小學五年級奧數(shù)講義教師版30講全

1、- 71 -五年級奧數(shù)小學奧數(shù)基礎教程(五年級)第1講數(shù)字迷（一） 第16講 巧算24第2講 數(shù)字謎(二) 第17講 位置原則第3講 定義新運算(一) 第18講 最大最小第4講 定義新運算(二) 第19講 圖形的分割與拼接第5講 數(shù)的整除性(一) 第20講 多邊形的面積第6講 數(shù)的整除性(二) 第21講 用等量代換求面積第7講 奇偶性（一） 第22講用割補法求面積第8講 奇偶性（二） 第23講 列方程解應用題第9講 奇偶性（三） 第24講 行程問題（一）第10講 質(zhì)數(shù)與合數(shù) 第25講 行程問題（二）第11講 分解質(zhì)因數(shù) 第26講 行程問題（三）第12講 最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（一） 第27講

2、邏輯問題（一）第13講最大公約數(shù)與最小公倍數(shù)（二） 第28講 邏輯問題（二）第14講 余數(shù)問題 第29講 抽屜原理(一)第15講 孫子問題與逐步約束法 第30講 抽屜原理(二)第1講 數(shù)字謎（一）數(shù)字謎的內(nèi)容在三年級和四年級都講過，同學們已經(jīng)掌握了不少方法。例如用猜想、拼湊、排除、枚舉等方法解題。數(shù)字謎涉及的知識多，思考性強，所以很能鍛煉我們的思維。這兩講除了復習鞏固學過的知識外，還要講述數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 把+，-，四個運算符號，分別填入下面等式的內(nèi)，使等式成立（每個運算符號只準使用一次）：（5137）（179）=12。分析與解：因為運算結(jié)果是整數(shù)，在四則運算中只有除

3、法運算可能出現(xiàn)分數(shù)，所以應首先確定“”的位置。 當“”在第一個內(nèi)時，因為除數(shù)是13，要想得到整數(shù)，只有第二個括號內(nèi)是13的倍數(shù)，此時只有下面一種填法，不合題意。（513-7）（17+9）。 當“”在第二或第四個內(nèi)時，運算結(jié)果不可能是整數(shù)。 當“”在第三個內(nèi)時，可得下面的填法：（5+137）（17-9）=12。例2 將19這九個數(shù)字分別填入下式中的中，使等式成立：=5568。解：將5568質(zhì)因數(shù)分解為5568=26329。由此容易知道，將 5568分解為兩個兩位數(shù)的乘積有兩種：5896和6487，分解為一個兩位數(shù)與一個三位數(shù)的乘積有六種：12464， 16348， 24232，29192， 32

4、174， 48116。顯然，符合題意的只有下面一種填法：17432=5896=5568。例3 在443后面添上一個三位數(shù)，使得到的六位數(shù)能被573整除。分析與解：先用443000除以573，通過所得的余數(shù)，可以求出應添的三位數(shù)。由443000573=77371 推知， 443000+（573-71）=443502一定能被573整除，所以應添502。例4 已知六位數(shù)3344是89的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。 分析與解：因為未知的數(shù)碼在中間，所以我們采用兩邊做除法的方法求解。先從右邊做除法。由被除數(shù)的個位是4，推知商的個位是6；由左下式知，十位相減后的差是1，所以商的十位是9。這時，雖然8996=854

5、4，但不能認為六位數(shù)中間的兩個內(nèi)是85，因為還沒有考慮前面兩位數(shù)。再從左邊做除法。如右上式所示，a可能是6或7，所以b只可能是7或8。 由左、右兩邊做除法的商，得到商是3796或3896。由379689=337844， 389689=346744知，商是3796，所求六位數(shù)是337844。例5 在左下方的加法豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，請你用適當?shù)臄?shù)字代替字母，使加法豎式成立。分析與解：先看豎式的個位。由Y+N+N=Y或Y+ 10，推知N要么是0，要么是5。如果N=5，那么要向上進位，由豎式的十位加法有T+E+E+1=T或T+10，等號兩邊的奇偶性不同，所以N5

6、，N=0。此時，由豎式的十位加法T+E+E=T或T+10， E不是0就是5，但是N=0，所以E=5。豎式千位、萬位的字母與加數(shù)的千位、萬位上的字母不同，說明百位、千位加法都要向上進位。因為N=0，所以I0，推知I=1，O=9，說明百位加法向千位進2。再看豎式的百位加法。因為十位加法向百位進1，百位加法向千位進2，且X0或1，所以R+T+T+122，再由R，T都不等于9知，T只能是7或8。若T=7，則R=8，X=3，這時只剩下數(shù)字2，4，6沒有用過，而S只比F大1，S，F(xiàn)不可能是2，4，6中的數(shù)，矛盾。若T=8，則R只能取6或7。R=6時，X=3，這時只剩下2，4，7，同上理由，出現(xiàn)矛盾；R=7

7、時，X=4，剩下數(shù)字2，3，6，可取F=2，S=3，Y=6。所求豎式見上頁右式。解這類題目，往往要找準突破口，還要整體綜合研究，不能想一步填一個數(shù)。這個題目是美國數(shù)學月刊上刊登的趣題，豎式中從上到下的四個詞分別是 40， 10， 10， 60，而 40+10+10正好是60，真是巧極了！例6 在左下方的減法算式中，每個字母代表一個數(shù)字，不同的字母代表不同的數(shù)字。請你填上適當?shù)臄?shù)字，使豎式成立。分析與解：按減法豎式分析，看來比較難。同學們都知道，加、減法互為逆運算，是否可以把減法變成加法來研究呢（見右上式）？不妨試試看。因為百位加法只能向千位進1，所以E=9，A=1，B=0。如果個位加法不向上進

