專題07 三角形內(nèi)角和定理 帶解析

2022-2023學(xué)年北師大七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊精選壓軸題培優(yōu)卷專題07三角形內(nèi)角和定理一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022秋?濱城區(qū)校級(jí)期末）△ABC中，給出下列條件：①∠A＝∠B﹣∠C，②∠A：∠B：∠C＝1：2：3，③∠A＝2∠B＝3∠C，④點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD＝AB．其中能判定△ABC是直角三角形的有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：①∵∠A＝∠B﹣∠C，∴∠A+∠C＝∠B，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴2∠B＝180°，∴∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形；②∵∠A：∠B：∠C＝1：2：3，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝180°×＝90°，∴△ABC是直角三角形；③∵∠A＝2∠B＝3∠C，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠A+∠A＝180°，∴∠A＝（）°，所以△ABC不是直角三角形；④∵點(diǎn)D是邊AB的中點(diǎn)，且CD＝AB，∴AD＝CD＝BD，∴∠A＝∠DCA，∠B＝∠DCB，∵∠A+∠B+∠ACB＝180°，∴2∠A+2∠B＝180°，∴∠A+∠B＝90°，∴△ABC是直角三角形，綜上所述：能判斷△ABC是直角三角形的有3個(gè)．故選：C．2．（2分）（2022春?福山區(qū)期末）如圖所示，考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)在地下A處有一座古墓，古墓上方是煤氣管道，為了不影響管道，準(zhǔn)備在B和C處開工挖出“V”字形通道，如果∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，則∠A的度數(shù)是（）A．65° B．80° C．85° D．90°解：∵∠DBA＝120°，∠ECA＝125°，∴∠ABC＝180°﹣∠DBA＝60°，∠ACB＝180°﹣∠ECA＝55°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣60°﹣55°＝65°，即∠A＝65°．故選：A．3．（2分）（2022春?丹鳳縣期末）如圖，在三角形ABC中，AH⊥BC，BF平分∠ABC，BE⊥BF，EF∥BC，以下四個(gè)結(jié)論：①AH⊥EF；②∠ABF＝∠EFB；③AC∥BE；④∠E＝∠ABE．其中正確的結(jié)論有（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)解：∵AH⊥BC，EF∥BC，∴AH⊥EF，故①正確；∵BF平分∠ABC，∴∠ABF＝∠CBF，∵EF∥BC，∴∠EFB＝∠CBF，∴∠ABF＝∠EFB，故②正確；∵BE⊥BF，而AC與BF不一定垂直，∴BE∥AC不一定成立，故③錯(cuò)誤；∵BE⊥BF，∴∠E和∠EFB互余，∠ABE和∠ABF互余，而∠EFB＝∠ABF，∴∠E＝∠ABE，故④正確．故選：B．4．（2分）（2022春?五華縣期末）如圖，在△ABC中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，連接AE，AD．設(shè)∠ACB＝α，∠EAD＝β，則∠B的度數(shù)為（）A．2β﹣α B．α﹣β C．2α﹣β D．α+β解：∵以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧交BC于點(diǎn)D，以點(diǎn)C為圓心，AC為半徑畫弧交BC于點(diǎn)E，∴AB＝BD，AC＝CE，∴∠BAD＝∠BDA，∠CAE＝∠CEA，∵∠ACB＝α，∴∠CAE＝∠CEA＝（180°﹣∠ACB）＝90，∵∠DAE＝β，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝（90°﹣）﹣β＝90°﹣﹣β，∴∠BAD＝∠BDA＝∠C+∠CAD＝α+（90°﹣﹣β）＝90°+﹣β，∴∠B＝180°﹣∠BAD﹣∠BDA＝180°﹣（90°+﹣β）﹣（90°+﹣β）＝180°﹣90°﹣+β﹣90°﹣+β＝2β﹣α，故選：A．