初中數(shù)學(xué)輔助線添加秘籍5、圖形變換 旋轉(zhuǎn)

1、初中數(shù)學(xué)輔助線添加秘籍5、圖形變換旋轉(zhuǎn)一：如何構(gòu)造旋轉(zhuǎn)圖形1、 遇中點(diǎn)，旋180，構(gòu)造中心對稱圖形，即倍長中線。2、 遇90，旋90，構(gòu)造垂直等腰直角三角形、正方形。3、 遇60，旋60，構(gòu)造等邊?？谠E：邊相等，就旋轉(zhuǎn)。二：倒角（旋轉(zhuǎn)后，常見圖形）1、如圖，邊長為的正方形ABCD繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)30到正方形ABCD，圖中陰影部分的面積為連接AE，根據(jù)BAB=30可知DAB=60，由正方形的性質(zhì)可知，AB=AD，由圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知AD=AB，故可得出RtADERtABE，由直角三角形的性質(zhì)可得出DE的長，再由S陰影=S正方形ABCD-S四邊形ADEB即可得出結(jié)論解答：解：連接AE，BAB=30

2、，DAB=60，四邊形ABCD是正方形，AB=AD，D=B=90，正方形ABCD是正方形ABCD旋轉(zhuǎn)而成，AD=AB，B=90，在RtADE與RtABE中，AD=AB，AE=AE，RtADERtABE，DAE=30，DE=ADtanDAE=1，S四邊形ADEB=2SADE=2ADDE=，S陰影=S正方形ABCD-S四邊形ADEB=3-2、如圖，P是正ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10.若將PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到PAB，則點(diǎn)P與點(diǎn)P之間的距離為，APB=.答案此題答案為：6；150.解：連接PP.PAB是PAC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)得到的，PABPAC.PABPAC，PA=6，PB=8

3、，PC=10，PA=PA=6，PB=PC=10，PAC=PAB.ABC為正三角形，BAC=60，PAC+BAP=60.PAC=PAB，PAB+BAP=PAP=60.PAP=60，PA=PA，PAP是等邊三角形，PP=PA=6，PPA=60.在PBP中PP=6，PB=8，PB=10，PBP是直角三角形，BPP=90，APB=PPA+BPP=60+90=150.3、如圖，P是等邊ABC內(nèi)一點(diǎn)，APB、BPC、CPA的大小之比為5:6:7，則以PA、PB、PC為邊的三角形三內(nèi)角大小之比（從小到大）是（）.A.2:3:4B.3:4:5C.4:5:6D.以上結(jié)果都不對答案此題答案為：A.解：如圖，將AP

4、B繞A點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得APC，顯然有APCAPB，連PP，AP=AP，PAP=60，APP是等邊三角形，PP=AP，PC=PB，PCP的三邊長分別為PA，PB，PC，APB+BPC+CPA=360，APB：BPC：CPA=5：6：7，APB=100，BPC=120，CPA=140，PPC=APC-APP=APB-APP=100-60=40，PPC=APC-APP=140-60=80，PCP=180-（40+80）=60，PPC：PCP：PPC=2：3：4故選A4、如圖，為線段上一動點(diǎn)（不與點(diǎn)、重合），在同側(cè)分別作正和正，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，連接。以下五個(gè)結(jié)論：；。恒成立的結(jié)論有_。

5、（把你認(rèn)為正確的序號都填上） 答案本題主要考查全等三角形的應(yīng)用和等邊三角形。項(xiàng)，在正和正中，所以，所以。在和中，所以。所以。故項(xiàng)正確。項(xiàng)，由知，所以。在和中，所以。所以，所以為等邊三角形，所以。故項(xiàng)正確。項(xiàng)，由知，所以。由知，所以。所以。故項(xiàng)正確。項(xiàng)，由題意知，所以。故項(xiàng)錯(cuò)誤。項(xiàng)，又因?yàn)?，所以。故?xiàng)正確。5、已知如圖，RtABC中BAC=90，AB=AC，D為BC邊上任意一點(diǎn).(1)求證：2AD2=BD2+CD2；(2)若D 為BC延長線上任意一點(diǎn)，(1)中結(jié)論是否成立？若成立，請驗(yàn)證；若不成立，請說明理由.答案 方法一：旋轉(zhuǎn)ADC使AC與AB重合方法二解：(1)作過點(diǎn)D分別垂直AB、AC于點(diǎn)

