1第十一章三角形能力培優(yōu)

1、第十一章 三角形11.1與三角形有關(guān)的線段專題一 三角形個(gè)數(shù)的確定1如圖，圖中三角形的個(gè)數(shù)為（）A2 B18 C19 D202如圖所示，第1個(gè)圖中有1個(gè)三角形，第2個(gè)圖中共有5個(gè)三角形，第3個(gè)圖中共有9個(gè)三角形，依此類推，則第6個(gè)圖中共有三角形_個(gè)3閱讀材料，并填表：在ABC中，有一點(diǎn)P1，當(dāng)P1、A、B、C沒(méi)有任何三點(diǎn)在同一直線上時(shí)，可構(gòu)成三個(gè)不重疊的小三角形（如圖）當(dāng)ABC內(nèi)的點(diǎn)的個(gè)數(shù)增加時(shí)，若其他條件不變，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)情況怎樣？完成下表：ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)1231007構(gòu)成不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)35專題二 根據(jù)三角形的三邊不等關(guān)系確定未知字母的范圍4三角形的三邊分別為3

2、，12a，8，則a的取值范圍是（） A6a3 B5a2 C2a5 Da5或a25. 在ABC中，三邊長(zhǎng)分別為正整數(shù)a、b、c，且cba0，如果b=4，則這樣的三角形共有_個(gè)6若三角形的三邊長(zhǎng)分別是2、x、8，且x是不等式的正整數(shù)解，試求第三邊x的長(zhǎng)狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1三角形的三邊關(guān)系 三角形兩邊的和大于第三邊，兩邊的差小于第三邊2三角形三條重要線段 (1)高：從三角形的頂點(diǎn)向?qū)吽诘闹本€作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的線段叫做三角形的高 (2)中線：連接三角形的頂點(diǎn)與對(duì)邊中點(diǎn)的線段叫做三角形的中線 (3)角平分線：三角形內(nèi)角的平分線與對(duì)邊相交，頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線3三角形的穩(wěn)定

3、性 三角形具有穩(wěn)定性【溫馨提示】1以“是否有邊相等”，可以將三角形分為兩類：三邊都不相等的三角形和等腰三角形而不是分為三類：三邊都不相等的三角形、等腰三角形、等邊三角形，等邊三角形是等腰三角形的一種2三角形的高、中線、角平分線都是線段，而不是直線或射線【方法技巧】1根據(jù)三角形的三邊關(guān)系判定三條線段能否組成三角形時(shí)，要看兩條較短邊之和是否大于最長(zhǎng)邊2三角形的中線將三角形分成兩個(gè)同底等高的三角形，這兩個(gè)三角形面積相等參考答案:1D 解析：線段AB上有5個(gè)點(diǎn)，線段AB與點(diǎn)C組成5（51）2=10個(gè)三角形；同樣，線段DE上也有5個(gè)點(diǎn)，線段DE與點(diǎn)C組成5（51）2=10個(gè)三角形，圖中三角形的個(gè)數(shù)為20

4、個(gè)故選D221 解析：根據(jù)前邊的具體數(shù)據(jù)，再結(jié)合圖形，不難發(fā)現(xiàn)：后邊的總比前邊多4，若把第一個(gè)圖形中三角形的個(gè)數(shù)看作是1=43，則第n個(gè)圖形中，三角形的個(gè)數(shù)是4n3所以當(dāng)n=6時(shí)，原式=213解：填表如下：ABC內(nèi)點(diǎn)的個(gè)數(shù)1231007構(gòu)成不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)3572015解析：當(dāng)ABC內(nèi)有1個(gè)點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是3=121；當(dāng)ABC內(nèi)有2個(gè)點(diǎn)時(shí)，構(gòu)成不重疊的三角形的個(gè)數(shù)是5=221；參考上面數(shù)據(jù)可知，三角形的個(gè)數(shù)與點(diǎn)的個(gè)數(shù)之間的關(guān)系是：三角形內(nèi)有n個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形內(nèi)互不重疊的小三角形的個(gè)數(shù)是2n+1，故當(dāng)有3個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是321=7；當(dāng)有1007個(gè)點(diǎn)時(shí)，三角形的個(gè)數(shù)是10

5、0721=20154B 解析：根據(jù)題意，得8312a83，即512a11，解得5a2故選B510 解析：在ABC中，三邊長(zhǎng)分別為正整數(shù)a、b、c，且cba0，ca+bb=4，a=1，2，3，4a=1時(shí)，c=4；a=2時(shí)，c=4或5；a=3時(shí)，c=4，5，6；a=4時(shí)，c=4，5，6，7這樣的三角形共有1+2+3+4=10個(gè)6解：原不等式可化為3（x+2）2（12x），解得x8x是它的正整數(shù)解，x可取1，2，3，5，6，7再根據(jù)三角形三邊關(guān)系，得6x10，x=711.2與三角形有關(guān)的角專題一 利用三角形的內(nèi)角和求角度1如圖，在ABC中，ABC的平分線與ACB的外角平分線相交于D點(diǎn)，A=50，則D

6、=（）A15 B20 C25 D302如圖，已知：在直角ABC中，C=90，BD平分ABC且交AC于D. 若AP平分BAC且交BD于P，求BPA的度數(shù)3已知：如圖1，線段AB、CD相交于點(diǎn)O，連接AD、CB，如圖2，在圖1的條件下，DAB和BCD的平分線AP和CP相交于點(diǎn)P，并且與CD、AB分別相交于M、N試解答下列問(wèn)題：（1）在圖1中，請(qǐng)直接寫出A、B、C、D之間的數(shù)量關(guān)系：_；（2）在圖2中，若D=40，B=30，試求P的度數(shù)；（寫出解答過(guò)程）（3）如果圖2中D和B為任意角，其他條件不變，試寫出P與D、B之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論即可）專題二 利用三角形外角的性質(zhì)解決問(wèn)題4如圖，ABD，

