高中數(shù)學(xué)講義（人教B版2019必修二）第05講422對數(shù)運(yùn)算法則

4.2.2對數(shù)運(yùn)算法則TOC\o"13"\h\z\u題型1對數(shù)的運(yùn)算法則 ⑵對于每一條運(yùn)算性質(zhì),都要注意只有當(dāng)式子中所有的對數(shù)都有意義時(shí),等式才成立.如log2[(2)×(3)]是存在的,但是log2(2)與log2(3)均不存在,故不能寫成log2[(2)×(3)]=log2(2)+log2(3).【例題1】（2020上·上海奉賢·高一統(tǒng)考期中）若a>0,a≠1，M>0,N>0，下列運(yùn)算正確的是（

）A．logaNMC．logaM÷【答案】A【分析】利用對數(shù)的性質(zhì)、運(yùn)算法則直接求解．【詳解】由a>0，a≠1，M>0，N>0，知：對于A，logaNM對于B，(logaM)對于C，(logaM)÷(對于D，logaM+log故選：A．【變式11】1．（多選）（2022上·遼寧阜新·高一校考期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．logaM+logC．logaMlog【答案】AC【分析】直接根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)逐一驗(yàn)證即可.【詳解】由于alogaM+設(shè)logNM=t，則故選：AC.【變式11】2．（多選）（2022·全國·高一單元測試）(多選)若a>1，b>1，且A．lga?1+lgC．lga?1+lg【答案】AB【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算求得正確答案.【詳解】依題意a>1,b>1，由lg所以a?1b?1即lga?1+lg【變式11】3.（多選）（2023·江蘇·高一假期作業(yè)）若a>0，且a≠1，x>y>0，n∈N＋，給出下列等式，其中恒成立的為（

）A．(logax)n＝logaC．logaxn【答案】BCD【分析】根據(jù)對數(shù)的定義和對數(shù)運(yùn)算法則判斷．【詳解】對于A，取x＝4，a＝2，n＝3，則(log24)3＝8≠log243＝6，故A錯(cuò)誤；對于B，?log對于C，loganx＝log對于D，logax?yx+y＝logax+yx?y?1故選：BCD.【變式11】4.（多選）（2023上·四川宜賓·高一?？茧A段練習(xí)）下列運(yùn)算正確的是（

）A．lg5+lg2=1C．log43=2log【答案】AD【分析】ACD利用對數(shù)運(yùn)算法則和換底公式可判斷；B選項(xiàng)，利用指數(shù)冪的運(yùn)算法則可判斷.【詳解】A選項(xiàng)，lg5+B選項(xiàng)，a?C選項(xiàng)，log4D選項(xiàng)，由換底公式可得log2故選：AD【變式11】5．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知logax1x2???x2021【答案】10【分析】由同底數(shù)對數(shù)加法公式以及l(fā)oga【詳解】因?yàn)閘ogax1x2題型2對數(shù)的化簡求值【方法總結(jié)】1．利用對數(shù)性質(zhì)求值的解題關(guān)鍵是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，再找真數(shù)間的聯(lián)系．2．對于復(fù)雜的運(yùn)算式，可先化簡再計(jì)算．化簡問題的常用方法：(1)“拆”：將積(商)的對數(shù)拆成兩對數(shù)之和(差)；(2)“收”：將同底對數(shù)的和(差)收成積(商)的對數(shù)．【例題2】（2023·上海·高一專題練習(xí)）求下列各式的值：(1)lg0.01(2)log2(3)lg2+(4)log3(5)log2(6)lg2【答案】(1)?2(2)14(3)1(4)1(5)?(6)2【分析】根據(jù)對數(shù)的定義、對數(shù)的運(yùn)算法則及運(yùn)算性質(zhì)求解各題即可.【詳解】（1）lg0.01=（2）log2（3）lg2+（4）log3（5）log2（6）lg2【變式21】1.（2021上·江蘇常州·高一統(tǒng)考期中）（1）lg（2）log（3）log3（4）lg8+3（5）lg8+（6）log6（7）計(jì)算：23+【答案】(1)2，(2)233，(3)0，(4)3，（5）?4.（6）1.（7）165【分析】根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.【詳解】（1）原式=2lg（2）原式=2（3）解：根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，可得log=log（4）解：原式=lg（5）lg=lg（6）log===(（7）23+log=8×5+5【變式21】2.（2023上·江蘇南京·高一統(tǒng)考期中）已知：當(dāng)1<m<2時(shí)，0<log2m<1成立，若a是logA．34 B．43 C．32【答案】C【分析】根據(jù)對數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合指數(shù)冪的運(yùn)算即可求解.【詳解】log23=1+log23故2a故選：C【變式21】3.（2020上·上海徐匯·高一上海中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若a表示13?5的小數(shù)部分，則【答案】?【分析】由題意知13?5=【詳解】由13?5=3+54∈(1,2)∴l(xiāng)og2故答案為：?1【變式21】4．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）已知a=lg2+lg5?4lg2lg5?lg27+lg64?e【答案】2022【分析】化簡計(jì)算得a,b【詳解】解：a=1?4lg21?lg2?3lg3+6lg2?3310lg1210lg題型3利用換底公式化簡求值【方法總結(jié)】1.logab=logcblogca(a＞0，且a2.可用換底公式證明以下結(jié)論：①；②；③；④；⑤.【例題3】根據(jù)換底公式，化簡下列式子：（1）logambm（3）logamb【答案】

