§46探索多邊形的內(nèi)角和與外角和(二)

1、 北師大版初二數(shù)學(xué) 2004/10/26 星期二4.6 探索多邊形的內(nèi)角和與外角和(二)教學(xué)目標(biāo)(一)知識(shí)目標(biāo)多邊形的外角及外角和公式的推導(dǎo).(二)能力訓(xùn)練目標(biāo)1.經(jīng)歷探索多邊形的外角和公式的過程.進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的合情推理意識(shí)，主動(dòng)探究的習(xí)慣，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的緊密聯(lián)系.2.探索并了解多邊形的外角和公式，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的說理和簡(jiǎn)單推理的意識(shí)及能力.(三)情感與價(jià)值觀目標(biāo)培養(yǎng)學(xué)生勇于實(shí)踐、大膽創(chuàng)新的精神和積極探求客觀真理的科學(xué)態(tài)度，滲透數(shù)學(xué)中普遍存在的相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化及數(shù)學(xué)來源實(shí)踐，又反過來作用于實(shí)踐的觀點(diǎn).教學(xué)重點(diǎn)多邊形的外角和公式及其應(yīng)用.教學(xué)難點(diǎn)多邊形的外角和公式的應(yīng)用.教學(xué)方法

2、探究式教學(xué)法.教學(xué)過程一、巧設(shè)情景問題，引入課題師大家清早跑步嗎？小明每天堅(jiān)持跑步，他怎樣跑步呢？看大屏幕：清晨，小明沿一個(gè)五邊形廣場(chǎng)周圍的小跑，按逆時(shí)針方向跑步.(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過的角是哪個(gè)角？在圖中標(biāo)出它們.(2)他每跑完一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度之和是多少？(3)在上圖中，你能求出1+2+3+4+5嗎？你是怎樣得到的？師同學(xué)們來分組討論，演示一下.(學(xué)生6人一組，可實(shí)地做一做，讓學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系.)生甲(1)小明每從一條街道轉(zhuǎn)到下一街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過的角(如圖中)是1、2、 3、4、5.(2)我們五個(gè)人做為五邊形的頂點(diǎn)，圍成一個(gè)五邊形，由伴為小明進(jìn)行跑步

3、，跑完一圈后，他的身體轉(zhuǎn)過的角度之和是360.(3)由上述知道：1，2，3，4，5分別是小明從一條街道轉(zhuǎn)到下一條街道時(shí)，身體轉(zhuǎn)過的角，而他跑一圈，身體轉(zhuǎn)過的角度是360，因此得1+2+3+4+5=360.生乙我們討論的結(jié)果和甲同學(xué)的一樣，只不過求1、2、3、4、5的和時(shí)，我們組是先畫了一個(gè)如投影所示的五邊形.然后把1、2、3、4、5這五個(gè)角剪下，將它們的頂點(diǎn)拼在一起，即各角的頂點(diǎn)重合，這時(shí)發(fā)現(xiàn)這五個(gè)角正好組成了一個(gè)周角.由此得到：1+2+3+4+5=360.師很好，下面大家來看小亮的思考：(出示投影片4.7.2 B)如圖所示，過平面內(nèi)一點(diǎn)O分別作與五邊形ABCDE各邊平行的射線OA、OB、OC

4、、OD、OE，得到、,其中：=1,=2, =3,=4,=5.、恰好組成一個(gè)周角.這樣，1、2、3、4、5的和等于360.師小亮也驗(yàn)證了大家得到的結(jié)論，好，大家看圖，1、2、3、4、5不是五邊形的角，那是什么角呢？它們的和叫什么呢？生這五個(gè)角是五邊形的外角，它們的和叫外角和.師很好，我們這節(jié)課就來探討多邊形的外角、外角和.二、講授新課師那什么是多邊形的外角、外角和呢？我們可類似三角形的外角定義來定義多邊形的外角.多邊形內(nèi)角的一邊與另一邊的反向延長(zhǎng)線所組成的角叫做這個(gè)多邊形的外角(exterior angle)在每個(gè)頂點(diǎn)處取這個(gè)多邊形的一個(gè)外角，它們的和叫做這個(gè)多邊形的外角和.一般地，在多邊形的任

