在制圖過程中換面法的使用.pptVIP

2.6 換面法,教學目的： 1.掌握換面法的基本原理，熟練掌握點的一次、二次換面 法的基本作圖方法。 2.熟練掌握換面法的四個基本作圖方法，并能用于解決空 間幾何元素常見的度量問題和定位問題。 教學重點： 換面法的原理和應用換面法解決實際問題。 教學難點： 應用換面法解決空間幾何元素常見的度量問題和定位問 題。,2.6 換面法,畫法幾何討論的作圖問題主要歸結為兩類。一是定位問題，即在投影圖 上確定空間幾何元素（點、線、面）和幾何體的投影。二是度量問題，即根 據幾何元素和幾何體的投影確定它們的實長、實形、角度、距離等。 由前面內容可知，當空間的直線、平面對投影面處于特殊位置 平 行或垂直時，上述兩類問題的作圖較為簡便。本節(jié)將研究如何改變空間幾何 元素相對于投影面的位置，以達到有利于解題的目的。 投影變換的方法很多，其中比較簡單和常用的方法有兩種:變換投影面法 （簡稱換面法）和旋轉法。 換面法是使空間幾何元素保持不動，用新的投影面替換原有的某個投影 面，使空間幾何元素對新投影面處于有利于解題的位置。 旋轉法是使空間幾何元素繞垂直于某一投影面的軸線旋轉，使空間幾何 元素對投影面處于有利于解題的位置。 本教材只講述換面法和用換面法解決幾何元素的定位和度量問題。,2.6 換面法,2.6.1 換面規(guī)則 更換投影面時，新投影面的位置并不是任意的。首先，空間幾何元素在 新投影面上的投影要有利于解題;此外，新投影面還要垂直于原來的某一個投 影面，構成新的兩投影面體系（如圖2-49所示）以便運用正投影原理由原來 的投影作出新投影。 由于新投影面的位置選擇受到上述限制，解答某些問題時，更換一個投 影面有時不能使空間幾何元素與新投影面達到預期的相對位置，從而得不到 有利于解題的新投影。這時需連續(xù)進行兩次或多次換面，但每次只能更換一 個投影面。如圖2-50所示，先換V 面,再換H 面，也可以先換H 面再換V 面。,圖2-49 一次換面,圖2-50 兩次換面,2.6 換面法,2.6.2 求作點的新投影 任何形體都可以看作是點的集合。所以，研究運用換面法解決某些作圖 問題之前，首先要討論點的新投影的作法。 1.一次換面 如圖2-51所示為更換正立投影面V時點的投影變換規(guī)律。,圖2-51 點的一次變換（換V面）,設給出V、H投影面體系（以后簡稱V/H體系）中的點A及其投影a、a。新投影面V1 垂直于原投影面H，替換原V面變成新投影面體系V1/H，稱為更換正立投影面。其中，H面稱為保留投影面、V 面稱為被替換投影面、V1 面稱為新投影面。H與V1 面的交線X1 稱為新投影軸，簡稱新軸。原投影軸X稱為舊軸。,2.6 換面法,將點A向V1 面作垂直投射，得到新投影a1 。在新、舊投影面體系中，由于 H面保持不動，所以點A到H面的距離（Z坐標）不變，因而有a1 aX1 =aaX。 若使V1 面繞新軸X1 旋轉重合于H面，則得如圖2-51（b）所示的投影圖。在 投影圖上有:aa1 X1 ;a1 aX1 =aaX 。其中a稱為保留投影;a稱為被替換投 影;a1 稱為新投影。 由上述分析可得出給定新軸X1 的位置后求A點的新投影a1 的作圖步驟: （1）過保留投影a作直線aaX1 X1 ，得垂足aX1 。 （2）自aX1 在垂線上截取aaX1 =aaX 得點a1 ，a1 即是點A在V1 面上的 新投影。 圖2-52表示更換H面。取新投影面H1 ，使H1 V，原投影面體系V/H變換成 V/H1 。V 面為保留投影面;H面為被替換投影面;H1 面為新投影面。,圖2-52 點的一次換面（換H面）,2.6 換面法,設點A在H1 面上的投影為a1 ，此時，點A到V面的距離（y坐標）不變， 所以有a1a X1=aaX 。當新投影面H1 繞X1 軸旋轉重合于V面后，在投影圖 上有aa1X1 ;a1aX1 =aaX 。綜合上述更換投影面的兩種情況，得如下 投影規(guī)律: （1）點的新投影與保留投影的連線垂直于新軸。 （2）新投影到新軸的距離等于被替換投影到舊軸的距離。 當新投影面的位置（新軸的位置）確定后，由點的原來投影作其新投影 的步驟為: （1）過點的保留投影作直線垂直于新軸，得一垂足。 （2）自垂足在所作垂線上截取線段等于被替換投影到舊軸的距離，截得 的點即為所求新投影。 直線或平面的變換，可歸結為直線上的兩點或平面上三點的變換，其方 法、步驟與上述相同。 2.二次換面 圖2-53表示更換兩次投影面時求作點的新投影的方法，其作圖原理與更 換一次投影面相同。,2.6 換面法,在V.H體系中，先用V1 替換V，V1 H，組成V1/H投影面體系（H為保留 投影面），求出a1。 再把V1/H當作原投影面體系，用新投影面H1 替換H，H1V1 ，組成新 的V1/H1 投影面體系，求出新投影a1 。此時V1 面為保留投影面，被替換投 影面則指H面。V1 、H1 面的交線為新軸X2 ，而X1 在第二次換面時被稱為舊 軸。 二次換面時，點的投影變換規(guī)律仍適用，即a1a1X2;a1 aX2 =aaX1 ， 如圖2-53（b）。在換面順序上可以有兩種方案，即V/HV1/HV1/H1 或 V/HV/H1 V1/H1 ，由需要而定。,圖2-53 點的二次變換,2.6 換面法,2.6.3 基本作圖問題 用換面法解答各類定位與度量問題時，均可歸結為下列四個基本作圖問題。 1.把一般位置直線變換成新投影面平行線 由前述規(guī)則可知，要把一般位置直線變換成新投影面平行線，所選新投影面 應與直線平行，同時又垂直于保留的原投影面，從而新軸應平行于直線的保留投 影。,如圖2-54（a）所示，AB為V/H體系中的一般位置直線。若更換V面，把AB變換成V1 面的平行線，則新投影面V1 應平行于AB且垂直于H。此時新軸X1 應平行于AB的水平投影ab。新軸確定后，可按點的新投影的作法作出直線AB的新投影 a1b1，AB變換成V1/H體系內的平行線。,圖2-54 把一般位置直線變換成V1 面平行線,2.6 換面法,作圖 如圖2-54（b）所示，作新軸X1ab，作出點A及點B在V1 面上的 新投影a1b1。 a1b1反映線段AB的實長，它與X1 軸的夾角為直線AB對H面的傾 角。 若更換H面，可將AB變換成H1 面的平行線,如圖2-55所示。此時X1ab， a1b1反映AB 的實長，a1b1與X1軸的夾角即為AB對V 面的傾角。,圖2-55 一般位置直線變H1 面平行線,2.6 換面法,2.把一般位置直線變換成新投影面垂直線 要把一般位置直線變換成新投影面垂直線，只更換一個投影面顯然不行。 因為找不到一個新投影面，既與一般位置直線垂直，又與一個原投影面垂直。 但如果所給直線是投影面平行線，要將其變換成新投影面垂直線，更換一次投 影面即可完成。如圖2-56（a）所示，AB為V/H體系內的正平線，若將其變換成 新投影面垂直線,需設新投影面H1AB。又因為ABV，所以H1必定垂直于V面。 AB變換為V/H1體系內的垂直線。 作圖 作新軸X1ab，并作出AB在H1面上的新投影a1b1 。a1、b1 重影 為一點，圖2-56（b）為其投影圖。,圖2-56 平行線變新投影面垂直線,2.6 換面法,綜上可知，要把一般位置直線變換為新投影面垂直線，必須兩次更換投影 面。如圖2-57（a）所示，把V/H體系內的一般位置直線AB先換成V1/H體系內的 平行線，再換成V1/H1體系內的垂直線，作圖過程如圖2-57（b）所示。,圖2-57 一般位置直線變新投影面垂直線,2.6 換面法,3.把一般位置平面變換成新投影面垂直面 如圖2-58（a）所示，平面ABC在V/H體系內為一般位置平面。若把它變 換成新投影面垂直面，可設新投影面V1 替換原投影面V，并使V1 垂直ABC 內的一直線L。為保證V1 同時垂直于H面，應取LH，即L為ABC內的水平 線。根據投影性質可知，新軸X1 l。,圖2-58 一般位置平面變V1 面的垂直,2.6 換面法,作圖 在ABC內取水平線L（l、l）。