高中數(shù)學(xué)第一章三角函數(shù)1.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1.4.1正弦函數(shù)余弦函數(shù)的圖象知識巧解學(xué)案新人教A版必修

1、1.4.1 正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象皰工巧解牛知識巧學(xué)一、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象1.利用單位圓中正弦線表示正弦值的方法，作出點(diǎn)(，sin)，0，2. 由單位圓中的正弦線,可知只要能作出角，就能利用幾何法作出對應(yīng)的正弦值sin.如圖1-4-1，當(dāng)02時，在單位圓中對任意的角，它的弧度數(shù)恰好等于角所對的弧長AP，我們可設(shè)想把單位圓的圓周拉直到x軸上，使A點(diǎn)與原點(diǎn)重合，這時點(diǎn)P就落到x軸上的(，0)點(diǎn)，由于sin=MP，所以平移MP至此，就可得到一點(diǎn)(，sin).也就是說，要畫出點(diǎn)P(，sin)，只需把角的正弦線MP向右平移，使M點(diǎn)與x軸上表示數(shù)的點(diǎn)M1重合，得到線段M1P1，由于點(diǎn)P和P1的縱坐

2、標(biāo)相同，都等于sin，所以點(diǎn)P1(，sin)是以弧AP的長為橫坐標(biāo)，正弦線MP的數(shù)量為縱坐標(biāo)的點(diǎn).圖1-4-12.正弦函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象(1)利用單位圓中的正弦線作y=sinx，x0，2的圖象.如圖1-4-2，在直角坐標(biāo)系的x軸的負(fù)半軸上任取一點(diǎn)O1，以O(shè)1為圓心作單位圓，從圓O1與x軸的交點(diǎn)A起把圓弧分成12等份，過圓O1上各分點(diǎn)分別作x軸的垂線，得到對應(yīng)于角0，2等分點(diǎn)的正弦線.相應(yīng)地，再把x軸上從0到2這一段分成12等份,再把角x所對應(yīng)的正弦線向右平移，使它的起點(diǎn)與x軸上表示數(shù)x的點(diǎn)重合，最后用光滑曲線把這些正弦線的終點(diǎn)連接起來，就得到了函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象.圖

3、1-4-2(2)正弦曲線 根據(jù)誘導(dǎo)公式一，終邊相同的角的三角函數(shù)值相等,可知對于長度為2的函數(shù)y=sinx，x2k，2(k+1)，kZ且k0的圖象，與函數(shù)y=sinx，x0，2的圖象的形狀完全一致，只是位置不同.我們只需把y=sinx，x0，2的圖象左、右平移(每次2個單位)，就可得到正弦函數(shù)y=sinx，xR的圖象(如圖1-4-3).圖1-4-3正弦函數(shù)的圖象叫做正弦曲線.(3)余弦曲線 根據(jù)誘導(dǎo)公式y(tǒng)=cosx=sin(x+)，可知y=cosx與y=sin(x+)是同一函數(shù)，而y=sin(x+)的圖象可由y=sinx的圖象向左平移個單位得到，即余弦函數(shù)的圖象是由正弦函數(shù)的圖象向左平移個單位

4、而得到的.如圖1-4-4.圖1-4-4余弦函數(shù)的圖象叫做余弦曲線. 事實(shí)上，y=cosx=sin(x-)，可知余弦函數(shù)y=cosx，xR與函數(shù)y=sin(x-)也是同一函數(shù)，余弦函數(shù)的圖象也可以通過將正弦曲線向右平移個單位而得到.學(xué)法一得 作圖象時，函數(shù)的自變量要用弧度制，只有自變量與函數(shù)值均為實(shí)數(shù)(即x軸、y軸上的單位統(tǒng)一)，作出的圖象才正規(guī)，且利于應(yīng)用. 利用正弦線為端點(diǎn)連線作函數(shù)圖象時，份數(shù)越多，圖象越精確，取6的倍數(shù)最為適宜，它既保證了點(diǎn)的個數(shù)足夠多，又取到了圖象上關(guān)鍵的最值點(diǎn)和圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn). 由y=sinx的圖象變換得到y(tǒng)=cosx的圖象，平移的量是不唯一的，平移的方向也是可左

5、可右的.二、“五點(diǎn)法”作草圖 通過正弦曲線、余弦曲線可以發(fā)現(xiàn)，這些曲線可以按照閉區(qū)間，-4，-2，-2，0，0，2，2，4，分段，這些閉區(qū)間的長度都等于2個單位長度，并且在每一個閉區(qū)間上曲線的形狀完全一致.因此，要研究曲線的形狀，只需選一個閉區(qū)間，在這里，我們不妨選擇0，2，顯然，有五個點(diǎn)在確定其對應(yīng)圖象的形狀時起著關(guān)鍵作用.對于正弦曲線，它們是(0，0)，(，1)，(，0)，(，-1)，(2，0)；對于余弦曲線，它們是(0，1)，(，0)，(，-1)，(，0)，(2，1).因此，在精確度要求不太高時，可先找出這五個關(guān)鍵點(diǎn)，再用光滑的曲線將它們連接起來，就得到相應(yīng)函數(shù)的簡圖.這種方法稱為“五點(diǎn)