5．（2分）（2022春?陳倉區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠C＝60°，把△ABC沿直線DE折疊，使得點(diǎn)B與點(diǎn)A重合．若AD恰好平分∠BAC，則∠BDE的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°解：由折疊可知：∠B＝∠DAB，∠BED＝∠AED＝90°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠C＝60°，∴3∠B＝120°，解得∠B＝40°，∴∠BDE＝90°﹣40°＝50°．故選：C．6．（2分）（2022春?靖江市期末）如圖，∠AOB＝70°，點(diǎn)M，N分別在OA，OB上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合），ME平分∠AMN，ME的反向延長線與∠MNO的平分線交于點(diǎn)F，在M，N的運(yùn)動(dòng)過程中，∠F的度數(shù)（）A．變大 B．變小 C．等于55° D．等于35°解：∵M(jìn)E平分∠AMN，NF平分∠MNO，∴∠AME＝∠EMN＝∠AMN，∠MNF＝∠FNO＝∠MNO，又∵∠AMN是△MNO的外角，∴∠AMN＝∠MNO+∠O，即2∠EMN＝2∠MNF+∠O，∴∠EMN＝∠MNF+∠O，又∵∠EMN是△MNF的外角，∴∠EMN＝∠MNF+∠F，∴∠MNF+∠F＝∠MNF+∠O，∴∠F＝∠O＝×70°＝35°，故選：D．7．（2分）（2022春?平南縣期末）三角形是一種常見且神奇的圖形，我們小學(xué)階段就知道，三角形的內(nèi)角和等于180°．如圖，△ABC的角平分線BE、CD相交于點(diǎn)F，∠A＝90°，GD∥BC，BG⊥GD于點(diǎn)G，下列結(jié)論：①∠CBG＝90°；②∠BDG＝2∠ABE；③∠BFD＝∠FBC+∠FCB；④∠AEB＝∠EBG；⑤∠CFE＝45°，其中正確的結(jié)論有（）A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè)解：①∵BG⊥GD于點(diǎn)G，∴∠G＝90°．∵GD∥BC，∴∠G+∠GBC＝180°．∴∠GBC＝180°﹣∠G＝90°．故①正確．②∵GD∥BC，∴∠GDB＝∠DBC．∵BE平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠ABE．∴∠GDB＝2∠ABE．故②正確．③根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，得∠BFD＝∠FBC+∠FCB，故③正確．④由①知，∠GBC＝∠GBF+∠FBC＝90°．∴∠EBG＝90°﹣∠FBC．∵∠AEB＝∠ACB+∠EBC，∴∠AEB＝∠ABC﹣∠ABE+∠EBC．∵∠A＝90°，∴∠ABC+∠ABC＝180°﹣∠A＝90°．∴∠AEB＝90°﹣∠ABE．∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC．∴∠AEB＝∠EBG．故④正確．⑤由④得，∠ABC+∠ACB＝90°．∵BE平分∠ABC，CD平分∠ACB，∴∠EBC＝，∠DCB＝．∴∠EBC+∠DCB＝．∴∠CFE＝∠EBC+∠FCB＝45°．故⑤正確．綜上：正確的有①②③④⑤，共5個(gè)．故選：A．8．（2分）（2022春?敘州區(qū)期末）如圖，BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，若∠A＝45°，∠P＝40°，則∠C的度數(shù)為（）A．30° B．35° C．40° D．45°解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于點(diǎn)F，DP平分∠ADC交AB于點(diǎn)E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故選：B．9．（2分）（2021春?青山區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中線，CF是角平分線，CF交AD于點(diǎn)G，交BE于點(diǎn)H，下面說法正確的是（）①△ABE的面積＝△BCE的面積；②∠AFG＝∠AGF；③∠FAG＝2∠ACF；④BH＝CH．A．①②③④ B．①②③ C．②④ D．