江蘇省高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)專題六數(shù)列第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列學(xué)案.doc

第1講等差數(shù)列與等比數(shù)列考情考向分析1.數(shù)列的概念是A級要求，了解數(shù)列、數(shù)列的項、通項公式、前n項和等概念，一般不會單獨考查.2.等差數(shù)列、等比數(shù)列主要考查等差、等比數(shù)列的通項公式、求和公式以及性質(zhì)的靈活運用，解答題會以等差數(shù)列、等比數(shù)列推理證明為主， 要求都是C級熱點一等差數(shù)列、等比數(shù)列的運算例1(2018江蘇南京師大附中模擬)已知等差數(shù)列和等比數(shù)列均不是常數(shù)列，若a1b11，且a1,2a2,4a4成等比數(shù)列，4b2,2b3，b4成等差數(shù)列(1)求和的通項公式；(2)設(shè)m，n是正整數(shù)，若存在正整數(shù)i，j，k(ijk)，使得ambj，amanbi，anbk成等差數(shù)列，求mn的最小值解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d(d0)，等比數(shù)列bn的公比為q(q1)，由題意得解得d1，q2，所以ann，bn2n1，nN*.(2)由(1)得，ann，bn2n1(nN*)，由ambj，amanbi，anbk成等差數(shù)列，得2amanbiambjanbk，即2mn2i1m2j1n2k1.由于ij0，2，則有mn6；所以mn的最小值為6，當(dāng)且僅當(dāng)ji1，ki2且或時取得思維升華在進(jìn)行等差(比)數(shù)列項與和的運算時，若條件和結(jié)論間的聯(lián)系不明顯，則均可化成關(guān)于a1和d(q)的方程組求解，但要注意消元法及整體計算，以減少計算量跟蹤演練1(1)若Sn是公差不為0的等差數(shù)列an的前n項和，且S1，S2，S4成等比數(shù)列則數(shù)列S1，S2，S4的公比為_答案4解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意，得SS1S4，(2a1d)2a1(4a16d)d0，d2a1.故公比q4.(2)在公差不為零的等差數(shù)列an中，a57，且三個數(shù)a1，a4，a3依次成等比數(shù)列抽出數(shù)列an的第1,2,22，2n項重新構(gòu)成新數(shù)列bn，數(shù)列bn的前n項和Sn_.答案2n213n4(nN*)解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，由a1，a4，a3構(gòu)造成的等比數(shù)列的公比為q.d0，q.a4a1，又a4a13d，a13da1，da1.a57，a14d7，a19，d4.an4n13(nN*)由題意，數(shù)列an中的第2n項即為數(shù)列bn中的第n1項bna2n142n113.Snb1b2b3bn4(12222n1)13n4(2n1)13n.Sn2n213n4(nN*)熱點二等差數(shù)列、等比數(shù)列的證明例2(2018宿遷一模)已知數(shù)列，其前n項和為Sn，滿足a12，Snnanan1，其中n2，nN*，R.(1)若0，4，bnan12an，求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若a23，且，求證：數(shù)列是等差數(shù)列證明(1)若0，4，則Sn4an1(n2)，所以an1Sn1Sn4(anan1)，即an12an2(an2an1)，所以bn2bn1, 又由a12，a1a24a1，得a23a16，a22a120，即b10，所以2，故數(shù)列是等比數(shù)列(2)若a23，由a1a22a2a1，得562，又，解得，1.由a12，a23, ，1，代入S33a3a2得，a34，所以a1，a2，a3成等差數(shù)列，由Snanan1，得Sn1an1an，兩式相減得an1an1ananan1，即(n1)an1(n2)an2an10，所以nan2(n1)an12an0，相減得nan22(n1)an1(n4)an2an10，所以n(an22an1an)2(an12anan1)0，所以(an22an1an)(an12anan1)(an2an1an2)(a32a2a1)，因為a12a2a30，所以an22an1an0，即數(shù)列是等差數(shù)列思維升華數(shù)列an是等差數(shù)列或等比數(shù)列的證明方法(1)證明數(shù)列an是等差數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明an1an(nN*)為一常數(shù)利用中項性質(zhì)，即證明2anan1an1(n2，nN*)(2)證明數(shù)列an是等比數(shù)列的兩種基本方法利用定義，證明(nN*)為一常數(shù)利用等比中項，即證明aan1an1(n2，nN*)跟蹤演練2已知n為正整數(shù)，數(shù)列an滿足an0，4(n1)ana0，設(shè)數(shù)列bn滿足bn.(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)若數(shù)列bn是等差數(shù)列，求實數(shù)t的值(1)證明由題意得，4(n1)ana，因為數(shù)列an各項為正數(shù)，得4，所以2，因此2，所以是以a1為首項，2為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)得a12n1，ana12n1，bn.