logab

1m【詳解】解：（1）logam（3）logam故答案為：logab；1mlog【變式31】1.計(jì)算下列各式的值：（1）3（2）log3（3）3log（4）計(jì)算3log（5）lg1【答案】(1)?32；(2)3（3）1；（4）2【分析】（1）利用對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)、換底公式計(jì)算即得.（2）直接根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及換底公式計(jì)算即可.（3）利用指數(shù)與對數(shù)的運(yùn)算法則，結(jié)合換底公式即可得解.（4）根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則直接計(jì)算即可.（5）按照對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式進(jìn)行運(yùn)算即可.【詳解】（1）3=3（2）原式=lg（3）3=2?2=2?2+log62+（4）3=2?2×1（5）原式=?2?log=?2?1【變式31】2.（2020下·內(nèi)蒙古呼和浩特·高一校考開學(xué)考試）設(shè)a=log89A．32 B．23 C．1 【答案】B【分析】利用對數(shù)的運(yùn)算法則化簡得解.【詳解】由題可知，a=log故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)的運(yùn)算，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.【變式31】3．（2022·全國·高一課時(shí)練習(xí)）若log23×logA．4 B．6 C．9 D．12【答案】A【分析】由換底公式對原式變型即可求解.【詳解】∵log2∴l(xiāng)og2m=2，【變式31】4（2023·江蘇淮安·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知algablgb【答案】10或1【分析】對已知等式左右同時(shí)取對數(shù)，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則化簡可得lgabc【詳解】由algab由algbb∴2lg∴l(xiāng)ga2∴l(xiāng)gabc=1或lgabc=?1，∴abc=10故答案為：10或110【變式31】5．（2022·河南·睢縣高級中學(xué)）已知0.3010<lg2<0.3011，則log4A．5.3,5.4 B．5.4,5.5 C．5.5,5.6 D．5.6,5.7【答案】B【分析】根據(jù)3+lg2<lg2022<11lg2結(jié)合換底公式，代入計(jì)算即可.【詳解】∵2000<2022<2048，∴l(xiāng)g2000<lg2022<lg2048，∴3+lg2<lg2022<11lg2，∴3+lg22lg2<lg2022lg4【變式31】6.（2023上·江蘇南通·高一海安高級中學(xué)校考期中）數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，因?yàn)檫\(yùn)算，數(shù)的威力無限；沒有運(yùn)算，數(shù)就只是個(gè)符號．對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算．(1)試?yán)脤?shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算lg3(2)已知x，y，z為正數(shù)，若3x=4【答案】(1)17(2)1【分析】（1）根據(jù)對數(shù)運(yùn)算法則得到答案；（2）令3x=4y=6z【詳解】（1）原式=lg（2）由題意知，令3x=4所以x=log3a，y=所以yz【變式31】7.（2023·上?！じ咭粚ｎ}練習(xí)）數(shù)學(xué)運(yùn)算是指在明晰運(yùn)算對象的基礎(chǔ)上依據(jù)運(yùn)算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng)，因?yàn)檫\(yùn)算，數(shù)的威力無限；沒有運(yùn)算，數(shù)就只是個(gè)符號.對數(shù)運(yùn)算與指數(shù)冪運(yùn)算是兩類重要的運(yùn)算．(1)試?yán)脤?shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算lg?(2)已知x，y，z為正數(shù)，若3x=4(3)定義：一個(gè)自然數(shù)的數(shù)位的個(gè)數(shù)，叫做位數(shù).