①③解：∵BE是中線，∴AE＝CE，∴△ABE的面積＝△BCE的面積（等底等高的三角形的面積相等），故①正確；∵CF是角平分線，∴∠ACF＝∠BCF，∵AD為高，∴∠ADC＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ACB+∠CAD＝90°，∴∠ABC＝∠CAD，∵∠AFG＝∠ABC+∠BCF，∠AGF＝∠CAD+∠ACF，∴∠AFG＝∠AGF，故②正確；∵AD為高，∴∠ADB＝90°，∵∠BAC＝90°，∴∠ABC+∠ACB＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°，∴∠ACB＝∠BAD，∵CF是∠ACB的平分線，∴∠ACB＝2∠ACF，∴∠BAD＝2∠ACF，即∠FAG＝2∠ACF，故③正確；根據(jù)已知條件不能推出∠HBC＝∠HCB，即不能推出BH＝CH，故④錯(cuò)誤；故選：B．10．（2分）（2022春?九龍坡區(qū)校級(jí)月考）如圖，在△ABC中，BD、BE分別是△ABC的高線和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H垂直于BE，交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．下列結(jié)論：①∠DBE＝∠F；②2∠BEF＝∠BAF+∠C；③∠FEG＝∠ABE+∠C；④2∠F＝∠BAC﹣∠C．其中正確有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)解：①∵BD⊥FD，∴∠FGD+∠F＝90°，∵FH⊥BE，∴∠BGH+∠DBE＝90°，∵∠FGD＝∠BGH，∴∠DBE＝∠F，故①正確；②∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠CBE，∠BEF＝∠CBE+∠C，∴2∠BEF＝∠ABC+2∠C，∠BAF＝∠ABC+∠C，∴2∠BEF＝∠BAF+∠C，故②正確；③∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵∠AEB＞∠FEG，∴∠FEG＜∠ABE+∠C，故③錯(cuò)誤；④∠ABD＝90°﹣∠BAC，∠DBE＝∠ABE﹣∠ABD＝∠ABE﹣90°+∠BAC＝∠CBD﹣∠DBE﹣90°+∠BAC，∵∠CBD＝90°﹣∠C，∴∠DBE＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，由①得，∠DBE＝∠F，∴∠F＝∠BAC﹣∠C﹣∠DBE，∴2∠F＝∠BAC﹣∠C，故④正確；故選：C．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022秋?海淀區(qū)校級(jí)期中）如圖，CD，CE分別是△ABC的高和角平分線，∠A＝28°，∠B＝52°，則∠DCE＝12°．解：∵∠A＝28°，∠B＝52°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣28°﹣52°＝100°，∵CE是△ABC的角平分線，∴∠ACE＝∠ACB＝50°，∴∠CED＝∠A+∠ACE＝28°+50°＝78°，∵CD是高，∴∠CDE＝90°，∴∠DCE＝90°?∠CED＝90°?78°＝12°，故答案為：12．12．（2分）（2022春?湖里區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，BD、BE分別是△ABC的高線和角平分線，點(diǎn)F在CA的延長線上，F(xiàn)H⊥BE交BD于點(diǎn)G，交BC于點(diǎn)H．寫出∠FGD，∠ABE，∠C的之間的數(shù)量關(guān)系：∠FGD＝∠ABE+∠C．解：∵∠AEB＝∠EBC+∠C，∵BE是△ABC的角平分線，∠ABE＝∠CBE，∴∠AEB＝∠ABE+∠C，∵BD⊥FC，F(xiàn)H⊥BE，∴∠FGD＝∠AEB，∴∠FGD＝∠ABE+∠C，故答案為：∠FGD＝∠ABE+∠C．13．（2分）（2022春?招遠(yuǎn)市期末）如圖，在△ABC中，AD是BAC的平分線，EF∥AD，交BC于E、AB于F、CA的延長線于G，∠B＝30°，∠C＝70°，則∠G的度數(shù)為40°．解：∵∠B＝30°，∠C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°．∵AD平分∠BAC，∴∠DAC＝＝40°．∵EF∥AD，∴∠G＝∠DAC＝40°．故答案為：40°．14．（2分）（2022春?秦淮區(qū)期末）如圖，在△ABC中，∠ABC＝50°，∠ACB＝100°，M是射線AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥BC交射線AC于點(diǎn)N，連接BN，若△BMN中有兩個(gè)角相等，則∠MNB的度數(shù)可能是25°或50°或65°或80°．