8、位，那么由十位加法1+F=10，得F=9，與E=9矛盾，所以個位加法向上進1，由1+F+1=10，得到F=8，這時C=7。余下的數(shù)字有2，3，4，5，6，由個位加法知，G比D大2，所以G，D分別可取4，2或5，3或6，4。所求豎式是解這道題啟發(fā)我們，如果做題時遇到麻煩，不妨根據(jù)數(shù)學的有關概念、法則、定律把原題加以變換，將不熟悉的問題變?yōu)槭煜さ膯栴}。另外，做題時要考慮解的情況，是否有多個解。練習11.在一個四位數(shù)的末尾添零后，把所得的數(shù)減去原有的四位數(shù)，差是621819，求原來的四位數(shù)。解：621819（100-1）= 6281。2.在下列豎式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)

9、字。請你用適當?shù)臄?shù)字代替字母，使豎式成立： （1） A B (2) A B A B + B C A - A C A A B C B A A C （1）由百位加法知，A=B+1；再由十位加法A+ C=B+10，推知C=9，進而得到A=5，B=4（見上右式）。（2）由千位加法知B=A-1，再由個位減法知C=9。因為十位減法向百位借1，百位減法向千位借1，所以百位減法是（10+B-1）-A=A，化簡為9+B=2A，將B=A-1代入，得A=8， B=7（ 見右上式）。3.在下面的算式中填上括號，使得計算結(jié)果最大：123456789。解：1（23456789）=90720。4.在下面的算式中填上若干個（

10、 ），使得等式成立：123456789=2.8。解：1（23）4（5678）9=2.8。5.將19分別填入下式的中，使等式成立：=3634。提示：3634=22379。4679= 23158= 3634。6.六位數(shù)391是789的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。 提示：仿照例3。391344。7.已知六位數(shù)7888是83的倍數(shù)，求這個六位數(shù)。提示：仿例4，商的后3位是336，商的第一位是8或9。774888。第2講 數(shù)字謎（二） 這一講主要講數(shù)字謎的代數(shù)解法及小數(shù)的除法豎式問題。例1 在下面的算式中，不同的字母代表不同的數(shù)字，相同的字母代表相同的數(shù)字，求abcde.1abcde3=abcde1分析與解：這

11、道題可以從個位開始，比較等式兩邊的數(shù)，逐個確定各個字母所代表的數(shù)碼?，F(xiàn)在，我們從另一個角度來解。1abcde與abcde1只是1所在的位置不同，設x=abcde則算式變?yōu)?（100000+x）3=10x+1，300000+3x=10x+1，7x=299999，x=42857。這種代數(shù)方法干凈利落，比用傳統(tǒng)方法解簡潔。我們再看幾個例子。例2 在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使左下方的乘法豎式成立。 1 2 4 8 1 8 1 1 2 4 9 9 2 1 0 0 4 4 求豎式。例3 左下方的除法豎式中只有一個8，請在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使除法豎式成立。 例4 解：豎式中除數(shù)與8的積是三位數(shù)，而與商的百位和個位

12、的積都是四位 數(shù)，所以x=112，被除數(shù)為989112=110768。右上式為所求豎式。 代數(shù)解法雖然簡潔，但只適用于一些特殊情況，大多數(shù)情況還要用傳統(tǒng)的方法。例4 在內(nèi)填入適當數(shù)字，使下頁左上方的小數(shù)除法豎式成立。分析與解：先將小數(shù)除法豎式化為我們較熟悉的整數(shù)除法豎式（見下頁右上方豎式）?？梢钥闯觯龜?shù)與商的后三位數(shù)的乘積是1000=2353的倍數(shù)，即除數(shù)和商的后三位數(shù)一個是23=8的倍數(shù)，另一個是53=125的奇數(shù)倍，因為除數(shù)是兩位數(shù)，所以除數(shù)是8的倍數(shù)。又由豎式特點知a=9，從而除數(shù)應是96的兩位數(shù)的約數(shù)，可能的取值有96，48，32，24和16。 因為，c=5，5與除數(shù)的乘積仍是兩位數(shù)

13、，所以除數(shù)只能是16，進而推知b=6。因為商的后三位數(shù)是125的奇數(shù)倍，只能是125，375，625和875之一，經(jīng)試驗只能取375。至此，已求出除數(shù)為16，商為6.375，故被除數(shù)為6.37516=102。上頁右式即為所求豎式。 求解此類小數(shù)除法豎式題，應先將其化為整數(shù)除法豎式，如果被除數(shù)的末尾出現(xiàn)n個0，則在除數(shù)和商中，一個含有因子2n（不含因子5），另一個含有因子5n（不含因子2），以此為突破口即可求解。例5 一個五位數(shù)被一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（1），這個五位數(shù)被另一個一位數(shù)除得到下頁的豎式（2），求這個五位數(shù)。 分析與解：由豎式（1）可以看出被除數(shù)為10*0（見豎式（1），豎式（1