6、法”.學(xué)法一得 “五點(diǎn)法”作圖中的“五點(diǎn)”是指函數(shù)的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)以及圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn).典題熱題知識點(diǎn)一 “五點(diǎn)法”作圖例1 用“五點(diǎn)法”畫出下列函數(shù)在區(qū)間0，2上的簡圖.(1)y=2sinx；(2)y=1-sinx；(3)y=cosx-1.思路分析：在區(qū)間0，2上按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表、描點(diǎn)、連線，并用光滑的曲線將它們連接起來.解：(1)按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表：x02sinx010-102sinx020-20描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖1-4-5).圖1-4-5方法歸納 函數(shù)y=2sinx的圖象是把y=sinx圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長到原來的二倍而得到的.(2)按五個關(guān)鍵點(diǎn)列表：x02cos

7、x10-101cosx-10-1-2-10描點(diǎn)并將它們用光滑的曲線連接起來(如圖1-4-6).圖1-4-6方法歸納 y=f(x)y=f(x)+a(a0)，y=f(x)y=f(x)-a(a0)，記憶的口訣是“上加下減”.知識點(diǎn)二 圖象的應(yīng)用例2 方程sinx=lgx的實(shí)根的個數(shù)有( )A.1個 B.2個 C.3個 D.無窮多個思路分析：如圖1-4-7，在同一直角坐標(biāo)系中作函數(shù)y=sinx與y=lgx的圖象.圖1-4-7由圖中看出兩函數(shù)圖象有三個交點(diǎn)(xi，yi)，其中xi(1，10)(i=1，2，3)是方程sinx=lgx的解，此方程再無別的解.答案：C方法歸納 像這種含有三角式、指數(shù)式、對數(shù)式

8、的方程叫做超越方程，用初等解方程的方法不能求它的解,通常把這類方程分解成兩個函數(shù)，把求方程的解轉(zhuǎn)化為求兩個函數(shù)的交點(diǎn)問題.例3 寫出使sinx(xR)成立的x的取值集合.思路分析：可借助于單位圓或正弦曲線求解.圖1-4-8解：如圖1-4-8，在0x2中滿足sinx的角x的集合為x|x；當(dāng)xR時集合為x|2k+x2k+,kZ.巧解提示：由y=sinx在0,(,)兩區(qū)間中取值為正且分別是單調(diào)增與單調(diào)減函數(shù).又sinx，則有sinxsin或sinxsin，所有在0,2中，滿足sinx的角的集合為x|xx|x=x|x.以下同解.方法歸納 利于單位圓或正弦曲線解簡單三角不等式時，可先在長度為0,2的區(qū)間

9、上找到適合不等式的解，再把它擴(kuò)展到整個定義域上去.問題探究思想方法探究問題 三角函數(shù)最重要的特征之一就是它的周期性，推廣到一般的情況，對于函數(shù)y=f(x)，如果存在一個不為零的常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的每一個值時，f(x+T)=f(x)都成立，那么就把函數(shù)y=f(x)叫做周期函數(shù)，不為零的常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.那么是否所有周期函數(shù)都有最小正周期？對于周期函數(shù)的學(xué)習(xí)還應(yīng)該注意什么問題？探究過程：首先，周期函數(shù)的定義是對定義域中的每一個x值來說的，只有個別的x值滿足f(x+T)=f(x)或只差個別的x值不滿足f(x+T)=f(x)都不能說T是f(x)的周期.例如sin(+)=sin，但是si

10、n(+)sin.就是說，不能對x在定義域內(nèi)的每一個值都有sin(x+)=sinx，因此不是sinx的周期. 其次，從等式f(x+T)=f(x)來看，應(yīng)強(qiáng)調(diào)的是給自變量x本身加的常數(shù)才是周期，如f(2x+T)=f(2x)，T不是周期，而應(yīng)寫成f(2x+T)=f2(x+)=f(2x)，則是f(x)的周期. 第三，對于周期函數(shù)來說，如果所有的周期中存在著一個最小的正數(shù)，就稱它為最小正周期.但并不是所有的周期函數(shù)都存在最小正周期.例如常數(shù)函數(shù)f(x)=x(C為常數(shù))，xR，當(dāng)x為定義域內(nèi)的任何值時，函數(shù)值都是C，即對于函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)的每一個值x，都有f(x+T)=C，因此f(x)是周期函數(shù)，由于T可以是任意不為零的常數(shù)，而正數(shù)集合中沒有最小者，所以f(x)沒有最小正周期. 對于周期函數(shù)還應(yīng)當(dāng)注意，“f(x+T)=f(x)”是定義域內(nèi)的恒等式，即它對定義域內(nèi)的每一個值都成