解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段AB上時(shí)，如圖1，∵M(jìn)N∥BC，∴∠ABC＝∠AMN＝50°，∴∠BMN＝180°﹣50°＝130°，△BMN中有兩個(gè)角相等，只有∠MBN＝∠BNM，∴∠MNB＝＝25°；（2）當(dāng)點(diǎn)M在AB的延長線上時(shí)，如圖2，①當(dāng)∠BMN＝∠BNM＝50°時(shí)，②當(dāng)∠BMN＝∠MBN＝50°時(shí)，∠MNB＝180°﹣50°﹣50°＝80°，③當(dāng)∠MBN＝∠MNB時(shí)，∠MNB＝＝65°，綜上所述，∠MNB的度數(shù)可能為25°或50°或65°或80°，故答案為：25°或50°或65°或80°．15．（2分）（2022春?永春縣期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＞∠C，BD、BE分別是△ABC的高和角平分線，點(diǎn)G在BD的延長線上，GH⊥BC于H，交射線BE于M，交AC于F，下列結(jié)論：①∠ABD＝∠C；②∠BEA＝∠ABE+∠ABD；③∠AFG＝∠ABE+∠DBE；④∠G+∠A＝∠BMH+∠C．其中正確的是③④（寫出所有正確結(jié)論的序號(hào)）．解：①∵GH⊥BC，BG⊥AC，∴∠BDC＝∠BHG＝90°，∴∠G+∠GBH＝∠DBC+∠C＝90°，∴∠G＝∠C，若∠ABD＝∠C，則∠ABD＝∠G，則有AB∥GH，而已知條件并不能對此證明，因此①錯(cuò)誤．②∵∠BEA＝∠EBC+∠C，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠BEA＝∠ABE+∠C，由于①不能證明，故②也不能證明．③顯然，∠AFG＝∠HFC（對頂角），∵GH⊥BC，BG⊥AC，∴∠FHC＝∠BDC＝90°，∴∠HFC+∠C＝90°，∠DBC+∠C＝90°，∴∠HFC＝∠DBC＝∠DBE+∠EBC，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠HFC＝∠DBC＝∠DBE+∠EBC＝∠ABE+∠DBE，因此，∠AFG＝∠HFC＝∠ABE+∠DBE，③正確．④∵BG⊥AC，∴∠ADB＝∠BDC＝90°，∴∠A+∠ABD＝∠DBC+∠C＝90°，∴∠A﹣∠C＝∠DBC﹣∠ABD＝∠DBE+∠EBC﹣∠ABD，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，∴∠A﹣∠C＝∠DBE+∠ABE﹣∠ABD＝2∠DBE，又∵∠BMH＝∠DBE+∠G，∴∠BMH＝（∠A﹣∠C）+∠G，即∠G+∠A＝∠BMH+∠C，故④正確，故答案為：③④．16．（2分）（2022春?海陵區(qū)期末）如圖，在△ABC中，沿DE折疊，點(diǎn)A落在三角形所在的平面內(nèi)的點(diǎn)為A′，若∠A＝30°，∠BDA′＝86°，則∠CEA′的度數(shù)為26°．解：∵△A′DE是△ADE沿DE對折后的圖形，∴∠ADE＝∠A′DE，∠AED＝∠A′ED．∵∠ADE+∠A′DE+∠BDA′＝180°，∠BDA′＝86°，∴∠ADE＝47°．∵∠A+∠ADE+∠AED＝180°，∠A＝30°，∴∠AED＝∠DEA′＝100°．∵∠AED+∠DEC＝180°，∴∠DEC＝77°．∵∠DEA′＝103°，∴∠CEA′＝∠DEA′﹣∠DEC＝26°．故答案為：26°．17．（2分）（2022春?青島期末）如圖，將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，過點(diǎn)B作BD∥AC交A'C于點(diǎn)D，若∠A'BC＝30°，∠BDC＝140°，則∠A的度數(shù)為130°．解：∵將△ABC沿BC翻折，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，∠A'BC＝30°，∴∠ABC＝∠A′BC＝30°，∠ACB＝∠A′CB，∵BD∥AC，∴∠ACD+∠BDC＝180°，∵∠BDC＝40°，∴∠ACD＝40°，∴∠ACB＝∠A′CB＝20°，∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣30°﹣20°＝130°，故答案為：130°．18．（2分）（2022春?建鄴區(qū)校級(jí)期末）已知△ABC中，∠A＝65°，將∠B、∠C按照如圖所示折疊，若∠ADB′＝35°，則∠1+∠2+∠3＝265°．解：由折疊知：∠B＝∠B′，∠C＝∠C′．∵∠3＝∠B+∠4，∠4＝∠ADB′+∠B′，∴∠3＝∠B+∠ADB′+∠B′＝2∠B+35°．