14、）的除數(shù)為3或9。在豎式（2）中，被除數(shù)的前兩位數(shù)10不能被整數(shù)整除，故除數(shù)不是2或5，而被除數(shù)的后兩位數(shù)*0能被除數(shù)整除，所以除數(shù)是4，6或8。當豎式（1）的除數(shù)為3時，由豎式（1）知， a=1或2，所以被除數(shù)為100*0或101*0，再由豎式（2）中被除數(shù)的前三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為4，被除數(shù)為10020； 當豎式（1）的除數(shù)為9時，由能被9整除的數(shù)的特征，被除數(shù)的百位與十位數(shù)字之和應為8。因為豎式（2）的除數(shù)只能是4，6，8，由豎式（2）知被除數(shù)的百位數(shù)為偶數(shù)，故被除數(shù)只有10080，10260，10440和10620四種可能，最后由豎式（2）中被除數(shù)的前

15、三位數(shù)和后兩位數(shù)分別能被除數(shù)整除，且十位數(shù)不能被除數(shù)整除，可得豎式（2）的除數(shù)為8，被除數(shù)為10440。所以這個五位數(shù)是10020或10440。練習21.下面各算式中，相同的字母代表相同的數(shù)字，不同的字母代表不同的答案（1）4285；（2）461538。7(1000A+ B)= 6(1000BA)， 化簡后得538A=461B，由于538與461互質(zhì)，且A，B均為三位數(shù)，所以A=461，B= 538。所求六位數(shù)是461538。 2.用代數(shù)方法求解下列豎式： 3.在內(nèi)填入適當?shù)臄?shù)字，使下列小數(shù)除法豎式成立： 8 7 . ) .) .) . 8 0 0 0答案（1）12481=10044；（2）1

16、1768412= 9807。提示：（1）設被乘數(shù)為a，由8a999，81a10000，推知所以a=124。（2）根據(jù)豎式特點知，商是9807。設除數(shù)是a，根據(jù)豎式特點由8a100，9a100，推知 所以a=12。3.答案（1）先將豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式： 易知f=2，g=0；由g=0知b，d中有一個是5，另一個是偶數(shù)而f= 2，所以b= 5，進而推知d= 6；再由d= 6，f= 2知a= 2或7，而e=3或4，所以a=7；最后求出c=5。見上頁右下式。（2）先將除法豎式化為整數(shù)除法豎式如左下式：由豎式特點知b=c=0；因為除數(shù)與d的乘積是1000的倍數(shù)，d與e都不為0，所以d與除數(shù)中必分

17、別含有因子23和52，故d=8，除數(shù)是125的奇數(shù)倍，因此e=5；又f0，e= 5，所以f=g=5；由g=5，d=8得到除數(shù)為50008=625，再由625a是三位數(shù)知a=1，所以被除數(shù)為6251008=630000，所求豎式見右上式。第3講 定義新運算（一）我們已經(jīng)學習過加、減、乘、除運算，這些運算，即四則運算是數(shù)學中最基本的運算，它們的意義、符號及運算律已被同學們熟知。除此之外，還會有什么別的運算嗎？這兩講我們就來研究這個問題。這些新的運算及其符號，在中、小學課本中沒有統(tǒng)一的定義及運算符號，但學習討論這些新運算，對于開拓思路及今后的學習都大有益處。例1 對于任意數(shù)a，b，定義運算“*”：a

18、*b=ab-a-b。求12*4的值。分析與解：根據(jù)題目定義的運算要求，直接代入后用四則運算即可。12*4=124-12-4=48-12-4=32。根據(jù)以上的規(guī)定，求106的值。 3，x=2，求x的值。分析與解：按照定義的運算， =2，x=6。由上面三例看出，定義新運算通常是用某些特殊符號表示特定的運算意義。新運算使用的符號應避免使用課本上明確定義或已經(jīng)約定俗成的符號，如+，-，等，以防止發(fā)生混淆，而表示新運算的運算意義部分，應使用通常的四則運算符號。如例1中，a*b=ab-a-b，新運算符號使用“*”，而等號右邊新運算的意義則用四則運算來表示。分析與解：按新運算的定義，符號“”表示求兩個數(shù)的平

19、均數(shù)。四則運算中的意義相同，即先進行小括號中的運算，再進行小括號外面的運算。按通常的規(guī)則從左至右進行運算。分析與解：從已知的三式來看，運算“”表示幾個數(shù)相加，每個加數(shù)各數(shù)位上的數(shù)都是符號前面的那個數(shù)，而符號后面的數(shù)是幾，就表示幾個數(shù)之和，其中第1個數(shù)是1位數(shù)，第2個數(shù)是2位數(shù)，第3個數(shù)是3位數(shù)按此規(guī)定，得35=3+33+333+3333+33333=37035。從例5知，有時新運算的規(guī)定不是很明顯，需要先找規(guī)律，然后才能進行運算。例6 對于任意自然數(shù)，定義：n！=12 n。例如 4！=1234。那么1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字是幾？分析與解：1！=1，2！=12=2，3！=123=6，