試判斷22022的位數(shù).(注【答案】(1)17(2)1(3)609【分析】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算法則求解；（2）令3x=4（3）設(shè)22022=t，兩邊取對數(shù)【詳解】（1）解：原式=lg（2）由題意知，令3x=4所以x=log所以yz（3）設(shè)22022=t，則lg?t=2022?所以lg?t=2022×0.3010=608.622所以t=10608.622，則所以22022的位數(shù)為題型4利用對數(shù)運(yùn)算法則解對數(shù)方程【例題4】求下列方程的解：（1）2x+1=log31?2?3x；（2）log3【答案】（1）?1；（2）log34；(3)43/【分析】（1）根據(jù)題意，由對數(shù)的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.(2)由log39x?4=x+1，得log(3)由對數(shù)運(yùn)算性質(zhì)可得答案.（4）依題意得到?2x=3?x【詳解】（1）因?yàn)?x+1=log31?2?3x即3?3x?13x+1=0故答案為：?1(2)由log39x所以9x?4=3即3x?43x+1所以x=log故答案為：log3（3）由題，log2故答案為：43(4)因?yàn)閘g(?2x)=則?2x=3?x2?2x>0所以方程lg(?2x)=lg3?故答案為：x|x=?1【變式41】1．（2023上·廣東韶關(guān)·高一?？茧A段練習(xí)）已知lga，lgb是方程6xA．49 B．139 C．149【答案】D【分析】由韋達(dá)定理可得：lga+lgb=【詳解】由韋達(dá)定理可得：lga+lgb=所以lga故選：D【變式41】2.（2023上·遼寧沈陽·高二學(xué)業(yè)考試）若lga和lgb是方程x2A．?1 B．110 C．1 【答案】D【分析】根據(jù)韋達(dá)定理，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算計(jì)算即得.【詳解】由lga和lgb是方程x2?x?1=0的兩個(gè)根，得所以ab=10．故選：D【變式41】3.（2023上·廣東深圳·高一深圳中學(xué)?？计谥校┮阎猘，b是方程2(lnx)【答案】52【分析】方法一：利用韋達(dá)定理結(jié)合換底公式求解；方法二：解方程可得a=e，b=【詳解】方法一：因?yàn)閍，b是方程2ln由韋達(dá)定理得lna?lnb=則loga即loga方法二：因?yàn)?t2?3t+1=0的根為t=1不妨設(shè)lna=1，lnb=12，則所以loga故答案為：52【變式41】4.（2023下·遼寧沈陽·高一統(tǒng)考期末）若lna，lnb是方程2x【答案】1【分析】把lna代入方程2x2+4x+1=0，化簡得【詳解】由lna是方程2x2所以lna2+2又由lna，lnb是方程所以lna+lnb=?2，即ln所以lna故答案為：1【變式41】5．設(shè)x>1，若log2log4【答案】?14##?0.25【詳解】由log2loglog414log2x+log16log2題型5對數(shù)的實(shí)際應(yīng)用【例題5】（2023上·四川成都·高一?？茧A段練習(xí)）為了衡量星星的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念.星等的數(shù)值越小，星星就越亮；星等的數(shù)值越大它的光就越暗.到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測量的應(yīng)用，英國天文學(xué)家普森又提出了亮度的概念，天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述.兩顆星的星等與亮度滿足m1?m2=A．1 B．10C．110 D．【答案】B【分析】把已知數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算E1【詳解】由題意1?1.25=52lg即lgE1E故選：B.【變式51】1．（2022上·江蘇南京·高一南京師大附中?？计谥校?7世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊“對數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.已知lg2≈0.3010，lg3≈0.4771，設(shè)N=4A．1010,10C．1012,10【答案】C【分析】先求出lgN【詳解】N=4lgN=所以N所在的區(qū)間為1012故選：C【變式51】2．（2023上·江蘇泰州·高一泰州中學(xué)?？计谥校┰?859年的時(shí)候，德國數(shù)學(xué)家黎曼向科學(xué)院提交了題目為《論小于某值的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)》的論文并提出了一個(gè)命題，也就是著名的黎曼猜想.在此之前，著名數(shù)學(xué)家歐拉也曾研究過這個(gè)問題，并得到小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)可以表示為πx≈xlnx的結(jié)論.若根據(jù)歐拉得出的結(jié)論，估計(jì)10A．1085 B．2085 C．2869 D．