向量及其線性運(yùn)算.ppt

第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算,一、向量的概念,二、向量的線性運(yùn)算,三、空間直角坐標(biāo)系,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,五、向量的模、方向角、投影,六、小結(jié) 思考題,向量：,既有大小又有方向的量。 如位移、速度、加速度、力等。,向量表示：,模長為1的向量.,模長為0 的向量.,向量的模：,向量的大小.,或,或,或,1、概念,單位向量：,零向量,自由向量：,不考慮起點(diǎn)位置的向量.,相等向量：,大小相等且方向相同的向量.,負(fù)向量：,大小相等但方向相反的向量.,向徑：,空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)M與原點(diǎn)構(gòu)成的向量.,一、向量的概念,2、兩非零向量的關(guān)系,相等：,大小相等且方向相同的向量.,平行或共線：,方向相同或相反的兩個(gè)非零向量.,垂直：,方向成90夾角的兩個(gè)非零向量.,注意：,由于零向量的方向可以看成任意的，故可以認(rèn)為 零向量與任何向量都平行或垂直。,共面：,把若干個(gè)向量的起點(diǎn)放到一起，若它們的終點(diǎn)和公共起點(diǎn)在同一平面上，則稱這些向量共面.,1、向量的加減法, 加法：,（平行四邊形法則）,特殊地：若,分為同向和反向,（平行四邊形法則有時(shí)也稱為三角形法則）,二、向量的線性運(yùn)算,向量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：,交換律：,結(jié)合律：,加負(fù)律：, 減法,2、向量與數(shù)的乘法, 定義：,數(shù)與向量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：,結(jié)合律：,分配律：,線性運(yùn)算：,向量的加法及數(shù)乘統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算。,按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，,上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量.,單位向量的表示,注意：與三個(gè)坐標(biāo)軸同向的單位向量的記法.,兩個(gè)向量的平行關(guān)系,證,充分性顯然；,下面證明必要性,兩式相減，得,注：此定理是建立數(shù)軸的理論依據(jù).,橫軸,縱軸,豎軸,定點(diǎn),空間直角坐標(biāo)系Oxyz坐標(biāo)系 或O;i,j,k坐標(biāo)系,三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系.,1、坐標(biāo)系的構(gòu)成, 坐標(biāo)軸：橫軸、縱軸、豎軸, 坐標(biāo)面：xOy面、 yOz面、zOx面, 卦限：、,三、空間直角坐標(biāo)系,面,面,面,空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限,空間的點(diǎn)M,有序數(shù)組,特殊點(diǎn)的表示:,坐標(biāo)軸上的點(diǎn),坐標(biāo)面上的點(diǎn),2、點(diǎn)、向量與坐標(biāo),向徑,加法,1、向量的加減法與數(shù)乘,減法,數(shù)乘,2、平行向量的坐標(biāo)表示式,四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,向量的模:,1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式:,按勾股定理可得,兩點(diǎn)間的距離公式:,五、向量的模、方向角、投影,2、方向角與方向余弦,空間兩向量的夾角的概念:,類似地，可定義向量與一軸或空間兩軸的夾角.,特殊地，當(dāng)兩個(gè)向量中有一個(gè)零向量時(shí)，規(guī)定它們的夾角可在0與 之間任意取值.,非零向量與三條坐標(biāo)軸正向的夾角稱為方向角.,方向角,顯然有,方向余弦,由圖分析可知,方向余弦通常用來表示向量的方向.,向量的方向余弦,方向余弦的特征,特殊地：單位向量的方向余弦為,例1 已知A(3,3,1) 和B (1,5,1) , 計(jì)算,解,解,3、向量在軸上的投影,x軸與向量 的關(guān)系,向量在u軸上投影,向量在三坐標(biāo)軸上的投影,向量投影的性質(zhì),解,一、向量概念,1、概念,2、兩非零向量的關(guān)系,二、向量的線性運(yùn)算,1、向量的加減法,2、向量與數(shù)的乘法,三、空間直角坐標(biāo)系,1、坐標(biāo)系的構(gòu)成,2、點(diǎn)、向量與坐標(biāo),四、利用坐標(biāo)作向量的線性運(yùn)算,1、向量的加減法與數(shù)乘,2、平行向量的坐標(biāo)表示式,五、向量的模,方向角,投影,1、向量的模與兩點(diǎn)間的距離公式,2、方向角與方向余弦,3、向量在軸上的投影,六、小結(jié),思考題,在空間直角坐標(biāo)系中，指出下列各點(diǎn)在哪個(gè)卦限？