c, 向量 m= n= 且mn，則角A的大小 為_. 2.在ABC中，已知 邊 設(shè)B=x，周長(zhǎng)為y.則函 數(shù)y=f(x)的解析式為_.,3.(2013海淀模擬)已知函數(shù)f(x)= ABC三個(gè)內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且f(A)=1. 求角A的大小.,【解析】1.由條件可知，因?yàn)閙n， 所以 解得 又A(0,),所以 答案：,2.ABC的內(nèi)角和A+B+C=， 由 B0，C0得0B 由正弦定理，知 因?yàn)閥=AB+BC+AC， 所以 答案：,3.因?yàn)閒(x)= = = 又f(A)= 因?yàn)锳(0,),所以 所以 所以,【方法總結(jié)】與三角形有關(guān)的交匯問題的求解思路 (1)公式應(yīng)用：在解決三角形與平面向量交匯的問題時(shí)應(yīng)熟練掌握平面向量中常見的公式，如向量的平行、垂直的運(yùn)算公式. (2)邊角轉(zhuǎn)化：在三角形中考查三角函數(shù)變換，它是在新的載體上進(jìn)行的三角變換： 作為三角形問題，它必然要用到三角形的內(nèi)角和定理，正、余弦定理及有關(guān)三角形的性質(zhì)，及時(shí)進(jìn)行邊角轉(zhuǎn)化，有利于發(fā)現(xiàn)解決問題的思路；常見的三角變換方法和原則都是適用的，注意“三統(tǒng)一”，即“統(tǒng)一角、統(tǒng)一函數(shù)、統(tǒng)一結(jié)構(gòu)”.,熱點(diǎn)考向 2 三角形形狀的判定 【典例2】(1)(2013陜西高考)設(shè)ABC的內(nèi)角A,B,C所對(duì)的邊 分別為a,b,c,若bcos C+ccos B=asin A,則ABC為_ 三角形.(填銳角、直角或鈍角) (2)(2013玉溪模擬)在ABC中，a，b，c分別表示三個(gè)內(nèi)角A， B，C的對(duì)邊，如果(a2+b2)sin(AB)=(a2b2)sin(A+B), 則ABC為_三角形.(填等邊、直角、等腰、等腰或直角),【解題探究】 (1)本題中bcos C+ccos B=asin A，把邊化為角可變?yōu)?_,在ABC中sin(B+C) =_. (2)題目中所給等式展開后利用兩角和與差的正弦公式化簡(jiǎn)可 得_.(*),sin Bcos C+sin Ccos B=sin2 A,sin A,2a2cos Asin B=2b2cos Bsin A,思路一：把(*)式化邊為角可得 _，然后找出角之間的關(guān) 系求解. 思路二：把(*)式化角為邊可得 _, 然后找出邊之間的關(guān)系求解.,sin 2Asin Asin B=sin 2Bsin Asin B,a2(b2+c2-a2)=b2(a2+c2-b2),【解析】(1)因?yàn)閎cosC+ccosB=asinA,所以由正弦定理得sinBcosC+sinCcosB=sin2A, 所以sin(B+C)=sin2A,sinA=sin2A, sinA=1,所以三角形ABC是直角三角形. 答案：直角,(2)方法一:由已知(a2+b2)sin(A-B) =(a2-b2)sin(A+B), 得a2sin(A-B)-sin(A+B) =b2-sin(A+B)-sin(A-B), 所以2a2cosAsinB=2b2cosBsinA. 由正弦定理得sin2AcosAsinB=sin2BcosBsinA,即sin2AsinAsinB=sin2BsinAsinB. 因?yàn)?A,0B,所以sin2A=sin2B, 所以2A2B或2A2B，即AB或AB 所以ABC是等腰三角形或直角三角形.,方法二：同方法一可得2a2cos Asin B2b2cos Bsin A， 由正、余弦定理得 所以a2(b2c2a2)b2(a2c2b2)， 即(a2b2)(c2a2b2)0. 所以ab或c2a2b2， 所以ABC是等腰三角形或直角三角形. 答案：等腰或直角,【方法總結(jié)】確定三角形的形狀主要的途徑及方法,【變式訓(xùn)練】已知ABC，A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c， 且acsin A 則ABC為_角三角形(填銳、鈍或直).,【解析】因?yàn)閍csin A 又 =accos B， 所以acsin Aaccos B， 所以sin Acos B， 得 cos B， 由y=cos x在(0，)上為減函數(shù)得 即 所以 所以角C為鈍角.所以ABC為鈍角三角形. 答案：鈍,熱點(diǎn)考向 3 解三角形應(yīng)用舉例 【典例3】(2013沈陽模擬)如圖，漁 船甲位于島嶼A的南偏西60方向的B 處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以 10海里/時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北 方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿 北偏東的方向追趕漁船乙，剛好用2 小時(shí)追上. (1)求漁船甲的速度. (2)求sin 的值.,【解題探究】 (1)本題中要求漁船甲的速度，先利用余弦定理求出_. (2)本題中=_.在ABC中，利用正弦定理可得sin = .,BC的長(zhǎng)度,BCA,【解析】(1)依題意，BAC120，AB12， AC10220，BCA. 