高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用3.3.3函數(shù)的最大小值與導(dǎo)數(shù)學(xué)案（含解析）新人教A版.docx

3.3.3函數(shù)的最大(小)值與導(dǎo)數(shù)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)最值的概念，了解其與函數(shù)極值的區(qū)別與聯(lián)系.2.會(huì)求某閉區(qū)間上函數(shù)的最值知識(shí)點(diǎn)一函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值如圖為yf(x)，xa，b的圖象思考1觀察a，b上函數(shù)yf(x)的圖象，試找出它的極大值、極小值答案極大值為f(x1)，f(x3)，極小值為f(x2)，f(x4)思考2結(jié)合圖象判斷，函數(shù)yf(x)在區(qū)間a，b上是否存在最大值，最小值？若存在，分別為多少？答案存在，f(x)minf(a)，f(x)maxf(x3)思考3函數(shù)yf(x)在a，b上的最大(小)值一定是某極值嗎？答案不一定，也可能是區(qū)間端點(diǎn)的函數(shù)值梳理函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，則該函數(shù)在a，b上一定能夠取得最大值與最小值，函數(shù)的最值必在端點(diǎn)處或極值點(diǎn)處取得知識(shí)點(diǎn)二求函數(shù)yf(x)在a，b上的最值的步驟(1)求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值(2)將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值知識(shí)點(diǎn)三最值與極值的區(qū)別與聯(lián)系(1)極值是對(duì)某一點(diǎn)附近(即局部)而言，最值是對(duì)函數(shù)的定義區(qū)間的整體而言(2)在函數(shù)的定義區(qū)間內(nèi)，極大(小)值可能有多個(gè)，但最大(小)值只有一個(gè)(或者沒(méi)有)(3)函數(shù)f(x)的極值點(diǎn)為定義域中的內(nèi)點(diǎn)，而最值點(diǎn)可以是區(qū)間的端點(diǎn)(4)對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)，函數(shù)的最大(小)值必在極大(小)值點(diǎn)或區(qū)間端點(diǎn)取得如圖是yf(x)在區(qū)間a，b上的函數(shù)圖象，顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值最大值yMf(x3)f(b)分別在xx3及xb處取得，最小值ymf(x4)在xx4處取得1函數(shù)的最大值一定是函數(shù)的極大值()2開(kāi)區(qū)間上的單調(diào)連續(xù)函數(shù)無(wú)最值()3函數(shù)f(x)在區(qū)間a，b上的最大值和最小值一定在兩個(gè)端點(diǎn)處取得()類(lèi)型一求函數(shù)的最值例1求下列各函數(shù)的最值(1)f(x)4x33x236x5，x2，)；(2)f(x)xsinx，x0，2考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求最值解(1)f(x)12x26x36，令f(x)0，得x12，x2.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x2f(x)00f(x)57由于當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以f(x)在上為增函數(shù)因此，函數(shù)f(x)在2，)上只有最小值，無(wú)最大值(2)f(x)cosx，令f(x)0，又x0，2，解得x或x.計(jì)算得f(0)0，f(2)，f，f.所以當(dāng)x0時(shí)，f(x)有最小值f(0)0；當(dāng)x2時(shí)，f(x)有最大值f(2).反思與感悟求解函數(shù)在固定區(qū)間上的最值，需注意以下幾點(diǎn)：(1)對(duì)函數(shù)進(jìn)行準(zhǔn)確求導(dǎo)，并檢驗(yàn)f(x)0的根是否在給定區(qū)間內(nèi)(2)研究函數(shù)的單調(diào)性，正確確定極值和端點(diǎn)函數(shù)值(3)比較極值與端點(diǎn)函數(shù)值大小，確定最值跟蹤訓(xùn)練1求函數(shù)f(x)ex(3x2)，x2，5的最值考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求最值解f(x)3exexx2，f(x)3ex(exx22exx)ex(x22x3)ex(x3)(x1)在區(qū)間2，5上，f(x)ex(x3)(x1)0，函數(shù)f(x)在區(qū)間2，5上單調(diào)遞減，當(dāng)x2時(shí)，函數(shù)f(x)取得最大值f(2)e2；當(dāng)x5時(shí)，函數(shù)f(x)取得最小值f(5)22e5.例2已知函數(shù)f(x)(xk)ex.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求f(x)在區(qū)間0,1上的最小值考點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題題點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)求最值解(1)由f(x)(xk)ex，得f(x)(xk1)ex，令f(x)0，得xk1.當(dāng)x變化時(shí)，f(x)與f(x)的變化情況如下表：x(，k1)k1(k1，)f(x)0f(x)ek1所以，f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是(，k1)；單調(diào)遞增區(qū)間是(k1，)(2)當(dāng)k10，即k1時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(0)k，當(dāng)0k11，即1k2時(shí)，由(1)知f(x)在0，k1)上單調(diào)遞減，在(k1,1上單調(diào)遞增，所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(k1)ek1.