∵∠1+∠2＝180°﹣∠C′GC+180°﹣∠C′FC＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC），∠C′FC+∠C′GC＝360°﹣∠C﹣∠C′＝360°﹣2∠C，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠C′FC+∠C′GC）＝360°﹣（360°﹣2∠C）＝2∠C．∴∠1+∠2+∠3＝2∠C+2∠B+35°＝2（∠C+∠B）+35°＝2（180°﹣∠A）+35°＝2（180°﹣65°）+35°＝265°．故答案為：265°．19．（2分）（2021春?江都區(qū)期末）如圖，△ABC沿EF折疊使點(diǎn)A落在點(diǎn)A'處，BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，若∠P＝30°，∠A'EB＝20°，則∠A'FC＝140°．解：如圖，∵BP、CP分別是∠ABD、∠ACD平分線，∴∠PBD＝，∠BCP＝．又∵∠PBD＝∠P+∠PCB，∴∠P＝∠PBD﹣∠PCB＝＝，又∵∠ABD＝∠A+∠ACB，∴∠ABD﹣∠ACB＝∠A，∴∠P＝，∴∠A＝2∠P＝2×30°＝60°，由題意得：∠A′＝∠A＝60°，∴∠1＝∠A′+∠A′EB＝60°+20°＝80°，∴∠A′FC＝∠A+∠1＝60°+80°＝140°，故答案為：140．20．（2分）（2016春?溫江區(qū)校級(jí)期中）如圖所示，△ABC中，∠A＝m，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的角平分線相交于A1點(diǎn)，則∠A1的大小是，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于A2點(diǎn)，依此類推，∠A2015BC與∠A2015CD的角平分線相交于A2016點(diǎn)，則∠A2016的大小是．解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A＝，同法可得：∠A2＝∠A1＝∠A，…以此類推∠A2016＝∠A＝．故答案為，．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2021秋?贛州期末）如圖，在△ABC中，∠C＝46°，將△ABC沿著直線l折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)D的位置，求∠1﹣∠2的度數(shù)．解：如圖．由題意得，∠C＝∠D．∵∠1＝∠C+∠3，∠3＝∠D+∠2，∴∠1＝∠C+∠D+∠2＝2∠C+∠2．∴∠1﹣∠2＝2∠C＝92°．22．（6分）（2022春?鄄城縣期末）已知如圖，AD是△ABC的角平分線，點(diǎn)D、E在BC上，點(diǎn)G在CA的延長線上，EG交AB于點(diǎn)F，且∠BEF+∠ADC＝180°．∠AFG與∠G相等嗎？為什么？解：∠AFG＝∠G，證明如下：∵∠BEF+∠ADC＝180°（已知），∠BEF+∠GED＝180°（平角的定義），∴∠GED＝∠ADC（同角的補(bǔ)角相等）．∴AD∥GE（同位角相等，兩直線平行），∴∠AFG＝∠BAD（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），∠G＝∠CAD（兩直線平行，同位角相等），∵AD是∠BAC的平分線（已知），∴∠BAD＝∠CAD（角平分線的定義），∴∠AFG＝∠G（等量代換）．23．（8分）（2022春?惠民縣期末）（1）如圖1，AD平分∠BAC，AE⊥BC，∠B＝30°，C＝70°，求∠DAE的度數(shù)；（2）如圖2，AD平分∠BAC，點(diǎn)F在AD的延長線上，F(xiàn)E⊥BC，∠B＝28°，∠C＝68°，求∠DFE的度數(shù)；（3）如圖3，AD平分∠BAC，EA平分∠BEC，∠C﹣∠B＝38°，求∠DAE的度數(shù)．解：（1）∵AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∵∠B＝30°，C＝70°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝80°，∠CAE＝180°﹣∠AEC﹣∠C＝20°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝40°，∴∠DAE＝∠CAD﹣∠CAE＝20°；（2）∵∠B＝28°，∠C＝68°，∴∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝84°，∵AD平分∠BAC，∴∠CAD＝∠BAC＝42°，∴∠ADC＝180°﹣∠C﹣∠CAD＝70°，∴∠EDF＝∠ADC＝70°，∵FE⊥BC，∴∠DEF＝90°，∴∠DFE＝180°﹣∠DEF﹣∠EDF＝20°；（3）∵AD平分∠BAC，EA平分∠BEC，∴∠BAD＝∠CAD，∠AEC＝∠AED，∵∠AEC＝180°﹣∠C﹣∠CAE，∠ADE＝∠B+∠BAD，∠ADE+∠AED+∠DAE＝180°，∠CAE＝∠CAD﹣∠DAE，∴∠B+∠BAD+180°﹣∠C﹣∠CAD+∠DAE+∠DAE＝180°，整理得：2∠DAE＝∠C﹣∠B，∵∠C﹣∠B＝38°，∴2∠DAE＝38°，∴∠DAE＝19°．