2024-2025學(xué)年吉林省吉林市高三上冊(cè)第一次摸底考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷（含解析）

2024-2025學(xué)年吉林省吉林市高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A.0,2 B.0,2C D.2.已知，則（）A. B. C. D.3.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A. B. C. D.4.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.解集是D.，，使得6.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.7.已知，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C D.8.若關(guān)于不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B. C.1 D.二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C D.10.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.若，11.定義在上的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.B.C.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為5D.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某扇形圓心角為120°，弧長(zhǎng)為，則此扇形的面積為_(kāi)_______.13.已知函數(shù)，，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.14.對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.若函數(shù)在定義域上為“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為_(kāi)_______.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，數(shù)列為單調(diào)遞增等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.16.已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最大值與最小值.17.師大附中考入北大的學(xué)生李聰畢業(yè)后幫助某地打造“生態(tài)果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹(shù)，增加產(chǎn)量，提高收入，調(diào)研過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：此珍稀水果樹(shù)的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿(mǎn)足如下關(guān)系：，已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)為10元/千克，且供不應(yīng)求.水果樹(shù)單株獲得的利潤(rùn)為（單位：元）.（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)投入成本為多少時(shí)，該水果樹(shù)單株獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，，滿(mǎn)足，求a的取值范圍.19.對(duì)于數(shù)列，若，對(duì)任意的，有，則稱(chēng)數(shù)列是有界的.當(dāng)正整數(shù)n無(wú)限大時(shí)，若無(wú)限接近于常數(shù)a，則稱(chēng)常數(shù)a是數(shù)列的極限，或稱(chēng)數(shù)列收斂于a，記為.單調(diào)收斂原理：“單調(diào)有界數(shù)列一定收斂”可以幫助我們解決數(shù)列的收斂性問(wèn)題.（1）證明：對(duì)任意的，，恒成立；（2）已知數(shù)列，的通項(xiàng)公式為：，，.（i）判斷數(shù)列，的單調(diào)性與有界性，并證明；（ii）事實(shí)上，常數(shù)，以為底的對(duì)數(shù)稱(chēng)為自然對(duì)數(shù)，記為.證明：對(duì)任意的，恒成立2024-2025學(xué)年吉林省吉林市高三上學(xué)期第一次摸底考試數(shù)學(xué)檢測(cè)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的1.已知集合，，則（）A.0,2 B.0,2C. D.【正確答案】C【分析】根據(jù)不等式解法求集合，進(jìn)而求交集.【詳解】由題意可得：，，所以.故選：C.2.已知，則（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】利用齊次式法求值，代入計(jì)算即可得答案.【詳解】由于，故.故選：B3.已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則（）A B. C. D.【正確答案】A【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義計(jì)算．【詳解】，，所以，故選：A．4.若函數(shù)既有極大值也有極小值，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】求導(dǎo)，分析可知有2個(gè)不相等的正根，結(jié)合二次方程的根的分布列式求解即可.【詳解】由題意可知：的定義域?yàn)?，且，若函?shù)既有極大值也有極小值，則有2個(gè)不相等的正根，則，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：D.5.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)B.當(dāng)時(shí)，C.的解集是D.，，使得【正確答案】D【分析】對(duì)于A：當(dāng)時(shí)，令，解得，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)分析判斷；對(duì)于B：根據(jù)奇函數(shù)定義求解析式；對(duì)于C：分析、和三種情況解不等式即可；對(duì)于D：根據(jù)解析式以及奇函數(shù)性質(zhì)分析的值域，即可得判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：當(dāng)時(shí)，，令，則，解得，又因?yàn)楹瘮?shù)是定義在R上的奇函數(shù)，則也為函數(shù)的零點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，由奇函數(shù)性質(zhì)可知，所以函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，由奇函數(shù)定義可得，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，，令，且，可得，解得；且不滿(mǎn)足；當(dāng)時(shí)，，令，且，可得，解得；綜上所述：的解集是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D：當(dāng)時(shí)，，因?yàn)椋瑒t，可得，即，由奇函數(shù)性質(zhì)可得：當(dāng)時(shí)，，且，可得的值域?yàn)镽，所以，，使得，故D正確；故選：D.6.定義在上的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若，，則不等式的解集為（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】構(gòu)建，求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)判斷的單調(diào)性，進(jìn)而判斷的符號(hào)性，即可得的符號(hào)性.