當(dāng)k11，即k2時(shí)，函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞減所以f(x)在區(qū)間0,1上的最小值為f(1)(1k)e.綜上可知，當(dāng)k1時(shí)，f(x)mink；當(dāng)1k0，求f(x)在m,2m上的最大值考點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題題點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)求最值解(1)f(x)1，令f(x)0，得x21lnx.顯然x1是上面方程的解令g(x)x2lnx1，x(0，)，則g(x)2x0，函數(shù)g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，x1是方程f(x)0的唯一解當(dāng)0x0；當(dāng)x1時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減(2)由(1)知函數(shù)f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減當(dāng)02m1，即0m時(shí)，f(x)在m,2m上單調(diào)遞增，f(x)maxf(2m)2m.當(dāng)m1時(shí)，f(x)在m,2m上單調(diào)遞減，f(x)maxf(m)m.當(dāng)m12m，即m0時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1,0)0(0,2)2f(x)0f(x)7abb16ab由表可知，當(dāng)x0時(shí)，f(x)取得極大值b，也是函數(shù)f(x)在1,2上的最大值，f(0)b3.又f(1)7a3，f(2)16a3f(1)，f(2)16a329，解得a2.當(dāng)af(1)，f(2)16a293，解得a2.綜上可得，a2，b3或a2，b29.反思與感悟已知函數(shù)在某區(qū)間上的最值求參數(shù)的值(范圍)是求函數(shù)最值的逆向思維，一般先求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及極值點(diǎn)，探索最值點(diǎn)，根據(jù)已知最值列方程(不等式)解決問(wèn)題其中注意分類(lèi)討論思想的應(yīng)用跟蹤訓(xùn)練3設(shè)af(a)，f(1)f(1)，故需比較f(0)與f(1)及f(1)與f(a)的大小因?yàn)閒(0)f(1)a10，所以f(x)的最大值為f(0)b1.又f(1)f(a)(a1)2(a2)0，所以f(x)的最小值為f(1)1aba，所以a，a.所以a，b1.類(lèi)型三與最值有關(guān)的恒成立問(wèn)題例4已知函數(shù)f(x)x3ax2bxc在x與x1處都取得極值(1)求a，b的值及函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間(2)若對(duì)任意x1,2，不等式f(x)c2恒成立，求c的取值范圍考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由f(x)x3ax2bxc，得f(x)3x22axb，因?yàn)閒(1)32ab0，fab0，解得a，b2，所以f(x)3x2x2(3x2)(x1)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如下表：x1(1，)f(x)00f(x)極大值極小值所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為和(1，)；單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)由(1)知，f(x)x3x22xc，x1,2，當(dāng)x時(shí)，fc為極大值，因?yàn)閒(2)2c，所以f(2)2c為最大值要使f(x)f(2)2c，解得c2.故c的取值范圍為(，1)(2，)反思與感悟不等式恒成立問(wèn)題常用的解題方法跟蹤訓(xùn)練4已知函數(shù)f(x)xlnx若對(duì)所有x1都有f(x)ax1，求實(shí)數(shù)a的取值范圍題點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)1lnx，令f(x)0，解得x；令f(x)0，解得0x1時(shí)，g(x)0，故g(x)在(1，)上是增函數(shù)，所以g(x)的最小值是g(1)1.因此ag(x)ming(1)1，故a的取值范圍為(，1.1函數(shù)f(x)exx在區(qū)間1,1上的最大值是()A1B1Ce1De1考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求最值答案C解析由題意得f(x)ex1.令f(x)0，得x0.當(dāng)x1,0)時(shí)，f(x)0.所以f(x)在1,0)上單調(diào)遞減，在(0,1上單調(diào)遞增又因?yàn)閒(1)1，f(1)e1，所以f(1)f(1)2e0，所以f(1)f(1)所以f(x)maxf(1)e1.2函數(shù)f(x)x33x(|x|1)()A有最大值，但無(wú)最小值B有最大值，也有最小值C無(wú)最大值，但有最小值D既無(wú)最大值，也無(wú)最小值考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案D解析f(x)3x233(x1)(x1)，當(dāng)x(1,1)時(shí)，f(x)0，c或ce時(shí)，y0；當(dāng)0x0，所以y極大值y|xee1，在定義域內(nèi)只有一個(gè)極值，所以ymaxe1.3已知函數(shù)f(x)，g(x)均為a，b上的可導(dǎo)函數(shù)，在a，b上連續(xù)且f(x)g(x)，則f(x)g(x)的最大值為()Af(a)g(a) Bf(b)g(b)Cf(a)g(b) Df(b)g(a)考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)抽象函數(shù)的最值答案A解析令F(x)f(x)g(x)，f(x)g(x)，F(xiàn)(x)f(x)g(x)CmDm考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍答案A解析f(x)2x36x2，令f(x)0，得x0或x3，驗(yàn)證可知x3是函數(shù)的最小值點(diǎn)，故f(x)minf(3)3m，由f(x)90恒成立，得f(x)9恒成立，即3m9，m.5已知函數(shù)yx22x3在區(qū)間a,2上的最大值為，則a等于()AB.CD.