在ABC中，由余弦定理，得 BC2AB2AC22ABACcos BAC 12220221220cos 120784， 解得BC28.所以漁船甲的速度為14海里/時(shí).,(2)在ABC中，因?yàn)锳B12，BAC120，BC28， BCA， 由正弦定理，得 即sin 所以sin 的值為,【方法總結(jié)】應(yīng)用解三角形知識(shí)解決實(shí)際問題的步驟及流程 (1)解題步驟 讀題.分析題意，準(zhǔn)確理解題意，分清已知與所求，尤其要理解題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等； 圖解.根據(jù)題意畫出示意圖，并將已知條件在圖形中標(biāo)出； 建模.將所求解的問題歸結(jié)到一個(gè)或幾個(gè)三角形中，通過合理運(yùn)用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識(shí)正確求解； 驗(yàn)證.檢驗(yàn)解出的結(jié)果是否具有實(shí)際意義，對(duì)結(jié)果進(jìn)行取舍，得出正確答案,(2)思維流程,【變式訓(xùn)練】(2013江蘇高考)如圖，游客從某旅游景區(qū)的景 點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑.一種是從A沿直線步行到C，另一 種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C.現(xiàn)有甲、 乙兩位游客從A處下山，甲沿AC勻速步行，速度為50 m/min.在 甲出發(fā)2 min后，乙從A乘纜車到B，在B處停留1 min后，再從B 勻速步行到C.假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為130 m/min，山 路AC長(zhǎng)為1 260 m，經(jīng)測(cè)量，,(1)求索道AB的長(zhǎng). (2)問:乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？ (3)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？,【解析】(1)在ABC中，因?yàn)?所以 從而sin B=sin-(A+C) =sin(A+C)=sin Acos C+cos Asin C = 由正弦定理得 =1 040(m).所以索道AB的長(zhǎng)為1 040 m.,(2)假設(shè)乙出發(fā)t分鐘后，甲、乙兩游客距離為d,此時(shí)，甲行走 了(100+50t)m，乙距離A處130t m，所以由余弦定理得 d2=(100+50t)2+(130t)2-2130t(100+50t) =200(37t2-70t+50), 因0t 即0t8, 故當(dāng)t= (min)時(shí)，甲、乙兩游客距離最短.,(3)由正弦定理 得 =500(m). 乙從B出發(fā)時(shí)，甲已走了50(2+8+1)=550(m)，還需走710 m才 能到達(dá)C. 設(shè)乙步行的速度為v m/min，由題意得 解得 所以為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過3分鐘，乙步行 的速度應(yīng)控制在 (單位：m/min)范圍內(nèi).,函數(shù)建模思想 解決三角形的實(shí)際問題 【思想詮釋】 1.主要類型：(1)與測(cè)量有關(guān)的山高、堤壩、土地面積問題. (2)與航海、航空有關(guān)的運(yùn)行問題.(3)圖形設(shè)計(jì)問題 2.解題思路：運(yùn)用所學(xué)的解三角形的知識(shí)和方法對(duì)實(shí)際問題進(jìn)行分析，通過模型準(zhǔn)備、模型假設(shè)、模型建立、模型求解的思路解決實(shí)際問題.,3.注意事項(xiàng)：(1)解決實(shí)際問題時(shí)注意對(duì)模型進(jìn)行檢驗(yàn)，將模型分析結(jié)果與實(shí)際情境進(jìn)行比較，做到與實(shí)際吻合.(2)應(yīng)用三角函數(shù)建立函數(shù)模型時(shí)，突出了對(duì)三角函數(shù)工具性的考查，建模時(shí)注意相關(guān)角的范圍.,【典例】 (14分)(2013延吉模擬)某城市有一 塊不規(guī)則的綠地如圖所示，城建部門 欲在該地上建造一個(gè)底座為三角形的 環(huán)境標(biāo)志，小李、小王設(shè)計(jì)的底座形 狀為ABC，ABD，經(jīng)測(cè)量ADBD 14，BC10，AC16，CD. (1)求邊AB的長(zhǎng)度. (2)若建造環(huán)境標(biāo)志的費(fèi)用與用地面積成正比，不考慮其他因素，小李、小王誰的設(shè)計(jì)使建造費(fèi)用較低，請(qǐng)說明理由.,【審題】分析信息，形成思路 (1)切入點(diǎn)：在ABC和ABD中，根據(jù)余弦定理分別列方程求解. 關(guān)注點(diǎn)：注意C=D的應(yīng)用. (2)切入點(diǎn)：利用三角形面積公式比較大小. 關(guān)注點(diǎn)：將三角形問題還原為實(shí)際問題.,【解題】規(guī)范步驟，水到渠成 (1)在ABC中，由余弦定理得 AB2AC2BC22ACBCcos C 16210221610cos C 2分 在ABD中，由余弦定理