5、一頂點(diǎn)處按順(逆)時(shí)針方向可作外角，n邊形有n個(gè)外角.那多邊形的外角和是多少呢？我們來回憶一下：三角形的外角和為多少？生齊360師好，剛才我們又研究了五邊形的外角和，它為360，那大家想一想(出示投影片4.7.2 C)如果廣場(chǎng)的形狀是六邊形、八邊形.它們的外角和也等于360嗎？(學(xué)生討論，得出結(jié)論)生甲通過討論，演示得到：六邊形的外角和是360，八邊形的外角和是360.生乙老師，能不能由此得出：多邊形的外角和都等于360呢？師誰來解決這個(gè)問題呢？生丙由五邊形、六邊形和八邊形的外角和都等于360，不能得出所有多邊形的外角和都等于360，只能是猜想：多邊形的外角和都等于360.師能得證嗎？生丁因?yàn)?/p>

6、多邊形的外角與它相鄰的內(nèi)角是鄰補(bǔ)角，所以n邊形的外角和加內(nèi)角和等于n180，內(nèi)角和為(n2)180,因此，外角和為：n180(n2)180= 360.師很好，由此我們得到了多邊形的外角和公式(出示投影片4.7.2 D)多邊形的外角和都等于360.師由此可知，多邊形的外角和與多邊形的邊數(shù)無關(guān)，它恒等于360.下面大家來想一想、議一議(出示投影片4.7.2 E)利用多邊形外角和的結(jié)論，能不能推導(dǎo)多邊形內(nèi)角和的結(jié)論呢？生可以，因?yàn)閷?duì)于n(n是大于或等于3的整數(shù))邊形，每個(gè)頂點(diǎn)處的內(nèi)角及其一個(gè)外角恰好組成一個(gè)平角.因此，n邊形的內(nèi)角和與外角和的和為n180，所以，n邊形的內(nèi)角和就等于n180360=n

7、1802180=(n2)180.師好，學(xué)完了外角和公式，現(xiàn)在我們來應(yīng)用一下，以熟悉鞏固外角和公式(出示投影片4.7.2 F) 例1一個(gè)多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍，它是幾邊形？分析：這是多邊形的內(nèi)角和公式與外角和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用.根據(jù)題意，可列方程解答.(讓學(xué)生動(dòng)手解答)解：設(shè)這個(gè)多邊形是n邊形，則它的內(nèi)角和是(n2)180,外角和等于360，所以：(n2)180=3360解得：n=8這個(gè)多邊形是八邊形.師好，通過同學(xué)們的解答，知道大家基本掌握了多邊形的外角和公式，接下來我們通過練習(xí)進(jìn)一步鞏固外角和公式.三、課堂練習(xí)(一)課本P113隨堂練習(xí)1.一個(gè)多邊形的外角都等于60，這個(gè)多邊形是n邊

8、形？解：因?yàn)槎噙呅蔚耐饨呛偷扔?60，所以根據(jù)題意，可知道這個(gè)多邊形的邊數(shù)是：36060=62.下圖是三個(gè)完全相同的正多邊形拼成的無縫隙不重疊的圖形的一部分，這種多邊形是幾邊形？為什么？解：這種正多邊形是正六邊形，理由是：設(shè)：這個(gè)正多邊形的一個(gè)內(nèi)角為x，則由題圖得：3x=360. x=120.再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式得：n120=(n2)180. 解得n=6(二)試一試1.是否存在一個(gè)多邊形，它的每個(gè)內(nèi)角都等于相鄰?fù)饨堑?？為什么？解：不存在，理由是：如果存在這樣的多邊形，設(shè)它的一個(gè)外角為，則對(duì)應(yīng)的內(nèi)角為180，于是：=180,解得=150.這個(gè)多邊形的邊數(shù)為：360150=2.4,而邊數(shù)應(yīng)是整數(shù)，因此不存在這樣的多邊形.2.在四邊形的四個(gè)內(nèi)角中，最多能有幾個(gè)鈍角？最多能有幾個(gè)銳角？解：最多能有三個(gè)鈍角，最多能有三個(gè)銳角.理由是：設(shè)四邊形的四個(gè)內(nèi)角的度數(shù)分別為：，則+=360，、的值最多能有三個(gè)大于90，否則、都大于90.+360.同理最多能有三個(gè)小于90.(三)看課本P110P112，然后