高中數(shù)學(xué) 3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(第1課時(shí))學(xué)案設(shè)計(jì) 新人教A版必修

1、第三章不等式3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(第1課時(shí))學(xué)習(xí)目標(biāo)1.從實(shí)際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決.2.了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標(biāo)函數(shù)、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念.3.了解線性規(guī)劃的圖解法,并會(huì)用圖解法求線性目標(biāo)函數(shù)的最大(小)值.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境問題情境:在現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)、生活中,經(jīng)常會(huì)遇到資源利用、人力調(diào)配、生產(chǎn)安排等問題.例如,某工廠用A,B兩種配件生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品,兩種產(chǎn)品所需配件、耗時(shí)、利潤如下表:產(chǎn)品所需配件及數(shù)量耗時(shí)(小時(shí)/件)利潤(萬元/件)甲產(chǎn)品A配件4個(gè)12乙產(chǎn)品B配件4個(gè)23該廠每天最多可從配件廠獲得16個(gè)A配件和12

2、個(gè)B配件,按每天工作8小時(shí)計(jì)算,怎樣安排生產(chǎn)才能使利潤最大?問題1:利潤由哪些量來決定?有哪些數(shù)量關(guān)系?根據(jù)這些數(shù)量關(guān)系,可以設(shè)出幾個(gè)未知數(shù)?請(qǐng)你用這些未知數(shù),表達(dá)出問題中的數(shù)量關(guān)系.問題2:有了上面的分析過程,這個(gè)實(shí)際問題可以轉(zhuǎn)化為怎樣的數(shù)學(xué)問題?問題3:我們前面碰到過求最值的問題嗎?一般方法有哪些?這個(gè)問題能轉(zhuǎn)化為前面所學(xué)的函數(shù)問題嗎?那么,怎樣獲取符合條件的x,y的值呢?二、信息交流,揭示規(guī)律問題4:若把不等式組改變?yōu)榍髗=2x+3y的最大值,這種方法還可以用嗎?那樣如何求解呢?問題5:大家在剛才的代入法求解中,有沒有發(fā)現(xiàn)點(diǎn)A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都為9,也就是使2x

3、+3y=9成立,你能用所學(xué)的知識(shí)解釋這一現(xiàn)象嗎?那么在平面區(qū)域內(nèi)還有這樣的點(diǎn)嗎?點(diǎn)(4,1)會(huì)對(duì)應(yīng)著類似的直線嗎?問題6:如何從幾何角度認(rèn)識(shí)z=2x+3y?它對(duì)應(yīng)的圖形是什么?有什么條件約束這組平行直線?那么,怎樣求z的最大值呢?請(qǐng)大家自己探究一下.三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例題】設(shè)z=2x+y,式中變量x,y滿足條件求z的最大值和最小值.問題7:請(qǐng)大家反思一下,解答線性規(guī)劃問題的一般步驟是什么.四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練1:設(shè)z=6x+10y,式中x,y滿足條件求z的最大值和最小值.變式訓(xùn)練2:請(qǐng)大家在上面的線性約束條件下,探究目標(biāo)函數(shù)z=x-3y的最大值和最小值分別對(duì)應(yīng)可行域中的哪個(gè)點(diǎn)?

4、問題8:目標(biāo)函數(shù)z=ax+by中,z與縱截距的關(guān)系主要由哪個(gè)字母決定?問題9:剛才有的同學(xué)得出目標(biāo)函數(shù)z=x-3y的最大值和最小值分別對(duì)應(yīng)可行域中的點(diǎn)C和點(diǎn)B,這是什么原因造成的呢?五、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉問題10:目標(biāo)函數(shù)z=ax+by中有幾個(gè)自變量?我們這節(jié)課學(xué)習(xí)的線性規(guī)劃問題,體現(xiàn)了什么數(shù)學(xué)思想?那么我們在四個(gè)步驟中應(yīng)該注意什么問題?參考答案一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境問題情境:問題1:生產(chǎn)的甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量.等量關(guān)系:使用的A配件數(shù)量=甲產(chǎn)品數(shù)量4;使用的B配件數(shù)量=乙產(chǎn)品數(shù)量4;利潤=2甲產(chǎn)品數(shù)量+3乙產(chǎn)品數(shù)量.不等關(guān)系:生產(chǎn)甲產(chǎn)品總耗時(shí)+生產(chǎn)乙產(chǎn)品總耗時(shí)8;使用的A配件數(shù)量16;使用的B配