8686【答案】A【分析】由題意可知104以內(nèi)的素?cái)?shù)的個(gè)數(shù)為π【詳解】由題可知小于數(shù)字x的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)大約可以表示為πx則104π104≈10000=2500lge≈0.434×2500≈1085故選:A.【變式51】3．（2022上·江西贛州·高一統(tǒng)考期中）17世紀(jì)，在研究天文學(xué)的過程中，為了簡化大數(shù)運(yùn)算，蘇格蘭數(shù)學(xué)家納皮爾發(fā)明了對數(shù)，對數(shù)的思想方法即把乘方和乘法運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化成乘法和加法運(yùn)算，數(shù)學(xué)家拉普拉斯稱贊為“對數(shù)的發(fā)明在實(shí)效上等于把天文學(xué)家的壽命延長了許多倍”.已知ln2=0.6931，ln3=1.0986，設(shè)N=4A．e38,e39 B．e39,【答案】B【分析】利用指數(shù)和對數(shù)互化，結(jié)合對數(shù)運(yùn)算法則可求得lnN，由此可得N【詳解】因?yàn)镹=4所以ln=0.6931×10+1.0986×30=39.889，所以N=e故選：B.【變式51】4．（2023上·四川綿陽·高一綿陽中學(xué)?？计谀┙衲?月24日，日本不顧國際社會的強(qiáng)烈反對，將福島第一核電站核污染廢水排入大海，對海洋生態(tài)造成不可估量的破壞.據(jù)有關(guān)研究，福島核污水中的放射性元素有21種半衰期在10年以上；有8種半衰期在1萬年以上.已知某種放射性元素在有機(jī)體體液內(nèi)濃度cBqL與時(shí)間t（年）近似滿足關(guān)系式c=k?at（k，a為大于0的常數(shù)且a≠1）.若c=16時(shí)，t=10；若c=112時(shí)，t=20.則據(jù)此估計(jì)，這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度【答案】53【分析】根據(jù)已知條件得16=k?a101【詳解】由題意得：16=k?a101當(dāng)c=1120時(shí)，得1120兩邊取對數(shù)得t10=log所以t=5.32×10=53.2，即這種有機(jī)體體液內(nèi)該放射性元素濃度c=1120時(shí)，大約需要故答案是：53.【變式51】5．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）荀子《勸學(xué)》中說：“不積跬步，無以至千里；不積小流，無以成江海．”所以說學(xué)習(xí)是日積月累的過程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn)．我們可以把1+1%365看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是1.01365≈37.7834；而把1?1%365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是0.99365≈0.0255；這樣，一年后的“進(jìn)步值”是“退步值”的A．9 B．15 C．25 D．35【答案】D【分析】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，則1.010.99x=2【詳解】設(shè)經(jīng)過x天“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，則1.010.99∴x=log故選：D．題型6解答題綜合【例題6】（2023上·山東濟(jì)南·高一統(tǒng)考階段練習(xí)）（1）如果a>0，且a≠1，其中M>0,N>0，求證：①loga②loga（2）如果a>0，且a≠1，b>0,c>0，且c≠1，求證：loga【答案】（1）①證明見解析；②證明見解析.（2）證明見解析【分析】根據(jù)指數(shù)冪與對數(shù)的互化公式，以及對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）證明：①設(shè)logaM=m,log則MN=am?②由Mn=(a（2）設(shè)logab=x,(a>0且可得ax=b，兩邊同時(shí)取對數(shù)，可得logc所以x=logcblogca，即loga【變式61】1.（2023上·四川德陽·高一四川省德陽中學(xué)校校考階段練習(xí)）把物體放在冷空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是θ1°C，空氣的溫度是θ0°C，t分鐘后物體的溫度θ°C可由公式：θ=(1)求常數(shù)k的值：(2)該物體冷卻多少分鐘后物體溫度是35°C.（精確到1）（參考數(shù)據(jù)：ln2≈0.69，ln3≈1.10【答案】(1)ln5(2)4【分析】（1）由題意列出方程，結(jié)合指數(shù)式和對數(shù)式的互化解之即可；（2）由（1）知35=15+65?15【詳解】（1）由題意可知θ=θ∴可列：55=15+65?15解得：e?k=45∴k=ln（2）由已知可知：35=15+65?15e?t∴45∴t=log∴物體冷卻4分鐘后物體溫度是35°C【變式61】2.（2023上·河北保定·高一保定一中校聯(lián)考期中）從以下三題中任選兩題作答，若三題都分別作答，則按前兩題作答計(jì)分，作答時(shí)，請?jiān)诖痤}卷上標(biāo)明你選的兩個(gè)題的題號.(1)已知aaa7(2)已知10a=3,3(3)求方程log2【答案】(1)m=?3(2)2(3)?5,20【