6、F、E，由題意中RtABC中BAC=90，AB=AC，所以此三角形為等腰三角形，那么B=C=45而作過點(diǎn)D分別垂直AB、AC于點(diǎn)F、E，所以RtBFD與RtCDE均為等腰直角三角形在RtBDF中有BF=DF，由勾股定理得：BF2+DF2=BD2即BD2=2DF2在RtDEC中有DE=CE，由勾股定理得：CE2+ED2=CD2即CD2=2DE2在RtAFD中，由勾股定理得：AD2=DF2+AF2而四邊形AFDE為矩形，所以有DF=AE，AF=DE由以上等式通過等量代換得：2AD2=2DF2+DE2=BD2+CD2 即2AD2=BD2+CD2； (2)同樣作過點(diǎn)D垂直BA延長線于點(diǎn)H，過點(diǎn)C作垂直

7、DH于點(diǎn)G，同(1)得RtBHC與RtCGD為等腰三角形，在RtBHC中有BH=CH，由勾股定理得：BD2=BH2+DH2=2DH2在RtCGD中有CG=DG，由勾股定理得：DC2=DG2+CG2=2CG2在RtAHD中，由勾股定理得：AD2=AH2+DH2而由題意知：四邊形AHGC為矩形，所以有AH=CG由以上等式，由等量代換得：2AD2=2AH2+DH2=2AH2+2DH2=BD2+CD2所以(1)中結(jié)論仍成立.6、已知如圖,中,E、F為BC上的點(diǎn)且,求證:.答案證明:把繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn),得到.連接EG.則.,.,.,在和中,.,又,即.7、如圖,和都是等腰直角三角形,D為AB邊上一點(diǎn).求

8、證:.答案證明:和都是等腰直角三角形,即,在和中,.8、如圖，以RtBCA的斜邊BC為一邊在BCA的同側(cè)作正方形BCEF，設(shè)正方形的中心為O，連結(jié)AO，如果,，那么AC的長為（） 答案在上取一點(diǎn)G,使CG=AB=4,連接OGOGC全等于OAB是等腰直角三角形,(勾股定理).GOC+GOH=90 GOH+BOA=90AOG=90 三角形AOG是等腰三角形，AG=12 AC=169、已知：正方形中，繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交、（或它們的延長線）于點(diǎn)、。當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖），易證。 （1）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到時(shí)（如圖），線段、和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫出猜想，并加以證明。（2）當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到如圖的位置時(shí)

9、，線段、和之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請直接寫出你的猜想。答案（1）。如圖，將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得與重合，則、共線，。因?yàn)?，所以。在與中，所以，所以，即。（2）。解析本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換、邊角邊定理以及正方形的性質(zhì)。（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)圖形性質(zhì)，利用邊角邊定理證得，根據(jù)等量代換證得，進(jìn)而證得。（2）如圖所示，在上截取，在與中，所以，所以，。又因?yàn)椋?。在和中，所以，所以，所以?0、已知：在ABC中，BC=a，AC=b，以AB為邊作等邊三角形ABD.探究下列問題：(1)如圖1,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí),a=b=3,且ACB=60，則CD=_；(2)如圖2,當(dāng)點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的同側(cè)時(shí),a=b=6,且ACB=90，則CD=_；(3)如圖3，當(dāng)ACB變化，且點(diǎn)D與點(diǎn)C位于直線AB的兩側(cè)時(shí)，求CD的最大值及相應(yīng)的ACB的度數(shù)。答案 （3）(1)a=b=3，且ACB=60，ABC是等邊三角形，OC=332，CD=33；(1分) (2)3632；(2分) (3)以點(diǎn)D為中心，將DBC逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60，則點(diǎn)B落在點(diǎn)A，點(diǎn)C落在點(diǎn)E. 連接AE，CE，CD=ED，CDE=60，AE=CB=a，CDE為等邊三角形