哈爾濱工業(yè)大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)II第二套張金生有限單元法.ppt

有限單元法初步,有限單元法是在矩陣位移法基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一種結(jié)構(gòu) 分析方法，用于板殼、實(shí)體等結(jié)構(gòu)的分析。,有限元分析的步驟與矩陣位移法基本相同，過程也相似。,離散化：,單元分析：,整體分析：,求應(yīng)力：,1 桿系結(jié)構(gòu)的有限單元法,1.1 泛函與變分,“最速落徑問題”-質(zhì)量為m的小環(huán)從A處自由滑下， 試選擇一條曲線使所需時(shí)間最短。（不計(jì)摩擦）,所需時(shí)間,稱T為y（x）的泛函， y（x）為自變函數(shù)。,即以函數(shù)作自變量以積 分形式定義的函數(shù)為泛函。,1.1 泛函與變分,變分運(yùn)算在形式上與微分運(yùn)算相同。,稱 為y（x）的變分，它是一個(gè)無窮小的任意函數(shù)。,微分與變分運(yùn)算次序可以交換。,積分與變分運(yùn)算次序也可以交換。,1.2 變形體虛位移原理,外力虛功,內(nèi)力虛功,虛功方程,1.3 勢能原理,1.應(yīng)變能,彎曲應(yīng)變能,拉壓應(yīng)變能,剪切應(yīng)變能,2.外力勢能,外力從變形狀態(tài)退回到無位移的 原始狀態(tài)中所作的功.,3.結(jié)構(gòu)勢能,對于線彈性桿件體系,4.勢能原理,對于線彈性桿件體系,對于線彈性桿件體系,虛功方程為:,或,即,在彈性結(jié)構(gòu)的一切可能位移中，真實(shí)位移 使結(jié)構(gòu)勢能取駐值。,1.4 基于勢能原理的平面拉壓桿單元的單元分析,單元桿端力,一、建立位移模式 -用桿端位移表示桿中位移,單元桿端位移,設(shè)桿中任一點(diǎn)位移,a、b稱為廣義坐標(biāo),令 -自然坐標(biāo),-形函數(shù)矩陣,2.,中包含剛體位移,桿中任一點(diǎn)應(yīng)變,一、建立位移模式 -用桿端位移表示桿中位移,-應(yīng)變矩陣,二、應(yīng)變分析 -用桿端位移表示桿中應(yīng)變,三、應(yīng)力分析 -用桿端位移表示桿中內(nèi)力,桿中任一點(diǎn)應(yīng)力,桿中任一截面的軸力,四、單元分析 -用桿端位移表示桿端力,單元應(yīng)變能,單元外力勢能,1.4 基于勢能原理的平面拉壓桿單元的單元分析,四、單元分析 -用桿端位移表示桿端力,單元的總勢能,單元是平衡的,上式記作,其中,-局部坐標(biāo)系下的單元剛度矩陣,-單元等效結(jié)點(diǎn)荷載,1.4 基于勢能原理的平面拉壓桿單元的單元分析,單元分析的步驟:,1.以單元結(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)位移,的性函數(shù)矩陣,2.由應(yīng)變分析得到應(yīng)變矩陣,3.由勢能駐值