【詳解】令，則的定義域?yàn)镽，且，因?yàn)椋?，注意到，可得，可知在定義域R內(nèi)單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，gx=fx當(dāng)x<1時(shí)，，即；所以不等式的解集為1,+∞.故選：B.7.已知，，，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.【正確答案】B【分析】已知變形得，再證明后即可得．【詳解】則已知，，所以，由，則，因此，又，所以，故選：B．8.若關(guān)于不等式恒成立，則當(dāng)時(shí)，的最小值為（）A. B. C.1 D.【正確答案】C【分析】構(gòu)建，分析可知的定義域?yàn)?,+∞，且在0,+∞內(nèi)恒成立，利用導(dǎo)數(shù)可得，整理可得，構(gòu)建，利用導(dǎo)數(shù)求其最值即可.【詳解】設(shè)，因?yàn)椋芍亩x域?yàn)?,+∞，所以在0,+∞內(nèi)恒成立，又因?yàn)椋頵'x>0，解得；令f'可知在0,1內(nèi)單調(diào)遞增，在1,+∞內(nèi)單調(diào)遞減，則，可得，則，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，令，則，令，解得；令，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，則，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，所以的最小值為1.故選：C.方法點(diǎn)睛：兩招破解不等式的恒成立問(wèn)題（1）分離參數(shù)法第一步：將原不等式分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的最值；第三步：根據(jù)要求得所求范圍．（2）函數(shù)思想法第一步：將不等式轉(zhuǎn)化為含待求參數(shù)的函數(shù)的最值問(wèn)題；第二步：利用導(dǎo)數(shù)求該函數(shù)的極值；第三步：構(gòu)建不等式求解．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.若，則下列不等式成立的是（）A. B.C. D.【正確答案】AC【分析】對(duì)于AC：利用作差法分析判斷即可；對(duì)于BD：舉反例說(shuō)明即可.【詳解】因?yàn)?，則，對(duì)于選項(xiàng)A：，即；，即；，即；所以，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)BD：例如，滿(mǎn)足，因?yàn)?，即，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，即，故D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)椋钟蛇x項(xiàng)A知，，所以，故C正確；故選：AC.10.已知，則下列說(shuō)法正確的是（）A. B.C. D.若，【正確答案】BCD【分析】以為整體，利用誘導(dǎo)公式、倍角公式以及兩角和差公式逐項(xiàng)分析求解.【詳解】因?yàn)?，?duì)于選項(xiàng)A：，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若，則，且，則，，可得，所以，故D正確；故選：BCD.11.定義在上的偶函數(shù)，滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.BC.函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為5D.【正確答案】ABD【分析】利用賦值法判斷A；推出函數(shù)周期求函數(shù)值，判斷B；將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，數(shù)形結(jié)合，判斷C；結(jié)合函數(shù)單調(diào)性判斷D.【詳解】對(duì)于A，由于，令，則，A正確；對(duì)于B，為偶函數(shù)，即f?x=fx，結(jié)合得，即，故，故4為函數(shù)的周期，由時(shí)，得，故，B正確；對(duì)于C，由于，故函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，又為偶函數(shù)，則的圖象也關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，結(jié)合4為函數(shù)的周期，當(dāng)時(shí)，，作出函數(shù)的圖象如圖，設(shè)，則該函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，且函數(shù)在R上單調(diào)遞增，結(jié)合的圖象可知，二者有3個(gè)交點(diǎn)，且交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和為3，即函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為3，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，令，則，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故，即，僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故得，則；同理可證得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，則，由于在上單調(diào)遞增，故fe0.1?1>fln故選：ABD難點(diǎn)點(diǎn)睛：本題綜合考查了函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到函數(shù)對(duì)稱(chēng)性；周期性以及奇偶性，解答時(shí)要判斷出函數(shù)相關(guān)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，另外要結(jié)合導(dǎo)數(shù)知識(shí)進(jìn)行解答.三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知某扇形的圓心角為120°，弧長(zhǎng)為，則此扇形的面積為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】利用弧長(zhǎng)公式求出半徑，再利用扇形面積公式求解即可【詳解】設(shè)扇形的半徑為R，∵扇形的圓心角為，弧長(zhǎng)為，∴，解得：R=，∴扇形的面積=.故答案為.13.已知函數(shù)，，則實(shí)數(shù)a的值為_(kāi)_____.【正確答案】【分析】根據(jù)分段函數(shù)的定義計(jì)算函數(shù)值后，解方程可得．【詳解】，所以，所以，解得.故14.對(duì)于函數(shù)，若在定義域內(nèi)存在實(shí)數(shù)x滿(mǎn)足，則稱(chēng)函數(shù)為“局部奇函數(shù)”.若函數(shù)在定義域上為“局部奇函數(shù)”，則實(shí)數(shù)m取值范圍為_(kāi)_______.【正確答案】【分析】根據(jù)“局部奇函數(shù)”的定義便知，若函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，只需方程有解．可設(shè)，從而得出方程在時(shí)有解，，從而設(shè)，由函數(shù)單調(diào)性分析可得答案．【詳解】根據(jù)題意，由“局部奇函數(shù)”的定義可知：若函數(shù)是定義在上的“局部奇函數(shù)”，則方程有解，即有解；整理可得，即有解即可.設(shè)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.則方程有解等價(jià)為在時(shí)有解，等價(jià)為在時(shí)有解，設(shè)，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，則，則，解得，所以的取值范圍為．故．