20、4！=1234=24，5！=12345=120，6！=123456=720，由此可推知，從5！開始，以后6！，7！，8！，100！的末位數(shù)字都是0。 所以，要求1！+2！+3！+100！的個位數(shù)字，只要把1！至4！的個位數(shù)字相加便可求得：1+2+6+4=13。所求的個位數(shù)字是3。例7 如果m，n表示兩個數(shù)，那么規(guī)定：mn=4n-（m+n）2。求3（46）12的值。 解：3（46）12=346-（4+6）212=31912 =419-（3+19）212=6512=412-（65+12）2=9.5練習31.對于任意的兩個數(shù)a和b，規(guī)定a*b=3a-b3。求8*9的值。（值為2）2.已知ab表示a除

21、以3的余數(shù)再乘以b，求134的值。（值為4）3.已知ab表示（a-b）（a+b），試計算：（53）（106）。（值為0）4.規(guī)定ab表示a與b的積與a除以b所得的商的和，求82的值。答案 5.假定mn表示m的3倍減去n的2倍，即mn=3m-2n。（2）已知x（41）=7，求x的值。答案提示：（2）x（41）= 7，x（43-12）= 7，x10=7， 3x-102=7，x=9。 （2）相當于由123 x=40320，求x。 40320220160，201603= 6720，67204=1680，16805=336，88=1， 即1/40320=11/21/31/41/51/61/71/8。所以

22、x=8。7.對于任意的兩個數(shù)P， Q，規(guī)定 PQ=（PQ）4。例如：28=（28）4。已知x（85）=10，求x的值。解：x（85）= x（854）= x10= x104，由x104=10，求得x=4。8.定義： ab=ab-3b，ab=4a-b/a。計算：（43）（2b）。解： （43）（26）= (43-33)(42-6/2) = 35=35-35=0。9.已知： 23=234，45=45678，求（44）（33）的值。提示：新運算“”是：從第一個數(shù)字起，求越來越大的連續(xù)幾個自然數(shù)的乘積，因數(shù)個數(shù)是第二個數(shù)字。（44）（33）= （4567）（345）=14。第4講 定義新運算（二）例1

23、已知ab=（a+b）-（a-b），求92的值。分析與解：這是一道很簡單的題，把a=9，b=2代入新運算式，即可算出結(jié)果。但是，根據(jù)四則運算的法則，我們可以先把新運算“”化簡，再求結(jié)果。 ab=（a+b）-（a-b）=a+b-a+b=2b。所以，92=22=4。 由例1可知，如果定義的新運算是用四則混合運算表示，那么在符合四則混合運算的性質(zhì)、法則的前提下，不妨先化簡表示式。這樣，可以既減少運算量，又提高運算的準確度。例2 定義運算：ab=3a+5ab+kb，其中a，b為任意兩個數(shù)，k為常數(shù)。比如：27=32+527+7k。（1）已知52=73。問：85與58的值相等嗎？（2）當k取什么值時，對于

24、任何不同的數(shù)a，b，都有ab=ba，即新運算“”符合交換律？分析與解：（1）首先應當確定新運算中的常數(shù)k。因為52=35+552+k2=65+2k，所以由已知 52=73，得65+2k=73，求得k=（73-65）2=4。定義的新運算是：ab=3a+5ab+4b。85=38+585+45=244， 58=35+558+48=247。因為244247，所以8558。（2）要使ab=ba，由新運算的定義，有3a+5ab+kb=3b+5ab+ka，3a+kb-3b-ka=0， 3(a-b)-k(a-b)=0， (3-k)(a-b)=0。 對于兩個任意數(shù)a，b，要使上式成立，必有3-k=0，即k=3。

25、 當新運算是ab=3a+5ab+3b時，具有交換律，即ab=ba。例3 對兩個自然數(shù)a和b，它們的最小公倍數(shù)與最大公約數(shù)的差，定義為ab，即ab=a，b-（a，b）。比如，10和14的最小公倍數(shù)是70，最大公約數(shù)是2，那么1014=70-2=68。（1）求1221的值；（2）已知6x=27，求x的值。分析與解：（1）1221=12，21-（12，21）=84-3=81； （2）因為定義的新運算“”沒有四則運算表達式，所以不能直接把數(shù)代入表達式求x，只能用推理的方法。 因為6x=6，x-（6，x）=27，而6與x的最大公約數(shù)（6，x）只能是1，2，3，6。所以6與x的最小公倍數(shù)6，x只能是28，

26、 29， 30， 33。這四個數(shù)中只有 30是 6的倍數(shù)，所以 6與x的最小公倍數(shù)和最大公約數(shù)分別是30和3。因為ab=a，b（a，b），所以6x=303，由此求得x=15。例4 a表示順時針旋轉(zhuǎn)90，b表示順時針旋轉(zhuǎn)180，c表示逆時針旋轉(zhuǎn)90，d表示不轉(zhuǎn)。定義運算“”表示“接著做”。求：ab；bc；ca。分析與解： ab表示先順時針轉(zhuǎn)90，再順時針轉(zhuǎn)180，等于順時針轉(zhuǎn)270，也等于逆時針轉(zhuǎn)90，所以ab=c。bc表示先順時針轉(zhuǎn)180，再逆時針轉(zhuǎn)90，等于順時針轉(zhuǎn)90，所以bc=a。ca表示先逆時針轉(zhuǎn)90，再順時針轉(zhuǎn)90，等于沒轉(zhuǎn)動，所以ca=d。對于a，b，c，d四種運動，可以做一個關于

