概率論和數(shù)理統(tǒng)計隨機變量的數(shù)字特征.ppt

1、1,1.3 隨機變量的數(shù)字特征,一、數(shù)學期望與方差 二、協(xié)方差與協(xié)方差,2,若當級數(shù) 絕對收斂時，稱 為隨機變量X的數(shù)學期望，記為E（X），即,1、數(shù)學期望的定義,定義 2 設(shè)連續(xù)型隨機變量X的概率密度為f(x),則當廣義積分 絕對收斂時，稱此積分的值為隨機變量X的 數(shù)學期望，記為 E（X），即,E（X）=,一、數(shù)學期望與方差,1、定義1 設(shè)離散型隨機變量X的分布律為：,3,2、 數(shù)學期望的性質(zhì)：,（4）若X，Y為兩個相互獨立的隨機變量，則有 E（XY）=E（X）E（Y）,（1）設(shè)C是常數(shù)，則 E（C）=C 這里C視為 退化的隨機變量,（2）設(shè)X為一隨機變量，C為常數(shù)，則有 E（CX）=CE（

2、X）,（3）設(shè)X，Y為兩個隨機變量，則有 E（X+Y）=E（X）+E（Y）,注： (1),4,例2、已知XE(X)，求Y=2X-1的數(shù)學期望,解 依題意知，X的概率密度為,于是,進而,3、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望,離散型: X的分布率為: P X=xk =Pk , k=1,2且級數(shù),5,連續(xù)型: X的概率密度為f(x) ，若積分,(1)已知隨機變量X的分布,求其函數(shù)Y=g(X)的期望:,絕對收斂,絕對收斂,6,（2）連續(xù)型R.V(X，Y)的概率密度為: f(x,y) 則有,（1）離散型 (X，Y) 的分布律為：,(2)、已知隨機變量（X,Y）的分布，求函數(shù)Z=g(X,Y)的數(shù)學期望,7,例1.2

3、6 設(shè)隨機變量,解 依題知，X的概率密度為,故,4、方差的概念,8,D（x）=Var（X）=,5、方差的計算方法：,當X為離散型隨機變,當X是連續(xù)型隨機變量,常用公式:,9,例5：已知XU(a,b)，求E(X)和D(X).,解 由題知，X的概率密度為,于是有,而,6、方差的性質(zhì):,10,(1)D(C) 0; (2) D(CX)=C2D(X); (3) 當X、Y獨立,D(X+Y)=D(X)+D(Y); (4) D(X)=0等價于PX=C=1. (C為常數(shù)),7、常見分布的期望方差:,11,(5)均勻分布:,(1)二點分布:,(2)二項分布:,(3)泊松分布:,(4)正態(tài)分布:,E(X)=np D

4、(X)=np(1-p),(6) 指數(shù)分布,E(X)=p D(X)=pq,12,例1.29 設(shè)XE(t)，YN(0,t2)，(t0)且X與Y相互獨立，而Z=2X-3Y+1，試求E(Z)和E(Z2).,解 因XE(t)，YN(0,t2)故,所以,13,注：Cov(X,X)= EX-E（X）X-E（X）=D(X) Cov(X,Y) =E(XY)-E(X)E(Y).,二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù),14,例1.30 設(shè)(X,Y)的概率密度為,解 因定理1.2提供的公式，直接有,于是有,15,3、性質(zhì)：,注: (1)當 較大時,我們通常說X與Y的線性相關(guān)程度較好; 當 較小時，我們說X與Y的線性相關(guān)程度較差.,(2)XY=0我們也稱X與Y不相關(guān).,注：設(shè)二維隨機變量,則X與Y的相關(guān)系數(shù)為,16,(4) X與Y的k+l 階混合中心