方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過(guò)解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問(wèn)題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.四、解答題：本大題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟.15.已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，數(shù)列為單調(diào)遞增等比數(shù)列，，且，，成等差數(shù)列.（1）求數(shù)列，的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【正確答案】（1），；（2）【分析】（1）根據(jù)得到為公差為2的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求通項(xiàng)公式求出，再設(shè)的公比為，列出方程，求出，得到通項(xiàng)公式；（2）化簡(jiǎn)得到，故為公差為3的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式得到答案.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，故為公差?的等差數(shù)列，所以，又，，成等差數(shù)列，故，設(shè)的公比為，其中，則，解得或，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，為遞增數(shù)列，滿(mǎn)足要求，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，為遞減數(shù)列，舍去，綜上，，；【小問(wèn)2詳解】，則，故為公差為3的等差數(shù)列，故.16.已知函數(shù).（1）求曲線(xiàn)在點(diǎn)處的切線(xiàn)方程；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)最大值與最小值.【正確答案】（1）（2）函數(shù)的最大值為2，最小值【分析】（1）求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切點(diǎn)和切線(xiàn)斜率，即可得切線(xiàn)方程；（2）根據(jù)求導(dǎo)判斷的單調(diào)性，結(jié)合單調(diào)性分析最值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)椋瑒t，可得，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線(xiàn)斜率為，所以切線(xiàn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）可得，且，則，令，則，解得；令，則，解得；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，又因?yàn)?，且，所以函?shù)的最大值為2，最小值.17.師大附中考入北大的學(xué)生李聰畢業(yè)后幫助某地打造“生態(tài)果園特色基地”，他決定為該地改良某種珍稀水果樹(shù)，增加產(chǎn)量，提高收入，調(diào)研過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：此珍稀水果樹(shù)的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與投入的成本（單位：元）滿(mǎn)足如下關(guān)系：，已知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)為10元/千克，且供不應(yīng)求.水果樹(shù)單株獲得的利潤(rùn)為（單位：元）.（1）求的函數(shù)關(guān)系式；（2）當(dāng)投入成本為多少時(shí)，該水果樹(shù)單株獲得的利潤(rùn)最大?最大利潤(rùn)是多少?【正確答案】（1）（2）當(dāng)投入成本為90元時(shí)，該水果樹(shù)單株獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元【分析】（1）由題意可知：，結(jié)合題意代入運(yùn)算即可；（2）分和，結(jié)合二次函數(shù)和基本不等式求最大值.【小問(wèn)1詳解】由題意可知.【小問(wèn)2詳解】由（1）可知：，若，則，可知其圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱(chēng)軸為，此時(shí)的最大值為；若，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)的最大值為；又因?yàn)?，可知的最大值為，所以?dāng)投入成本為90元時(shí)，該水果樹(shù)單株獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是元.18.已知函數(shù)，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；（2）若函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn)，，滿(mǎn)足，求a的取值范圍.【正確答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞増區(qū)間為；有極小值，無(wú)極大值.（2）【分析】（1）將代入，然后求導(dǎo)利用導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷原函數(shù)的單調(diào)性，計(jì)算極值即可；（2）先將化為，然后令，將問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)橛袃蓚€(gè)解為，設(shè)，利用零點(diǎn)存在性定理證明其有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)的情況，分離得，再設(shè)新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出其值域，最后求出的取值范圍即可.【小問(wèn)1詳解】當(dāng)時(shí)，，其定義域?yàn)?，，所以顯然當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞増；所以有極小值，無(wú)極大值；綜上所述，單調(diào)遞減區(qū)間為；單調(diào)遞増區(qū)間為；有極小值，無(wú)極大值.【小問(wèn)2詳解】，令，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞增，則，令，即在有2個(gè)零點(diǎn)，且，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，在單調(diào)遞增，不存在2個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，:當(dāng)時(shí)，.所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，則，令，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減：當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，則，所以恒成立.即恒成立.因此，，因?yàn)闀r(shí)，;且.，因?yàn)闀r(shí)，;且.所以當(dāng)，即時(shí)，函數(shù)有2個(gè)不同的零點(diǎn).又，即等價(jià)于，設(shè).當(dāng)時(shí)，;當(dāng)時(shí)，.則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，由題意得:.（i）當(dāng)，即時(shí)，恒成立;（ii）當(dāng)，即時(shí)，有.令，由，即可得，所以，綜上，，因此.關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題第二問(wèn)的關(guān)鍵是利用同構(gòu)思想得，再結(jié)合分離參數(shù)即可得到答案.19.對(duì)于數(shù)列，若，對(duì)任意的，有，