27、“”的運算表（見下表）。比如cb，由c所在的行和b所在的列，交叉處a就是cb的結(jié)果。因為運算符合交換律，所以由c所在的列和b所在的行也可得到相同的結(jié)果。例5 對任意的數(shù)a，b，定義：f（a）=2a+1， g（b）=bb。（1）求f（5）-g（3）的值；（2）求f（g（2）+g（f（2）的值；（3）已知f（x+1）=21，求x的值。解：（1） f（5）-g（3）=（25+1）-（33）=2；（2）f（g（2）+g（f（2）=f（22）+g（22+1） =f（4）+g（5）=（24+1）+（55）=34；（3）f（x+1）=2（x+1）+1=2x+3，由f（x+1）=21，知2x+3=21，解得x

28、=9。練習4 答案 2.定義兩種運算“”和“”如下：ab表示a，b兩數(shù)中較小的數(shù)的3倍，ab表示a，b兩數(shù)中較大的數(shù)的2.5倍。比如：45=43=12，45=52.5=12.5。計算：(0.60.5)+(0.30.8)(1.20.7)-(0.640.2)解：原式=（0.53+0.82.5）(0.73-0.642.5)=7。提示：從已知的四式發(fā)現(xiàn)，第一個數(shù)的4倍加上第二個數(shù)等于結(jié)果，所4.設m，n是任意的自然數(shù)，A是常數(shù)，定義運算mn=（Am-n）4，并且23=0.75。試確定常數(shù)A，并計算：（57）（22）（32）提示：由 23= （A2-3）4=0.75，推知A=3。定義的運算是： mn=（

29、3m-n）4。（57）（22）（32）=（35-7）4(32- 2)4（33-2）4=217/4=8/7。5.用a，b，c表示一個等邊三角形圍繞它的中心在同一平面內(nèi)所作的旋轉(zhuǎn)運動：a表示順時針旋轉(zhuǎn)240，b表示順時針旋轉(zhuǎn)120，c表示不旋轉(zhuǎn)。運算“”表示“接著做”。試以a，b，c為運算對象做運算表。6.對任意兩個不同的自然數(shù)a和b，較大的數(shù)除以較小的數(shù)，余數(shù)記為ab。比如73=1，529=4，420=0。（1）計算：19982000，（519）19，5（199）；（2）已知11x=4，x小于20，求x的值。6.（1）2，3，1；（2）7或14。提示：（1）（59）19= 419=3，5（195

30、）= 54= 1。 （2）當x11時，x是7；當x11時，x是14。7.對于任意的自然數(shù)a，b，定義：f（a）=aa-1，g（b）=b2+1。（1）求f（g（6）-g（f（3）的值；（2）已知f（g（x）=8，求x的值。解：（1）f（g（6）- g（f（3）= f(62+1)- g（33-1）= f( 4)- g（8）= （44-1）-（82+1）= 10；。 （2）由f( g（x）)= 8=33-1，推知g（x）= 3；再由x2+1=3，得x=4。第5講 數(shù)的整除性（一）三、四年級已經(jīng)學習了能被2，3，5和4，8，9，6以及11整除的數(shù)的特征，也學習了一些整除的性質(zhì)。這兩講我們系統(tǒng)地復習一下

31、數(shù)的整除性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)解答一些問題。數(shù)的整除性質(zhì)主要有：（1）如果甲數(shù)能被乙數(shù)整除，乙數(shù)能被丙數(shù)整除，那么甲數(shù)能被丙數(shù)整除。（2）如果兩個數(shù)都能被一個自然數(shù)整除，那么這兩個數(shù)的和與差都能被這個自然數(shù)整除。（3）如果一個數(shù)能分別被幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)整除，那么這個數(shù)能被這幾個兩兩互質(zhì)的自然數(shù)的乘積整除。（4）如果一個質(zhì)數(shù)能整除兩個自然數(shù)的乘積，那么這個質(zhì)數(shù)至少能整除這兩個自然數(shù)中的一個。（5）幾個數(shù)相乘，如果其中一個因數(shù)能被某數(shù)整除，那么乘積也能被這個數(shù)整除。靈活運用以上整除性質(zhì)，能解決許多有關整除的問題。例1 在里填上適當?shù)臄?shù)字，使得七位數(shù)7358能分別被9，25和8整除。分析與解：分別

32、由能被9，25和8整除的數(shù)的特征，很難推斷出這個七位數(shù)。因為9，25，8兩兩互質(zhì)，由整除的性質(zhì)（3）知，七位數(shù)能被 9258=1800整除，所以七位數(shù)的個位，十位都是0；再由能被9整除的數(shù)的特征，推知首位數(shù)應填4。這個七位數(shù)是4735800。例2 由2000個1組成的數(shù)11111能否被41和271這兩個質(zhì)數(shù)整除？分析與解：因為41271=11111，所以由每5個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。按“11111”把2000個1每五位分成一節(jié)， 20005=400，就有400節(jié)， 因為2000個1組成的數(shù)1111能被11111整除，而11111能被41和271整除，所以根據(jù)整除的性質(zhì)（1）

