七年級數(shù)學培優(yōu)專題02-數(shù)的整除性

1、七年級數(shù)學培優(yōu)專題02 數(shù)的整除性專題02 數(shù)的整除性 閱讀與思考 設a，b是整數(shù)，b0，如果一個整數(shù)q使得等式a=bq成立，那么稱a能被b整除，或稱b整除a，記作b|a，又稱b為a的約數(shù)， 而a稱為b的倍數(shù)解與整數(shù)的整除相關問題常用到以下知識： 1數(shù)的整除性常見特征： 若整數(shù)a的個位數(shù)是偶數(shù)，則2|a； 若整數(shù)a的個位數(shù)是0或5，則5|a； 若整數(shù)a的各位數(shù)字之和是3(或9)的倍數(shù)，則3|a(或9|a)； 若整數(shù)a的末二位數(shù)是4(或25)的倍數(shù)，則4|a(或25|a)； 若整數(shù)a的末三位數(shù)是8(或125)的倍數(shù)，則8|a(或125|a)； 若整數(shù)a的奇數(shù)位數(shù)字和與偶數(shù)位數(shù)字和的差是11的倍數(shù)

2、，則11|a 2整除的基本性質 設a，b，c都是整數(shù)，有： 若a|b，b|c，則a|c； 若c|a，c|b，則c|(ab)； 若b|a，c|a，則b，c|a； 若b|a，c|a，且b與c互質，則bc|a； 若a|bc，且a與c互質，則a|b特別地，若質數(shù)p|bc，則必有p|b或p|c 例題與求解 【例1】在1，2，3，2 000這2 000個自然數(shù)中，有_個自然數(shù)能同時被2和3整除，而且不能被5整除 (“五羊杯”競賽試題) 解題思想：自然數(shù)n能同時被2和3整除，則n能被6整除，從中剔除能被5整除的數(shù)，即為所求【例2】已知a，b是正整數(shù)(ab)，對于以下兩個結論： 在ab，ab，ab這三個數(shù)中必

3、有2的倍數(shù)； 在ab，ab，ab這三個數(shù)中必有3的倍數(shù)其中 ( )A只有正確B只有正確 C，都正確D，都不正確 (江蘇省競賽試題) 解題思想：舉例驗證，或按剩余類深入討論證明 【例3】已知整數(shù)13ab456能被198整除，求a，b的值 (江蘇省競賽試題) 解題思想：198=2911，整數(shù)13ab456能被9，11整除，運用整除的相關特性建立a，b的等式，求出a，b的值 【例4】已知a，b，c都是整數(shù)，當代數(shù)式7a2b3c的值能被13整除時，那么代數(shù)式5a7b22c的值是否一定能被13整除，為什么？ (“華羅庚金杯”邀請賽試題) 解題思想：先把5a7b22c構造成均能被13整除的兩個代數(shù)式的和，

4、再進行判斷 【例5】如果將正整數(shù)M放在正整數(shù)m左側，所得到的新數(shù)可被7整除，那么稱M為m的“魔術數(shù)”(例如：把86放在415左側，得到86 415能被7整除，所以稱86為415的魔術數(shù))，求正整數(shù)n的最小值，使得存在互不相同的正整數(shù)a1，a2，an，滿足對任意一個正整數(shù)m，在a1，a2，an中都至少有一個為m的“魔術數(shù)” (2013年全國初中數(shù)學競賽試題) 解題思想：不妨設ai?7ki?t(i=1，2，3，n；t=0，1，2，3，4，5，6)至少有一個為m的“魔術數(shù)”根據(jù)題中條件，利用ai10?m(k是m的位數(shù))被7除所得余數(shù)，分析i的取值 k【例6】一只青蛙，位于數(shù)軸上的點ak，跳動一次后到

5、達ak?1，已知ak，ak?1滿足|ak?1ak|=1，我們把青蛙從a1開始，經(jīng)n1次跳動的位置依次記作An：a1，a2，a3，an 寫出一個A5，使其a1?a5?0，且a1a2a3a4a50； 若a1=13，a2000=2 012，求a1000的值； 對于整數(shù)n(n2)，如果存在一個An能同時滿足如下兩個條件：a1=0；a1a2a3an=0求整數(shù)n(n2)被4除的余數(shù)，并說理理 (2013年“創(chuàng)新杯”邀請賽試題) 解題思想：a1?a5?0即從原點出發(fā)，經(jīng)過4次跳動后回到原點，這就只能兩次向右，兩次向左為保證a1a2a3a4a50只需將“向右”安排在前即可 若a1=13，a2000=2 012

6、，從a1經(jīng)過1 999步到a2000不妨設向右跳了x步，向左跳了y步，則?x?y?1999?x?1999，解得可見，它一直向右跳，沒有向左跳 ?13?x?y?2012?y?0設An同時滿足兩個條件：a1=0；a1a2a3an=0于a1=0，故從原點出發(fā)，經(jīng)過(k1)步到達ak，假定這(k1)步中，向右跳了xk步，向左跳了yk步，于是ak=xkyk，xkyk=k1，則a1a2a3an=0(x2?y2)(x3?y3)(xn?yn)=2(x1x2xn)(x2?y2)(x3?y3)(xn?yn)=2(x2x3xn)n?n?1?于a1a2a3an=0，所以2n(n1)=4(x2x3xn)即4|n(n1)

7、 能力訓練 A級 1某班學生不到50人，在一次測驗中，有111的學生得優(yōu)，的學生得良，的學生得及格，則732有_人不及格 2從1到10 000這1萬個自然數(shù)中，有_個數(shù)能被5或能被7整除 (上海市競賽試題) 3一個五位數(shù)3ab98能被11與9整除，這個五位數(shù)是_ 4在小于1 997的自然數(shù)中，是3的倍數(shù)而不是5的倍數(shù)的數(shù)的個數(shù)是(A532 B665C133 D798 5能整除任意三個連續(xù)整數(shù)之和的最大整數(shù)是( )A1B2C3D6 ) (江蘇省競賽試題) 6用數(shù)字1，2，3，4，5，6組成的沒有重復數(shù)字的三位數(shù)中，是9的倍數(shù)的數(shù)有(A12個 B18個 C20個 D30個 ) (“希望杯”邀請賽試題) 7五位數(shù)abcde是9的倍數(shù)，其中abcd是4的倍數(shù)，那么abcde的最小值為多少？ (黃岡市競賽試題) 81，2，3，4，5，6每個使用一次組成一個六位數(shù)字abcdef，使得三位數(shù)abc，bcd，cd