2020屆高中數(shù)學(xué)《圓和圓的位置關(guān)系》導(dǎo)學(xué)案 北師大版必修2（通用）

1、第11課時圓和圓的位置關(guān)系1.理解圓與圓的位置的種類.2.利用平面直角坐標(biāo)系中兩點(diǎn)間的距離公式求兩圓的連心線長(圓心距).3.會用連心線長判斷兩圓的位置關(guān)系.古時候,人們不懂得月食發(fā)生的科學(xué)道理,像害怕日食一樣,對月食也心懷恐懼.外國有人傳說,16世紀(jì)初,哥倫布航海到了南美洲的牙買加,與當(dāng)?shù)氐耐林税l(fā)生了沖突.哥倫布和他的水手被困在一個墻角,斷糧斷水,情況十分危急.懂點(diǎn)天文知識的哥倫布知道這天晚上要發(fā)生月全食,就向土著人大喊,“再不拿食物來,就不給你們月光!”到了晚上,哥倫布的話應(yīng)驗(yàn)了,果然沒有了月光.土著人見狀誠惶誠恐,趕快和哥倫布化干戈為玉帛.你能否從月食過程歸納出圓與圓有哪幾種位置關(guān)系呢

2、?問題1:圓與圓的位置關(guān)系可分為五種:相離、外切、相交、內(nèi)切、內(nèi)含.判斷圓與圓的位置關(guān)系常用方法:(1)幾何法:設(shè)兩圓圓心分別為O1、O2,半徑為r1、r2 (r1r2),則|O1O2|r1+r2相離;|O1O2|=r1+r2外切;|r1-r2|O1O2|r1+r2相交;|O1O2|=|r1-r2|內(nèi)切;0|O1O2| 0) 的公共弦的長為23,則a=.4.求與已知圓x2+y2-7y+10=0相交,公共弦平行于直線2x-3y-1=0,且過點(diǎn)(-2,3)、(1,4)的圓的方程.圓和圓的位置關(guān)系的判定已知圓C1:x2+y2-2mx+4y+m2-5=0,圓C2:x2+y2+2x-2my+m2-3=0

3、.當(dāng)m為何值時,(1)圓C1與圓C2相外切;(2)圓C1與圓C2內(nèi)含.圓和圓的相交弦問題已知圓C1:x2+y2+2x-6y+1=0,圓C2:x2+y2-4x+2y-11=0,求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.圓與圓相交的連心線問題已知圓C1:x2+y2-4x-2y-5=0與圓C2:x2+y2-6x-y-9=0.(1)求證:這兩個圓相交.(2)求這兩個圓公共弦所在的直線方程.(3)在平面上找一點(diǎn)P,過P點(diǎn)引這兩個圓的切線并使它們的長都等于62.已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0和x2+y2-10x-12y+m=0.求:(1)m取何值時兩圓外切?(2)m取何值時兩圓內(nèi)切?(3)m=45時

4、兩圓的公共弦所在直線的方程和公共弦的長.已知圓O1:x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心坐標(biāo)為(2,1),且兩圓外切,求圓O2的方程,并求內(nèi)公切線的方程.求過圓C1:x2+y2+6x-4=0和圓C2:x2+y2+6y-28=0的交點(diǎn),且圓心在直線x-y-4=0上的圓的方程.1.已知圓C1:x2+y2=4與圓C2:x2+y2-2ax+a2-1=0相內(nèi)切,則a等于().A.1B.-1C.1D.02.圓C1:(x-1)2+y2=4與圓C2:(x+1)2+(y-3)2=9相交弦所在直線為l,則l被圓O:x2+y2=4截得弦長為().A.13B.4C.43913D.839133.點(diǎn)P在圓x2+y2-8x

5、-4y+16=0上,點(diǎn)Q在圓x2+y2+4x+2y-11=0上,則|PQ|的最小值為.4.已知點(diǎn)A(-1,1)和圓C:(x-5)2+(y-7)2=4,求一束光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到圓周C的最短距離.(2020年重慶卷)已知圓C1:(x-2)2+(y-3)2=1,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=9,M,N分別是圓C1,C2上的動點(diǎn),P為x軸上的動點(diǎn),則|PM|+|PN|的最小值為().A.52-4B.17-1C.6-22D.17 考題變式(我來改編):第11課時圓和圓的位置關(guān)系知識體系梳理問題1:相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(1)相離外切相交內(nèi)切內(nèi)含(2)相交相切相離或內(nèi)含問題2:(1)兩兩兩一兩一基

6、礎(chǔ)學(xué)習(xí)交流1.D兩圓化成標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-1)2+y2=1和x2+(y+2)2=4,兩圓圓心距|O1O2|=12+22=5.又1=|1-2|51+2=3,兩圓相交,選D.2.B圓C1:(x+1)2+(y+1)2=4,圓C2:(x-2)2+(y-1)2=4,|C1C2|=132+2,兩圓相交,公切線有2條,選B.3.1兩圓公共弦所在直線方程為(x2+y2+2ay-6)-(x2+y2-4)=0,即y=1a,圓心(0,0)到直線的距離為d=|1a|=22-(3)2=1,解得a=1或a=-1(舍去).4.解:公共弦所在直線斜率為23,已知圓的圓心為(0,72),兩圓圓心所在直線的方程為y-72=-32x