7、ACD的角平分線交于點(diǎn)P，若A=50，D=10，則P的度數(shù)為（）A15B20 C25 D305如圖，ABC中，CD是ACB的角平分線，CE是AB邊上的高，若A=40，B=72（1）求DCE的度數(shù)；（2）試寫出DCE與A、B的之間的關(guān)系式（不必證明）6如圖：（1）求證：BDC=A+B+C；（2）如果點(diǎn)D與點(diǎn)A分別在線段BC的兩側(cè)，猜想BDC、A、ABD、ACD這4個(gè)角之間有怎樣的關(guān)系，并證明你的結(jié)論狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1三角形內(nèi)角和定理三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于1802直角三角形的性質(zhì)及判定 性質(zhì)：直角三角形的兩個(gè)銳角互余 判定：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形3三角形的外角及性質(zhì)外角：三角形的一邊

8、與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，叫做三角形的外角性質(zhì)：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和【溫馨提示】1三角形的外角是一邊與另一邊的延長(zhǎng)線組成的角，而不是兩邊延長(zhǎng)線組成的角2三角形的外角的性質(zhì)中的內(nèi)角一定是與外角不相鄰的內(nèi)角【方法技巧】1在直角三角形中已知一個(gè)銳角求另一個(gè)銳角時(shí)，可直接使用“直角三角形的兩個(gè)銳角互余”2由三角形的外角的性質(zhì)可得出：三角形的外角大于任何一個(gè)與它不相鄰的內(nèi)角參考答案:1C 解析：ABC的平分線與ACB的外角平分線相交于點(diǎn)D，1=ACE，2=ABC又D=12，A=ACEABC，D=A=25故選C2解：（法1） 因?yàn)镃=90，所以BACABC=90， 所以(BACABC)

9、=45. 因?yàn)锽D平分ABC，AP平分BAC ， BAP=BAC，ABP=ABC ， 即BAPABP=45， 所以APB=18045=135. （法2）因?yàn)镃=90，所以BACABC=90， 所以(BACABC)=45， 因?yàn)锽D平分ABC，AP平分BAC，DBC=ABC，PAC=BAC ， 所以DBCPAD=45. 所以APB=PDAPAD =DBCCPAD=DBCPADC =4590=135. 3解：（1）A+D=B+C；（2）由（1）得，1+D=3+P，2+P=4+B，13=PD，24=BP，又AP、CP分別平分DAB和BCD，1=2，3=4，PD=BP，即2P=B+D，P=（40+30

10、）2=35（3）2P=B+D4B 解析：延長(zhǎng)DC，與AB交于點(diǎn)E根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和，可得ACD=50+AEC=50+ABD+10，整理得ACDABD=60設(shè)AC與BP相交于點(diǎn)O，則AOB=POC，P+ACD=A+ABD，即P=50（ACDABD）=20故選B5解：（1）A=40，B=72，ACB=68CD平分ACB，DCB=ACB=34CE是AB邊上的高，ECB=90B=9072=18DCE=3418=16（2）DCE=（BA）6（1）證明：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E，BEC是ABE的外角，BEC=A+BBDC是CED的外角，BDC=C+DEC=C+A+B（2）猜想：BDC+ACD

11、+A+ABD=360證明：BDC+ACD+A+ABD=3+2+6+5+4+1=（3+2+1）+（6+5+4）=180+180=36011.3多邊形及其內(nèi)角和專題一 根據(jù)正多邊形的內(nèi)角或外角求值1若一個(gè)正多邊形的每個(gè)內(nèi)角為150，則這個(gè)正多邊形的邊數(shù)是（） A12 B11 C10 D92一個(gè)多邊形的每一個(gè)外角都等于36，則該多邊形的內(nèi)角和等于_3已知一個(gè)多邊形的每一個(gè)內(nèi)角都相等，且每個(gè)內(nèi)角都等于與它相鄰的外角的9倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)專題二 求多個(gè)角的和4如圖為某公司的產(chǎn)品標(biāo)志圖案，圖中A+B+C+D+E+F+G=（）A360 B540 C630 D7205如圖，A+ABC+C+D+E+F=_6

12、如圖，求：A+B+C+D+E+F的度數(shù)狀元筆記【知識(shí)要點(diǎn)】1多邊形及相關(guān)概念 多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形 多邊形的對(duì)角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對(duì)角線2多邊形的內(nèi)角和與外角和 內(nèi)角和：n邊形的內(nèi)角和等于(n2)180 外角和：多邊形的外角和等于360【溫馨提示】1從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)，可以做(n3)條對(duì)角線，它們將n邊形分為(n2)個(gè)三角形對(duì)角線的條數(shù)與分成的三角形的個(gè)數(shù)不要弄錯(cuò)2多邊形的外角和等于360，而不是180【方法技巧】1連接多邊形的對(duì)角線，將多邊形轉(zhuǎn)化為多個(gè)三角形，將多邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題來(lái)解決2多邊形的內(nèi)角和隨邊數(shù)的變化而變化，但外角和不變，都等于360，可利用多邊形的外角和不變求多邊形的邊數(shù)等參考答案:1A 解析：每個(gè)內(nèi)角為150，每個(gè)外角等于30多邊形的外角和是360，36030=12，這個(gè)正多邊形的邊數(shù)為12故選A21440 解析：多邊形的邊數(shù)為36036=10，多邊形的內(nèi)角為18036=144，多邊形的內(nèi)角和等于14410=14403解：設(shè)多邊形的邊數(shù)為n，根據(jù)題意，得(n2)180=9360，解