,1、向量的加減法與數(shù)乘,2、方向角與方向余弦,第一節(jié)向量及其線性運(yùn)算,A:; B:; C:; D:;,思考題解答,解析幾何的產(chǎn)生并不是偶然的。在笛卡爾寫幾何學(xué)以前，就有許多學(xué)者研究過用兩條相交直線作為一種坐標(biāo)系；也有人在研究天文、地理的時(shí)候，提出了一點(diǎn)位置可由兩個(gè)“坐標(biāo)”（經(jīng)度和緯度）來確定。這些都對解析幾何的創(chuàng)建產(chǎn)生了很大的影響。 在數(shù)學(xué)史上，一般認(rèn)為和笛卡爾同時(shí)代的法國業(yè)余數(shù)學(xué)家費(fèi)爾馬也是解析幾何的創(chuàng)建者之一，應(yīng)該分享這門學(xué)科創(chuàng)建的榮譽(yù)。 費(fèi)爾馬是一個(gè)業(yè)余從事數(shù)學(xué)研究的學(xué)者，對數(shù)論、解析幾何、概率論三個(gè)方面都有重要貢獻(xiàn)。他性情謙和，好靜成癖，對自己所寫的“書”無意發(fā)表。但從他的通信中知道，他早在笛卡爾發(fā)表幾何學(xué)以前，就已寫了關(guān)于解析幾何的小文，就已經(jīng)有了解析幾何的思想。只是直到1679年，費(fèi)爾馬死后，他的思想和著述才從給友人的通信中公開發(fā)表。 笛卡爾的幾何學(xué)，作為一本解析幾何的書來看，是不完整的，但重要的是引入了新的思想，為開辟數(shù)學(xué)新園地做出了貢獻(xiàn)。,二、解析幾何的基本內(nèi)容,在解析幾何中，首先是建立坐標(biāo)系。如上圖，取定兩條相互垂直的、具有一定方向和度量單位的直線，叫做平面上的一個(gè)直角坐標(biāo)系oxy。利用坐標(biāo)系可以把平面內(nèi)的點(diǎn)和一對實(shí)數(shù)(x,y)建立起一一對應(yīng)的關(guān)系。除了直角坐標(biāo)系外，還有斜坐標(biāo)系、極坐標(biāo)系、空間直角坐標(biāo)系等等。在空間坐標(biāo)系中還有球坐標(biāo)和柱面坐標(biāo)。,坐標(biāo)系將幾何對象和數(shù)、幾何關(guān)系和函數(shù)之間建立了密切的聯(lián)系，這樣就可以對空間形式的研究歸結(jié)成比較成熟也容易駕馭的數(shù)量關(guān)系的研究了。用這種方法研究幾何學(xué)，通常就叫做解析法。這種解析法不但對于解析幾何是重要的，就是對于幾何學(xué)的各個(gè)分支的研究也是十分重要的。,附錄: 坐標(biāo)法解析幾何,解析幾何的創(chuàng)立，引入了一系列新的數(shù)學(xué)概念，特別是將變量引入數(shù)學(xué)，使數(shù)學(xué)進(jìn)入了一個(gè)新的發(fā)展時(shí)期，這就是變量數(shù)學(xué)的時(shí)期。解析幾何在數(shù)學(xué)發(fā)展中起了推動作用。恩格斯對此曾經(jīng)作過評價(jià)“數(shù)學(xué)中的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)，有了變數(shù)，運(yùn)動進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)；有了變數(shù)，微分和積分也就立刻成為必要的了，”,三、解析幾何的應(yīng)用 解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。,在平面解析幾何中，除了研究直線的有關(guān)直線的性質(zhì)外， 主要是研究圓錐曲線（圓、橢圓、拋物線、雙曲線）的有關(guān)性質(zhì)。 在空間解析幾何中，除了研究平面、直線有關(guān)性質(zhì)外， 主要研究柱面、錐面、旋轉(zhuǎn)曲面。,橢圓、雙曲線、拋物線的有些性質(zhì)，在生產(chǎn)或生活中被廣泛應(yīng)用。比如電影放映機(jī)的聚光燈泡的反射面是橢圓面，燈絲在一個(gè)焦點(diǎn)上，影片門在另一個(gè)焦點(diǎn)上；探照燈、聚光燈、太陽灶、雷達(dá)天線、衛(wèi)星的天線、射電望遠(yuǎn)鏡等都是利用拋物線的原理制成的。 總的來說，解析幾何運(yùn)用坐標(biāo)法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點(diǎn)的軌跡，通過坐標(biāo)系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，研究方程所表示的曲線性質(zhì)。 運(yùn)用坐標(biāo)法解決問題的步驟是：首先在平面上建立坐標(biāo)系，把已知點(diǎn)的軌跡的幾何條件“翻譯”成代數(shù)方程；