如果數(shù)列bn是等差數(shù)列，則2b2b1b3，得2，即，則t216t480，解得t4或12.當(dāng)t4時，bn，bn1bn，數(shù)列bn是等差數(shù)列，符合題意；當(dāng)t12時，bn，b2b4a，2b32，b2b42b3，數(shù)列bn不是等差數(shù)列，t12不符合題意綜上，若數(shù)列bn是等差數(shù)列，則t4.熱點三等差數(shù)列、等比數(shù)列的綜合例3在數(shù)列an中，已知a1a21，anan22an1，nN*，為常數(shù)(1)證明：a1，a4，a5成等差數(shù)列；(2)設(shè)cn，求數(shù)列cn的前n項和Sn；(3)當(dāng)0時，數(shù)列an1中是否存在三項as11，at11，ap11成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列？若存在，求出s，t，p的值；若不存在，說明理由(1)證明因為anan22an1，a1a21，所以a32a2a11.同理，a42a3a231，a52a4a361.又因為a4a13，a5a43，所以a1，a4，a5成等差數(shù)列(2)解由anan22an1，得an2an1an1an，令bnan1an，則bn1bn，b1a2a10，所以bn是以0為首項，為公差的等差數(shù)列，所以bnb1(n1)(n1)，即an1an(n1)，所以an2an2(an1an)(2n1)，所以cn2(2n1).Snc1c2cn223252(2n1).當(dāng)0時，Snn；當(dāng)0時，Sn223252(2n1).(3)解由(2)知an1an(n1)，用累加法可求得an1(n2)，當(dāng)n1時也適合，所以an1(nN*)假設(shè)存在三項as11，at11，ap11成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列，則(at11)2(as11)(ap11)，由0，得.因為s，t，p成等比數(shù)列，所以t2sp，所以(t1)2(s1)(p1)，化簡得sp2t，聯(lián)立t2sp，得stp，這與題設(shè)矛盾故不存在三項as11，at11，ap11成等比數(shù)列，且s，t，p也成等比數(shù)列思維升華數(shù)列的綜合題，常將等差、等比數(shù)列結(jié)合在一起，形成兩者之間的相互聯(lián)系和相互轉(zhuǎn)化；有些數(shù)列題目條件已指明是等差(或等比)數(shù)列，有的數(shù)列并沒有指明，但可以通過分析構(gòu)造，轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后應(yīng)用等差、等比數(shù)列的相關(guān)知識解決問題跟蹤演練3已知數(shù)列an滿足2an1anan2k(nN*，kR)，且a12，a3a54.(1)若k0，求數(shù)列an的前n項和Sn；(2)若a41，求數(shù)列an的通項公式解(1)當(dāng)k0時，2an1anan2，即an2an1an1an，所以數(shù)列an是等差數(shù)列設(shè)數(shù)列an的公差為d，則解得所以Snna1d2nn2n(nN*)(2)由題意得2a4a3a5k，即24k，所以k2.由2a3a2a42及2a2a1a32，得a42a3a222(2a2a12)a223a22a16，所以a23.由2an1anan22，得(an2an1)(an1an)2，所以數(shù)列an1an是以a2a11為首項，2為公差的等差數(shù)列，所以an1an2n3(nN*)當(dāng)n2時，有anan12(n1)3，于是an1an22(n2)3，an2an32(n3)3，a3a2223，a2a1213，疊加得，ana1212(n1)3(n1)(n2)，所以an23(n1)2n24n1(n2)又當(dāng)n1時，a12也適合上式所以數(shù)列an的通項公式為ann24n1，nN*.1(2017江蘇)等比數(shù)列an的各項均為實數(shù)，其前n項和為Sn，已知S3，S6，則a8_.答案32解析設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公比為q(q1)，則解得所以a8a1q72732.2(2018江蘇)已知集合Ax|x2n1，nN*，Bx|x2n，nN*將AB的所有元素從小到大依次排列構(gòu)成一個數(shù)列an記Sn為數(shù)列an的前n項和，則使得Sn12an1成立的n的最小值為_答案27解析經(jīng)過列舉計算可知S26503，而a2743.12a27516，不符合題意S27546，a2845,12a28540，符合題意使得Sn12an1成立的n的最小值為27.3已知各項不為0的等差數(shù)列an滿足a42a3a80，數(shù)列bn是等比數(shù)列，且b7a7，則b2b12_.答案4解析設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，因為a42a3a80，所以a73d2a3(a7d)0，即a2a7，解得a70(舍去)或a72，所以b7a72.因為數(shù)列bn是等比數(shù)列，所以b2b12b4.4已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1，an2SnSn1(n2)，則S100_.