24．（8分）（2022春?侯馬市期末）綜合與探究小明在學(xué)習(xí)中遇到這樣一個(gè)問題：如圖1，∠MON＝90°，點(diǎn)A，B分別在OM，ON上運(yùn)動(dòng)（不與點(diǎn)O重合）．探究與發(fā)現(xiàn)：若BC是∠ABN的平分線，BC的反向延長線與∠BAO的平分線交于點(diǎn)D．（1）①若∠BAO＝60°，則∠D＝45°；②猜想：∠D的度數(shù)是否隨A，B的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？并說明理由；（2）拓展延伸：如圖2，若∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，求∠D的度數(shù)．解：（1）①∵∠ABN是△AOB的一個(gè)外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∵∠ABC是△ABD的一個(gè)外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，故答案為：45°；②∠D的度數(shù)不會(huì)隨A，B的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化，理由：∵∠ABN是△AOB的一個(gè)外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵BC平分∠ABN，AD平分∠BAO，∴∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∵∠ABC是△ABD的一個(gè)外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝45°，∴∠D的度數(shù)不會(huì)隨A，B的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化；（2）∵∠ABN是△AOB的一個(gè)外角，∴∠AOB＝∠ABN﹣∠BAO＝90°，∵∠ABC是△ABD的一個(gè)外角，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD，∵∠ABC＝∠ABN，∠BAD＝∠BAO，∴∠D＝∠ABC﹣∠BAD＝∠ABN﹣∠BAO＝（∠ABN﹣∠BAO）＝×90°＝30°，∴∠D的度數(shù)為30°．25．（8分）（2022春?欽北區(qū)期末）問題情境：如圖1，AB∥CD，∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：過點(diǎn)P作PE∥AB，通過平行線性質(zhì)來求∠APC．（1）問題思考：按小明的思路，請你求出∠APC的度數(shù)；（2）問題遷移：如圖2，AB∥CD，點(diǎn)P在射線OM上運(yùn)動(dòng)，記∠PAB＝α，∠PCD＝β，當(dāng)點(diǎn)P在B，D兩點(diǎn)之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，請你判斷∠APC與α，β之間有何數(shù)量關(guān)系，并說明你的理由；（3）問題解決：我們發(fā)現(xiàn)借助構(gòu)造平行線的方法可以解決許多問題，隨著以后的學(xué)習(xí)你還會(huì)發(fā)現(xiàn)平行線的許多用途．請你試試構(gòu)造平行線解決以下問題．已知：如圖3，三角形ABC，求證：∠A+∠B+∠C＝180°．解：（1）如圖1，過P作PE∥AB，∵AB∥CD，∴PE∥AB∥CD，∴∠PAB+∠APE＝180°，∠PCD+∠CPE＝180°，∵∠PAB＝120°，∠PCD＝130°，∴∠APE＝60°，∠CPE＝50°，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝110°；（2）∠APC＝α+β，理由如下：如圖2，過P作PE∥AB，交AC于E，∵AB∥CD，∴AB∥PE∥CD，∴∠APE＝∠PAB＝α，∠CPE＝∠PCD＝β，∴∠APC＝∠APE+∠CPE＝α+β，（3）證明：如圖3，過點(diǎn)A作MN∥BC，∴∠B＝∠1，∠C＝∠2，∵∠BAC+∠1+∠2＝180°，∴∠BAC+∠B+∠C＝180°．