33、可知，由2000個1組成的數(shù)11111能被41和271整除。例3 有四個數(shù)：76550，76551，76552，76554。能不能從中找出兩個數(shù)，使它們的乘積能被12整除？分析與解：根據(jù)有關整除的性質(zhì)，先把12分成兩數(shù)之積：12=121=62=34。 要從已知的四個數(shù)中找出兩個，使其積能被12整除，有以下三種情況：（1）找出一個數(shù)能被12整除，這個數(shù)與其它三個數(shù)中的任何一個的乘積都能被12整除；（2）找出一個數(shù)能被6整除，另一個數(shù)能被2整除，那么它們的積就能被12整除；（3）找出一個數(shù)能被4整除，另一個數(shù)能被3整除，那么它們的積能被12整除。容易判斷，這四個數(shù)都不能被12整除，所以第（1）種情

34、況不存在。 對于第（2）種情況，四個數(shù)中能被6整除的只有76554，而76550，76552是偶數(shù)，所以可以選76554和76550，76554和76552。 對于第（3）種情況，四個數(shù)中只有76552能被4整除，76551和76554都能被3整除，所以可以選76552和76551，76552和76554。 綜合以上分析，去掉相同的，可知兩個數(shù)的乘積能被12整除的有以下三組數(shù)：76550和76554， 76552和76554， 76551和 76552。例4 在所有五位數(shù)中，各位數(shù)字之和等于43且能夠被11整除的數(shù)有哪些？分析與解：從題設的條件分析，對所求五位數(shù)有兩個要求：各數(shù)位上的數(shù)字之和等

35、于43；能被11整除。 因為能被11整除的五位數(shù)很多，而各數(shù)位上的數(shù)字之和等于43的五位數(shù)較少，所以應選擇為突破口。有兩種情況：（1）五位數(shù)由一個7和四個9組成；（2）五位數(shù)由兩個8和三個9組成。 上面兩種情況中的五位數(shù)能不能被11整除？9，8，7如何擺放呢？根據(jù)被11整除的數(shù)的特征，如果奇數(shù)位數(shù)字之和是27，偶數(shù)位數(shù)字之和是16，那么差是11，就能被11整除。滿足這些要求的五位數(shù)是： 97999，99979， 98989。例5 能不能將從1到10的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？分析與解：10個數(shù)排成一行的方法很多，逐一試驗顯然行不通。我們采用反證法。 假設題目的要求能實

36、現(xiàn)。那么由題意，從前到后每兩個數(shù)一組共有5組，每組的兩數(shù)之和都能被3整除，推知110的和也應能被3整除。實際上，110的和等于55，不能被3整除。這個矛盾說明假設不成立，所以題目的要求不能實現(xiàn)。練習51.已知4205和2813都是29的倍數(shù)，1392和7018是不是29的倍數(shù)？（1）提示：.是。7018和1392分別是4205與2813的和與差。2.如果兩個數(shù)的和是64，這兩個數(shù)的積可以整除4875，那么這兩個數(shù)的差是多少？（14）。提示：已知這兩個數(shù)的積可以整除4875，說明這兩個數(shù)都是4875的因數(shù)。4875= 355513，用這些因子湊成兩個數(shù)，使它們的和是64，顯然這兩個數(shù)是313=3

37、9和55=25。它們的差是39-25=14。3.173是個四位數(shù)。數(shù)學老師說：“我在這個中先后填入3個數(shù)字，所得到的 3個四位數(shù)，依次可以被9，11，6整除?！眴枺簲?shù)學老師先后填入的3個數(shù)字之和是多少？（19）提示：先后填入的三個數(shù)依次是7，8，4。6，進而知f=4，所求數(shù)為123654和321654。 答案：123654和321654。提示：由題意知，b，d，f是偶數(shù)，e= 5，所以a，c只能是1和3。班有多少名學生？提示：總分等于平均分乘以學生人數(shù)，因為平均分90=910，所以總（人）。6.能不能將從1到9的各數(shù)排成一行，使得任意相鄰的兩個數(shù)之和都能被3整除？答案：不能。提示：假設能。因為

38、前兩個數(shù)的和能被3整除，第2、第3個數(shù)的和也能被3整除，所以第1、第3兩個數(shù)除以3的余數(shù)相同。類似可知，排在第1，3，5，7，9位的數(shù)除以3的余數(shù)都相同。 在19中，除以3的余數(shù)相同的數(shù)只有3個，不可能有5個。這個矛盾說明假設不成立。第6講 數(shù)的整除性（二） 我們先看一個特殊的數(shù)1001。因為1001=71113，所以凡是1001的整數(shù)倍的數(shù)都能被7，11和13整除。 能被7，11和13整除的數(shù)的特征： 如果數(shù)A的末三位數(shù)字所表示的數(shù)與末三位數(shù)以前的數(shù)字所表示的數(shù)之差（大數(shù)減小數(shù)）能被7或11或13整除，那么數(shù)A能被7或11或13整除。否則，數(shù)A就不能被7或11或13整除。例2 判斷30637

39、1能否被7整除？能否被13整除？解：因為371-306=65，65是13的倍數(shù)，不是7的倍數(shù)，所以306371能被13整除，不能被7整除。例3 已知108971能被13整除，求中的數(shù)。解：108-971=1008-971+0=37+0。上式的個位數(shù)是7，若是13的倍數(shù)，則必是13的9倍，由139-37=80，推知中的數(shù)是8。2位數(shù)進行改寫。根據(jù)十進制數(shù)的意義，有因為100010001各數(shù)位上數(shù)字之和是3，能夠被3整除，所以這個12位數(shù)能被3整除。根據(jù)能被7（或13）整除的數(shù)的特征，100010001與（100010-1=） 100009要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。