作X1l，按點的新投影的作法，作 出ABC各頂點在V1面上的新投影a1、b1、c1。由于LV1ABCV1，所以 a1b1c1成一直線。a1b1c1與X1軸的夾角為ABC對H面的傾角。同理， 也可以更換H面把ABC變換為V/H1體系內的垂直面，如圖2-59所示。此時，a1b1c1 與X1軸的夾角為ABC 對V 面的傾角。,圖2-59 一般位置平面變H1 面的垂直面,2.6 換面法,4.把一般位置平面變換成新投影面平行面 要把一般位置平面變換成新投影面平行面，必須兩次更換投影面。第一 次把一般位置平面變成新投影面垂直面，原理與作圖方法如前所述。第二次 把垂直面再更換成新投影面平行面。 如圖2-60（a）所示，平面ABCV1 ，再設新投 影面 H1ABC 且 H1V1。根據平行面的投影性質，新軸X2a1b1c1。在H1面上作出ABC 頂點的新投影a1、b1、c1，a1b1c1為ABC的實形。 如圖2-60（b）所示為一般位置平面兩次變換為新投影面平行面的作圖 過程。 應當注意，兩次或多次換面時，不能連續(xù)更換同一個投影面，而應兩個 投影面交替更換。將上述四個基本作圖問題綜合運用，可以解決多種定位與 度量問題。如由垂直面變換為投影面的平行平面。由一般位置平面變換為投 影面的平行面等。,2.6 換面法,圖2-60 平面的兩次變換,2.6 換面法,2.6.4 解題舉例 【例2-14】 試過點A作直線與已知直線BC垂直相交，如圖2-61所示。 分析 當直線BC平行于某投影面時，由直角投影定理可知，與BC垂直的直 線在該投影面上的投影反映其垂直關系。將直線BC由一般位置變換為某投影面 平行線，需更換一次投影面。,圖2-61 過A作直線與BC垂直相交,2.6 換面法,作圖 （1）用V1替換V（也可以用H1替換H），將BC換成V1面的平行線。 （2）點A隨同直線BC一起變換，得新投影a1。 （3）過a1向b1c1作垂線，垂足為e1。e1即為兩線垂直相交后的交 點E在V1 面上的投影。 （4）將e1逆變換返回到V/H體系，求出e及e1。連接ae、ae即為 所求。 討論 此題也可以將點A及直線BC看成同一平面。將平面ABC變換成新投影 面平行面，在反映實形的新投影上作出點A 到直線BC的距離AE，然后返回到原 投影面體系即可。同樣方法也可以求出兩平行直線間的距離、兩相交直線間的 夾角、作角平分線等。因此，凡屬同一平面內幾何元素的定位、度量問題，均 可將此平面變換成新投影面平行面加以解決。,2.6 換面法,【例2-15】 求點K到平面P（ABCD）的距離。 分析 如圖2-62（a）所示，若過點K向平面P引垂線，則點K到垂足L的距 離就是K到平面P的距離。如果平面P是某投影面垂直面，則垂線KL就是該投影面 的平行線，距離可直接反映在投影圖上。,圖2-62 求點到平面的距離,2.6 換面法,由于P平面屬于一般位置平面，故本題需更換一次投影面，將其變換成新 投影面垂直面。 作圖 （1）更換V面，把平面P變換成V1面的垂直面。作新軸X1ad（AD、 BC為P內水平線）。 （2）作出P在V1 面上的新投影p1及點K的新投影k1。 （3）過k1向p1作垂線，垂足為l1。k1l1即為點K到平面P的距離， 見圖2-62（b）。 討論 如果需要作出KL的投影，可按照點的變換規(guī)則把l1返回到V/H體 系。因KL是V 面的平行線，所以過k作klX1 即可求出l。再由l、l1定l。,2.6 換面法,【例2-16】 求交叉兩直線AB、CD之間的距離及公垂線的投影。 分析 交叉兩直線間的距離即是它們之間公垂線的實長。 如圖2-63（a）所示，若使兩交叉直線之一CD變換成新投影面H1的垂直線 時，AB、CD的公垂線MN 必為該投影面的平行線，MN在H1面上的投影m1n1反映 公垂線的實長;另一條直線AB雖為一般位置直線，但因MNAB，由直角投影定 理得a1b1m1n1，由此可定出公垂線的位置。 由于AB、CD 均為一般位置直線，故本題需兩次更換投影面。,圖2-63 求交叉二直線間的距離及公垂線,2.6 換面法,作圖 如圖2-6