答案解析當(dāng)n2時，anSnSn1，SnSn12SnSn1，Sn(12Sn1)Sn1，顯然，若Sn10，則Sn0，S1a10，由遞推關(guān)系式知Sn0(nN*)，2，即2(n2)，故數(shù)列為等差數(shù)列，(n1)22n22n，Sn，S100.5設(shè)數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足Sn2an，n1,2,3，.(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)若數(shù)列bn滿足b11，且bn1bnan，求數(shù)列bn的通項公式；(3)在(2)的前提條件下，設(shè)cnn(3bn)，求數(shù)列cn的前n項和Tn.解(1)因為當(dāng)n1時，a1S1a1a12，所以a11.因為Sn2an，即anSn2，所以an1Sn12.兩式相減，得an1anSn1Sn0，即an1anan10，故有2an1an.因為an0，所以(nN*)所以數(shù)列an是首項為1，公比為的等比數(shù)列，所以數(shù)列an的通項公式為ann1(nN*)(2)因為bn1bnan(n1,2,3，)，所以bn1bnn1.從而有b2b11，b3b2，b4b32，bnbn1n2(n2,3，)將這n1個等式相加，得bnb112n222n1.又因為b11，所以bn32n1(n1,2,3，)(3)因為cnn(3bn)2nn1，所以Tn2，Tn2.，得Tn22nn，故Tn44nn84nn8(84n)(n1,2,3，)A組專題通關(guān)1(2018鎮(zhèn)江期末)設(shè)等比數(shù)列的前n項和為Sn，若a12, S69S3，則a5的值為_答案32解析設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由題意知，q1， a12, S69S3，化簡為1q39，q2，a522432.2設(shè)Sn是等差數(shù)列an(nN*)的前n項和，且a11，a47，則S5_.答案25解析由a11，a47，可得d2，所以an2n1，所以S525.3(2018鹽城模擬)設(shè)Sn為等差數(shù)列的前n項和，若的前2 017項中的奇數(shù)項和為2 018，則S2 017的值為_答案4 034解析因為的前2 017項中的奇數(shù)項和為2 018，所以2 018，所以a1a2 0174，因此S2 0174 034.4等差數(shù)列an前9項的和等于前4項的和若a11，aka40，則k_.答案10解析方法一S9S4，即，9a52(a1a4)，即9(14d)2(23d)，d，由1(k1)130，得k10.方法二S9S4，a5a6a7a8a90，a70，從而a4a102a70，k10.5已知an為等差數(shù)列，其公差為2，且a7是a3與a9的等比中項，Sn為an的前n項和，nN*，則S10的值為_答案110解析aa3a9，d2，(a112)2(a14)(a116)，解得a120，S101020(2)110.6(2018江蘇泰州中學(xué)月考)已知數(shù)列滿足： a11, an1( nN*)，則數(shù)列的通項公式為_答案an(nN*)解析由an1得 1 ，變形得 12，所以是以2為公比的等比數(shù)列，所以122n12n ，所以an(nN*)7設(shè)數(shù)列an滿足a11，(1an1)(1an)1(nN*)，則kak1的值為_答案解析因為(1an1)(1an)1，所以anan1anan10，從而1，即數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，所以1n1n，所以an.故an1an，因此kak11.8已知公差為d的等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若3，則的值為_答案解析設(shè)等差數(shù)列an的首項為a1，則由3，得3，所以d4a1，所以.9設(shè)an是等差數(shù)列，bn是各項都為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1b11，a3b521，a5b313.(1)求an，bn的通項公式；(2)求數(shù)列的前n項和Sn.解(1)設(shè)an的公差為d，bn的公比為q，則依題意有q0且解得d2，q2.所以an1(n1)d2n1，bnb1qn12n1，nN*.(2).Sn1，2Sn23，得Sn2222226(nN*)10已知數(shù)列an的前n項和為Sn，a1，且SnSn1an1(nN*，且n2)，數(shù)列bn滿足：b1，且3bnbn1n(n2，且nN*)(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求證：數(shù)列bnan為等比數(shù)列(1)解由SnSn1an1，得SnSn1an1，即anan1(nN*，n2)，則數(shù)列an是以為公差的等差數(shù)列又a1，ana1(n1)dn.(2)證明3bnbn1n(n2)，bnbn1n(n2)，bnanbn1nnbn1n(n2)bn1an1bn1(n1)bn1n(n2)，bnan(bn1an1)(n2)b1a1300，(n2)數(shù)列bnan是以30為首項，為公比的等比數(shù)列B組能力提高11在等比數(shù)列中，a21，公比q1.若a1,4a3,7a5成等差數(shù)列，則a6的值是_答案解析由題意得8a3a17a58q7q37q48q210q2(舍q21)，從而a6q4.12(2018常州期末)各項均為正數(shù)的等比數(shù)列中，若a2a3a4a2a3a4，則a3的最小值為