40、同理， 100009與（ 100-9=）91要么都能被7（或13）整除，要么都不能被7（或13）整除。因為91=713，所以100010001能被7和13整除，推知這個12位數(shù)能被7和13整除。分析與解：根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，555555與999999都能被7因為上式中等號左邊的數(shù)與等號右邊第一個數(shù)都能被7整除，所以等號右邊第二個數(shù)也能被7整除，推知5599能被7整除。根據(jù)能被7整除的數(shù)的特征，99-55=44也應能被7整除。由44能被7整除，易知內(nèi)應是6。下面再告訴大家兩個判斷整除性的小竅門。判斷一個數(shù)能否被27或37整除的方法：對于任何一個自然數(shù)，從個位開始，每三位為一節(jié)將其分成若干節(jié)

41、，然后將每一節(jié)上的數(shù)連加，如果所得的和能被27（或37）整除，那么這個數(shù)一定能被27（或37）整除；否則，這個數(shù)就不能被27（或37）整除。例6 判斷下列各數(shù)能否被27或37整除：（1）2673135；（2）8990615496。解：（1） 2673135=2，673，135，2+673+135=810。 因為810能被27整除，不能被37整除，所以2673135能被27整除，不能被37整除。（2）8990615496=8，990，615，496，8+990+615+496=2，109。 2，109大于三位數(shù)，可以再對2，109的各節(jié)求和，2+109=111。 因為111能被37整除，不能被2

42、7整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，進一步推知8990615496能被37整除，不能被27整除。由上例看出，若各節(jié)的數(shù)之和大于三位數(shù)，則可以再連續(xù)對和的各節(jié)求和。判斷一個數(shù)能否被個位是9的數(shù)整除的方法：為了敘述方便，將個位是9的數(shù)記為 k9（= 10k+9），其中k為自然數(shù)。對于任意一個自然數(shù)，去掉這個數(shù)的個位數(shù)后，再加上個位數(shù)的（k+1）倍。連續(xù)進行這一變換。如果最終所得的結(jié)果等于k9，那么這個數(shù)能被k9整除；否則，這個數(shù)就不能被k9整除。例7 （1）判斷18937能否被29整除；（2）判斷296416與37289能否被59整除。解：（1）上述變換可以表示為：由此可知，2964

43、16能被59整除，37289不能被59整除一般地，每進行一次變換，被判斷的數(shù)的位數(shù)就將減少一位。當被判斷的數(shù)變換到小于除數(shù)時，即可停止變換，得出不能整除的結(jié)論。 練習61.下列各數(shù)哪些能被7整除？哪些能被13整除？88205， 167128， 250894， 396500，675696， 796842， 805532， 75778885。答案能被7整除的有250894，675696，805532；能被13整除的有88205，167128，805532，757788852.六位數(shù)17562是13的倍數(shù)。中的數(shù)字是幾？答案1。提示：175-62=113，只要內(nèi)填1，就有175-162=134.能從

44、而ababab能被7和13整除。5.能。提示：仿例5。6.4。提示：仿例6。7.九位數(shù)87654321能被21整除，求中間中的數(shù)。7.0。解：因為87654321能被21整除，所以能被7和3整除。由能被7整除，推知下列各式也能被7整除：87654-321=876504+0-321=876183+0，876-（183+0）=693+0。由（693+0）能被7整除，可求出=0或7。再由能被3整除的數(shù)的特征，內(nèi)的數(shù)只能是0。8.在下列各數(shù)中，哪些能被27整除？哪些能被37整除？1861026， 1884924， 2175683， 2560437，11159126，131313555，26611777

45、8。解.能被27整除的數(shù)有：1884924，2560437，131313555，266117778。能被37整除的數(shù)有：1861026，2560437，11159126，131313555。9.在下列各數(shù)中，哪些能被19整除？哪些能被79整除？55119， 55537， 62899， 71258，186637，872231，5381717。9.能被19整除的數(shù)有：55119，55537，186637；能被79整除的數(shù)有：55537，71258，5381717。第7講 奇偶性（一）整數(shù)按照能不能被2整除，可以分為兩類：（1）能被2整除的自然數(shù)叫偶數(shù)，例如0， 2， 4， 6， 8， 10， 12

46、， 14， 16，（2）不能被2整除的自然數(shù)叫奇數(shù)，例如1，3，5，7，9，11，13，15，17，整數(shù)由小到大排列，奇、偶數(shù)是交替出現(xiàn)的。相鄰兩個整數(shù)大小相差1，所以肯定是一奇一偶。因為偶數(shù)能被2整除，所以偶數(shù)可以表示為2n的形式，其中n為整數(shù)；因為奇數(shù)不能被2整除，所以奇數(shù)可以表示為2n+1的形式，其中n為整數(shù)。每一個整數(shù)不是奇數(shù)就是偶數(shù)，這個屬性叫做這個數(shù)的奇偶性。奇偶數(shù)有如下一些重要性質(zhì)：（1）兩個奇偶性相同的數(shù)的和（或差）一定是偶數(shù)；兩個奇偶性不同的數(shù)的和（或差）一定是奇數(shù)。反過來，兩個數(shù)的和（或差）是偶數(shù)，這兩個數(shù)奇偶性相同；兩個數(shù)的和（或差）是奇數(shù)，這兩個數(shù)肯定是一奇一偶。（2）