或考點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題題點(diǎn)知最值求參數(shù)答案C解析當(dāng)a1時(shí)，最大值為4，不符合題意當(dāng)1a2時(shí)，f(x)在a,2上是減函數(shù)，所以f(x)maxf(a)，即a22a3，解得a或a(舍去)6若函數(shù)f(x)x36bx3b在(0,1)內(nèi)有最小值，則實(shí)數(shù)b的取值范圍為()A(0,1) B(，1)C(0，) D.考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)最值存在性問(wèn)題答案D解析由題意得函數(shù)f(x)x36bx3b的導(dǎo)函數(shù)f(x)3x26b在(0,1)內(nèi)有零點(diǎn)，且f(0)0，即6b0，0b0)，則y2t.當(dāng)0t時(shí)，y時(shí)，y0，可知y在內(nèi)單調(diào)遞增故當(dāng)t時(shí)，|MN|有最小值二、填空題9函數(shù)f(x)(x2,2)的最大值是_，最小值是_考點(diǎn)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值題點(diǎn)不含參數(shù)的函數(shù)求最值答案22解析f(x)，令f(x)0，得x11，x21.由f(2)，f(1)2，f(1)2，f(2)，得f(x)max2，f(x)min2.10若函數(shù)f(x)(a0)在1，)上的最大值為，則a的值為_(kāi)考點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題題點(diǎn)知最值求參數(shù)答案1解析f(x)，當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)0，f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，當(dāng)x(，)時(shí)，f(x)0，f(x)為單調(diào)遞減函數(shù)若1，即01，即a1時(shí)，f(x)在1，)上單調(diào)遞增，在(，)上遞減，所以f(x)maxf()，a(舍去)故a1.11已知函數(shù)f(x)ex2xa有零點(diǎn)，則a的取值范圍是_考點(diǎn)函數(shù)極值的應(yīng)用題點(diǎn)函數(shù)的零點(diǎn)與方程的根答案(，2ln22解析f(x)ex2.令f(x)0，解得xln2.當(dāng)x(，ln2)時(shí)，f(x)0.f(x)minf(ln2)22ln2a.由題意知，22ln2a0，可得a2ln22.三、解答題12已知函數(shù)f(x)x3ax23x.(1)若f(x)在1，)上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若x3是f(x)的極值點(diǎn)，求f(x)在1，a上的最大值和最小值考點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題題點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)求最值解(1)f(x)3x22ax3，當(dāng)x1，)時(shí)，f(x)0恒成立，amin3(當(dāng)且僅當(dāng)x1時(shí)取等號(hào))，a3，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為(，3(2)由題意知f(3)0，即276a30，a5，f(x)x35x23x，f(x)3x210x3.令f(x)0，得x13，x2(舍去)當(dāng)1x3時(shí)，f(x)0，當(dāng)3x0，即當(dāng)x3時(shí)，f(x)取得極小值f(3)9.又f(1)1，f(5)15，f(x)在1,5上的最小值是f(3)9，最大值是f(5)15.13設(shè)f(x)lnx，g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的單調(diào)區(qū)間和最小值(2)求a的取值范圍，使得g(a)g(x)0成立考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍解(1)由題設(shè)知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)，所以g(x)lnx，所以g(x).令g(x)0，得x1，當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，故(1，)是g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間因此x1是g(x)在(0，)上的唯一極值點(diǎn)，且為極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，所以最小值為g(1)1.(2)因?yàn)間(a)g(x)0成立，即lna0成立由(1)知，g(x)的最小值為1，所以lna1，解得0aBkCk考點(diǎn)函數(shù)最值的應(yīng)用題點(diǎn)恒成立中參數(shù)的取值范圍答案D解析命題等價(jià)于當(dāng)x3,3時(shí)，(x2k1)0恒成立，即kx3x2x.設(shè)g(x)x3x2x，則g(x)x2x(3x)(1x)由g(x)0，得1x3；由g(x)0，得3x.15已知函數(shù)f(x)lnx.(1)當(dāng)a0時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若函數(shù)f(x)在1，e上的最小值是，求a的值考點(diǎn)含參數(shù)的函數(shù)最值問(wèn)題題點(diǎn)知最值求參數(shù)解函數(shù)f(x)lnx的定義域?yàn)?0，)，f(x)，(1)a0，故函數(shù)在其定義域(0，)上單調(diào)遞增(2)當(dāng)