7、,即3x+2y-7=0.設(shè)所求圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,則(-2)2+32-2D+3E+F=0,12+42+D+4E+F=0,3(-D2)+2(-E2)-7=0,解得D=2,E=-10,F=21, 所以所求圓的方程為x2+y2+2x-10y+21=0.重點(diǎn)難點(diǎn)探究探究一:【解析】 對于圓C1與圓C2的方程,經(jīng)配方后C1:(x-m)2+(y+2)2=9;C2:(x+1)2+(y-m)2=4.(1)如果C1與C2外切,則有(m+1)2+(-2-m)2=3+2,即(m+1)2+(m+2)2=25,即m2+3m-10=0,解得m=-5或m=2.(2)如果C1與C2內(nèi)含,則有(m+1)2

8、+(m+2)23-2,即(m+1)2+(m+2)21,m2+3m+20,得-2m-1.所以,當(dāng)m=-5或m=2時,圓C1與圓C2外切;當(dāng)-2m-1時,圓C1與圓C2內(nèi)含.【小結(jié)】圓和圓的位置關(guān)系,從交點(diǎn)個數(shù)也就是方程組解的個數(shù)來判斷,有時得不到確切的結(jié)論,通常還是從圓心距與兩圓半徑和、差的關(guān)系入手.探究二:【解析】設(shè)兩圓交點(diǎn)為A、B,則A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)是方程組x2+y2+2x-6y+1=0,x2+y2-4x+2y-11=0 的解,兩式相減得:3x-4y+6=0.因?yàn)锳、B兩點(diǎn)坐標(biāo)都滿足此方程,所以3x-4y+6=0即為兩圓公共弦所在的直線方程.因?yàn)閳AC1的圓心為(-1,3),半徑為3,點(diǎn)C1到直

9、線AB的距離為d=|-13-43+6|32+42=95,所以|AB|=2r2-d2=232-(95)2=245,所以兩圓的公共弦長為245.【小結(jié)】求解圓與圓相交弦問題,可結(jié)合圖形,利用弦心距、半弦之間的關(guān)系,充分利用圓的幾何性質(zhì).探究三:【解析】(1)圓C1:(x-2)2+(y-1)2=10,圓C2:(x-3)2+(y-12)2=734.兩圓圓心距|C1C2|=(2-3)3+(1-12)2=52,且732-1052732+10,圓C1與圓C2相交.(2)聯(lián)立兩個圓的方程x2+y2-4x-2y-5=0,x2+y2-6x-y-9=0,相減即得這兩個圓公共弦所在直線方程為2x-y+4=0.(3)設(shè)

10、P(x,y),依題意得2x-y+4=0,x2+y2-6x-y-9=(62)2,解方程組得點(diǎn)P(3,10)或(-235,-265).【小結(jié)】解決直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系的相關(guān)問題時,一定要根據(jù)圖形進(jìn)行適當(dāng)?shù)穆?lián)想,根據(jù)圖形間的關(guān)系來尋求數(shù)量間的關(guān)系,從而找到解題思路,這恰好也是新課標(biāo)所倡導(dǎo)的.本題有一定的綜合性,將位置關(guān)系的幾個問題綜合在一起,求解時要注意數(shù)形結(jié)合.思維拓展應(yīng)用應(yīng)用一:兩圓的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為(x-1)2+(y-3)2=11,(x-5)2+(y-6)2=61-m,圓心分別為M(1,3),N(5,6),半徑分別為11和61-m.(1)當(dāng)兩圓外切時,(5-12)+(6-32)=11+6

11、1-m.解得m=25+1011.(2)當(dāng)兩圓內(nèi)切時,因定圓的半徑11小于兩圓圓心間距離,故有61-m-11=5.解得m=25-1011.(3)兩圓的公共弦所在直線的方程為(x2+y2-2x-6y-1)-(x2+y2-10x-12y+45)=0,即4x+3y-23=0.由圓的半徑、弦長、弦心距間的關(guān)系,得公共弦的長為2 (11)2-|4+33-23|42+322=27.應(yīng)用二:因?yàn)閮蓤A圓心坐標(biāo)分別為(0,-1)、 (2,1),由兩圓外切,得|O1O2|=r1+r2=22+(1+1)2=22,所以r2=22-2,所以圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=4(2-1)2.兩圓方程相減,得x+y+

12、1-22=0,即為兩圓內(nèi)公切線的方程.應(yīng)用三:(法一)兩個圓的圓心分別為(-3,0),(0,-3),所以兩個圓的連心線所在直線的方程為x+y+3=0.由x-y-4=0,x+y+3=0,得圓心(12,-72).利用弦心距、弦長、半徑之間的關(guān)系可求得公共弦長d=50,兩個已知圓的公共弦所在的直線方程為x-y+4=0,所以圓半徑r2=(d2)2+|12-(-72)+4|22=892.故所求圓的方程為(x-12)2+(y+72)2=892,即x2+y2-x+7y-32=0.(法二)設(shè)所求圓的方程為x2+y2+6x-4+(x2+y2+6y-28)=0,即x2+y2+61+x+61+y-4+281+=0.故此圓的圓心為(-31+,-31+),它在直線x-y-4=0上,所以-31+-31+-4=0,解得=-7.故所求圓的方程為x2+y2-x+7y-32=0.基礎(chǔ)智能檢測1.C2.D由圓C1與圓C2的方程相減得l:2x-3y+2=0,圓心O(0,0)到l的距離d=21313,圓O的半徑R=2,所以截得弦長為2R2-d2=24-413=83913.3.35-6兩圓分別化為標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-2)2=4,(x+2)2+(y+1)2=16,可知兩個圓相離,故|PQ|的最小值等于圓心距減兩個圓的半徑,即35-6.4.解:光線從點(diǎn)A經(jīng)x軸反射到