47、奇數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。任意多個偶數(shù)的和（或差）是偶數(shù)。（3）兩個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，一個奇數(shù)與一個偶數(shù)的乘積一定是偶數(shù)。（4）若干個數(shù)相乘，如果其中有一個因數(shù)是偶數(shù)，那么積必是偶數(shù)；如果所有因數(shù)都是奇數(shù)，那么積就是奇數(shù)。反過來，如果若干個數(shù)的積是偶數(shù)，那么因數(shù)中至少有一個是偶數(shù)；如果若干個數(shù)的積是奇數(shù)，那么所有的因數(shù)都是奇數(shù)。（5）在能整除的情況下，偶數(shù)除以奇數(shù)得偶數(shù)；偶數(shù)除以偶數(shù)可能得偶數(shù)，也可能得奇數(shù)。奇數(shù)肯定不能被偶數(shù)整除。（6）偶數(shù)的平方能被4整除；奇數(shù)的平方除以4的余數(shù)是1。 因為（2n）2=4n2=4n2，所以（2n）2能被4整除； 因為（2n+

48、1）2=4n2+4n+1=4（n2+n）+1，所以（2n+1）2除以4余1。（7）相鄰兩個自然數(shù)的乘積必是偶數(shù)，其和必是奇數(shù)。（8）如果一個整數(shù)有奇數(shù)個約數(shù)（包括1和這個數(shù)本身），那么這個數(shù)一定是平方數(shù)；如果一個整數(shù)有偶數(shù)個約數(shù)，那么這個數(shù)一定不是平方數(shù)。 整數(shù)的奇偶性能解決許多與奇偶性有關的問題。有些問題表面看來似乎與奇偶性一點關系也沒有，例如染色問題、覆蓋問題、棋類問題等，但只要想辦法編上號碼，成為整數(shù)問題，便可利用整數(shù)的奇偶性加以解決。例1下式的和是奇數(shù)還是偶數(shù)？1+2+3+4+1997+1998。分析與解：本題當然可以先求出算式的和，再來判斷這個和的奇偶性。但如果能不計算，直接分析判斷

49、出和的奇偶性，那么解法將更加簡潔。根據(jù)奇偶數(shù)的性質(zhì)（2），和的奇偶性只與加數(shù)中奇數(shù)的個數(shù)有關，與加數(shù)中的偶數(shù)無關。11998中共有999個奇數(shù)，999是奇數(shù)，奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)。所以，本題要求的和是奇數(shù)。例2 能否在下式的中填上“+”或“-”，使得等式成立？ 123456789=36。分析與解：等號左端共有9個數(shù)參加加、減運算，其中有5個奇數(shù)，4個偶數(shù)。5個奇數(shù)的和或差仍是奇數(shù)，4個偶數(shù)的和或差仍是偶數(shù)，因為“奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)”，所以題目的要求做不到。例3 任意給出一個五位數(shù)，將組成這個五位數(shù)的5個數(shù)碼的順序任意改變，得到一個新的五位數(shù)。那么，這兩個五位數(shù)的和能不能等于99999？分析與解：

50、假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，則有下式：其中組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同。因為兩個個位數(shù)相加，和不會大于 9+9=18，豎式中和的個位數(shù)是9，所以個位相加沒有向上進位，即兩個個位數(shù)之和等于9。同理，十位、百位、千位、萬位數(shù)字的和也都等于9。所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和等于 9+9+9+9+9=45，是奇數(shù)。 另一方面，因為組成兩個加數(shù)的5個數(shù)碼完全相同，所以組成兩個加數(shù)的10個數(shù)碼之和，等于組成第一個加數(shù)的5個數(shù)碼之和的2倍，是偶數(shù)。奇數(shù)偶數(shù)，矛盾的產(chǎn)生在于假設這兩個五位數(shù)的和等于99999，所以假設不成立，即這兩個數(shù)的和不能等于99999。例4 在一次校友聚會上，久別重逢的老同學

51、互相頻頻握手。請問：握過奇數(shù)次手的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)？請說明理由。分析與解：通常握手是兩人的事。甲、乙兩人握手，對于甲是握手1次，對于乙也是握手1次，兩人握手次數(shù)的和是2。所以一群人握手，不論人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，握手的總次數(shù)一定是偶數(shù)。把聚會的人分成兩類：A類是握手次數(shù)是偶數(shù)的人，B類是握手次數(shù)是奇數(shù)的人。A類中每人握手的次數(shù)都是偶數(shù)，所以A類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。又因為所有人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)，所以B類人握手的總次數(shù)也是偶數(shù)。握奇數(shù)次手的那部分人即B類人的人數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)呢？如果是奇數(shù)，那么因為“奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)”，所以得到B類人握手的總次數(shù)是奇數(shù)，與前面得到的結(jié)論矛盾，所以B類人即握過奇數(shù)次手的人數(shù)是偶數(shù)。例5 五（2）班部分學生參加鎮(zhèn)里舉辦的數(shù)學競賽，每張試卷有50道試題。評分標準是：答對一道給3分，不答的題，每道給1分，答錯一道扣1分。試問：這部分學生得分的總和能不能確定是奇數(shù)還是偶數(shù)？分析與解：本題要求