5、件數(shù)量12;甲、乙產(chǎn)品的數(shù)量都是自然數(shù).甲產(chǎn)品數(shù)量x、乙產(chǎn)品數(shù)量y、利潤z.即問題2:已知實(shí)數(shù)x,y滿足求z=2x+3y的最大值.問題3:碰到過;用函數(shù)求最值、幾何法求最值;不能,因?yàn)闆]有關(guān)于x,y的等式,不能消元;可以畫出不等式組表示的平面區(qū)域,然后從中把符合條件的有限個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)求出,代入z=2x+3y,通過比較求得最大值.二、信息交流,揭示規(guī)律學(xué)生探究1:畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中的陰影部分所示.可以求得平面區(qū)域內(nèi)滿足x,yN的點(diǎn)有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0

6、),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2).將坐標(biāo)代入,比較知道,當(dāng)x=4,y=2時(shí),z最大為14.問題4:不能,點(diǎn)有無數(shù)個(gè),不可能一一驗(yàn)證. 問題5:2x+3y=9表示一條直線,而點(diǎn)A(0,3),B(3,1)都在直線2x+3y=9上,所以都能使得2x+3y=9成立;有,如圖所示的平面區(qū)域內(nèi)位于線段AC上的所有的點(diǎn),都使2x+3y=9,即z的值等于9;對(duì)應(yīng)著直線2x+3y=11.問題6:當(dāng)z變化時(shí),它表示一族平行直線.將z=2x+3y化為斜截式為y=-x+,所以直線的斜率確定;而且這組直線必須和平面區(qū)域有公共點(diǎn).因?yàn)楫?dāng)縱截距最大時(shí),z就最大.所以,只需作出平行直線后,找到與

7、y軸的交點(diǎn)最靠上的那條直線所經(jīng)過的一個(gè)點(diǎn)就可以求z的最大值了.學(xué)生動(dòng)手操作后,得出結(jié)論:當(dāng)直線平移經(jīng)過點(diǎn)P時(shí),位置最靠上,也就是縱截距最大,從而z最大.把點(diǎn)P(4,2)代入z=2x+3y后,得到zmax=14.三、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例題】解:由題意,變量x,y所滿足的每個(gè)不等式都表示一個(gè)平面區(qū)域,不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域.由圖知,原點(diǎn)(0,0)不在公共區(qū)域內(nèi),當(dāng)x=0,y=0時(shí),z=2x+y=0,即點(diǎn)(0,0)在直線l0:2x+y=0上,作一組平行于l0的直線l:2x+y=t,tR,可知:當(dāng)l在l0的右上方時(shí),直線l上的點(diǎn)(x,y)滿足2x+y0,即t0,而且,直線l往右平移時(shí),

8、t隨之增大.由圖象可知,當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)A(5,2)時(shí),對(duì)應(yīng)的t最大,當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)時(shí),對(duì)應(yīng)的t最小,所以,zmax=25+2=12,zmin=21+1=3.問題7:一畫(可行域);二移(直線);三求(最優(yōu)解);四答(最大值).四、變式訓(xùn)練,深化提高變式訓(xùn)練1:解:由引例可知:直線l0與AC所在直線平行,則由引例的解題過程知,當(dāng)l與AC所在直線3x+5y-25=0重合時(shí)z最大,此時(shí)滿足條件的最優(yōu)解有無數(shù)多個(gè),當(dāng)l經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)時(shí),對(duì)應(yīng)z最小,將AC所在直線上任意一點(diǎn),如A(5,2),代入z=6x+10y,得zmax=65+210=50,zmin=61+101=16.變式訓(xùn)練2:分別對(duì)應(yīng)可行域中的點(diǎn)C和點(diǎn)A.問題8: b的符號(hào),當(dāng)b0時(shí),直線l在最上(下)面時(shí)z最大(小);當(dāng)b0時(shí),直線l在最上(下)面時(shí)z最小(大).問題9:目標(biāo)函