26．（8分）（2022春?東坡區(qū)期末）如圖，點(diǎn)B、C在∠MAN的兩條邊上運(yùn)動(dòng)，∠ABC和∠ACB的平分線交于點(diǎn)O．（1）如圖1，若∠MAN＝68°，點(diǎn)B、C在運(yùn)動(dòng)過程中，∠BOC的大小會(huì)改變嗎？如果不會(huì)，請求出∠BOC的度數(shù)；如果會(huì)，請說明理由．（2）如圖2，若∠MAN＝n，CH是∠BCN的平分線，CH的反向延長線交BO的延長線于點(diǎn)G，求∠G的度數(shù)（用含n的式子表示）．解：（1）如圖1，∠BOC的大小不會(huì)改變，∠BOC＝124°，理由如下：∵OB、OC分別是∠ABC、∠ACB的平分線，∴∠ACO＝∠OCB＝∠ACB，∠ABO＝∠OBC＝∠ABC，在△BOC中，∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB＝180°﹣（∠ABC﹣∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠MAN）＝90°+∠MAN＝90°+34°＝124°；（2）如圖2，∵OB是∠ABC的平分線，∴∠ABO＝∠OBC＝∠ABC，∵CH是∠BCN的平分線，∴∠NCH＝∠BCH＝∠BCN，∵∠BCN＝∠G+∠OBC，∴∠BCN＝∠G+∠ABC，∵∠BCN＝∠ABC+∠MAN，∴∠G＝∠MAN＝n．27．（8分）（2022春?洛江區(qū)期末）在△ABC中，∠BAC＞∠ABC，三個(gè)內(nèi)角的平分線交于點(diǎn)O．（1）填空：如圖1，若∠BCA＝80°，則∠BOA的大小為130度；（2）如圖1，過點(diǎn)O作OD⊥OC，交AC于點(diǎn)D．試說明：∠ADO＝∠AOB；（3）如圖2，CO的延長線交AB于點(diǎn)E．點(diǎn)M是AB邊上的一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)E重合），過點(diǎn)M作MN⊥CE于點(diǎn)N，請?zhí)剿鳌螦MN、∠ABC、∠BAC三者之間的數(shù)量關(guān)系．（1）解：∵∠BCA＝80°，∴∠CBA+∠CAB＝100°，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝50°，∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，故答案為：130；（2）證明：∵∠CBA+∠CAB+∠BCA＝180°，∴∠CBA+∠CAB＝180°﹣∠BCA，∵OA平分∠CAB，OB平分∠CBA，∴∠OAB＝∠CAB，∠OBA＝∠CBA，∴∠OAB+∠OBA＝（∠CAB+∠CBA）＝90°﹣∠BCA，∴∠BOA＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝90°+∠BCA，∵OD⊥OC，∴∠COD＝90°，∵OC平分∠BCA，∴∠OCD＝∠BCA，∴∠ADO＝∠COD+∠OCD＝90°+∠BCA，∴∠ADO＝∠AOB；（3）解：當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E的下方，如圖所示：∵M(jìn)N⊥CE，∴∠MNE＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，∠NEM+∠MNE+∠NMA＝180°，又∵∠AEC＝∠NEM，∴∠EAC+∠ACE＝∠MNE+∠NMA，即∠EAC+∠ACE＝90°+∠NMA，∵OC平分∠ACB，∴∠ACE＝∠ACB，∴∠BAC+∠ACB＝90°+∠AMN，∵∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠BAC+90°﹣∠ABC﹣∠BAC＝90°+∠AMN，∵∠BAC＞∠ABC，∴∠AMN＝∠BAC﹣∠ABC；當(dāng)點(diǎn)M在點(diǎn)E上方，如圖所示：∵∠AMN＝∠AEC+∠ENM，∵M(jìn)N⊥CE，∴∠ENM＝90°，∵∠AEC+∠EAC+∠ACE＝180°，∴∠AEC＝180°﹣∠EAC﹣∠ACE，∵OC平分∠ACB，∠ACB＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠ACE＝∠ACB＝90°﹣∠ABC﹣∠BAC，∴∠AEC＝180°﹣∠BAC﹣